三種物系速度和加速度關聯研究

陳耿祥 唐柱榮

[摘 要]文章主要討論高中物理競賽中相對運動問題的一般處理方法，主要闡述常見的輕桿、輕繩，接觸物系及交叉物系中的速度和加速度關聯問題。

[關鍵詞]高中物理競賽；相對運動；速度關聯；加速度關聯

[中圖分類號] G633.7 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）32-0031-03

本文討論三種典型物系的速度和加速度關聯問題。這類問題不僅在物理競賽中，也在自主招生考試中頻頻出現。例如，物理競賽中，剛體動力學的考查比較常見，而且具有一定的難度，找出物系中的相關條件往往成為解答此類問題的關鍵。在29屆全國中學生物理競賽復賽第三題、32屆全國中學生物理競賽復賽第二題中就考查了質點系的碰撞問題，其中就涉及物系之間的速度關聯知識。由于學生在學習過程中可能會出現以下問題：在解題過程中忽視物系相關條件；沒有一般性地考慮物系關聯的思路；對物系中相對復雜的物理過程理解把握不到位，因而導致這些問題無法順利解答問題。為了有效解答這類問題，本文詳細地分析物理競賽中三種典型物系中的速度、加速度關聯問題。

一、桿、繩物系關聯

需要說明的是本文討論的桿和繩都是不可伸長的，這也是物理競賽中最常見的模型。由于桿和繩都是不可伸長的，即其上的兩個質點間的相對位置不發生變化，這也是處理桿、繩物系關聯問題的關鍵。

如圖1所示標出桿、繩上AB兩點的速度，AB兩點的速度可以分解為兩個方向的速度：沿桿或繩方向，為法向速度[vn]，垂直于桿或繩的方向，為切向速度[vt]。由于桿、繩不可伸長，則AB在法向的分速度相等。即

[vAn]=[vBn] （1）

AB的相對速度方向為切向方向，B相對于A的速度可以表示為：[v相=vBt-vAt]。以A為原點，建參考系，B相對于A旋轉，若設AB長度為L，B繞A旋轉的角速度為ω，B相對于A的速度還可以表示為：

[v相=vBt-vAt]=ωL [et] （2）

AB兩點的加速度，同理可以分解為兩個方向的加速度：沿桿或繩方向為法向加速度[an]，垂直于桿或繩為切向加速度[at]，如圖2所示。由于以A為參考原點，B相對于A旋轉，需要一個法向加速度提供向心加速度。若設AB長度為L，B繞A旋轉的相對線速度為[v相]（[v相=vBt-vAt]），則AB加速度關聯可以表述為：

[aBn-aAn=-v2相Len=-（vBt-vAt）2Len] （3）

[例1]如圖3（A）所示，物體A的質量為m，吊索拖著A沿光滑的豎直桿上升，吊索跨過定滑輪B繞在勻速轉動的鼓輪上，吊索的速度為v0，滑輪B到豎直桿水平距離為L0，問當吊索與豎直方向成θ角時，A的速度大小及此時繩子的張力。

分析：此題為繩子關聯問題，可以由繩子的關聯速度求出A的速度，再求出A繞B的相對速度，利用法向加速度關聯，可以得到A的法向加速度，再根據牛頓第二定律求出繩子中的張力。

解：（1）根據沿繩方向分速度相等，如圖3（B）所示，并設A的速度為vA，得：[vAcosθ=vo] ； [vA=v0/cosθ]。

（2）由于B端只有沿繩方向的速度，所以A繞B旋轉的速度為A的切向速度，設為vt，如圖3（B）所示，易得：

[vt=vAsinθ=v0tanθ]

以B為參考點，B勻速運動，沒有沿繩子方向的加速度，所以A繞B的加速度為：[an=v2tL0/sinθ=（v0tanθ）2sinθL0]

再對A進行受力分析，如圖3（C）所示，知A受到三個力：重力mg，繩子的拉力T，桿對A的支持力N，利用牛頓第二定律可得：

[T-mgcosθ-Nsinθ=ma]

在水平方向上：

[Tsinθ=N]

綜上可得繩子的拉力為：

[T=mgcosθ+mv20tan3θsinθL0]

二、接觸物系關聯

接觸物系在不發生脫離之前，在垂直于接觸面的法向方向位移始終相同，故沿接觸面法向分速度相等，如果發生相對滑動的話，在沿接觸面的切向方向有相對速度。但對接觸物系的加速度關聯問題，會因為接觸是平面還是曲面而有所不同，下面進行分類討論。

1.接觸面為平面的接觸物系

如圖4所示，斜面A被限制在水平面上運動，而直桿P被限制在豎直方向上運動，設某時刻A以速度[v]A往左邊運動，AP始終接觸。AP的速度可以分解為兩個方向的分速度，沿接觸面的切向方向速度vt和垂直于接觸面的法向速度vn。由于沿接觸面法向分速度大小相等，可得：

[vPn=vAn] （4）

以A為原點建立參考系，P將沿斜面往下滑，即相對速度沿切向方向：

[v相=（vpt-vAt）et] （5）

同理A、P的加速度也可以分解為兩個方向的分加速度，沿接觸面的切向加速度at和垂直于接觸面的法向加速度an。因為A、P始終接觸，速度始終相等，以A為參考系P，沿著A的斜面往下滑，所以A、P法向加速度相等，相對加速度a相沿切向方向：

[aPn=aAn] （6）

[a相=apt-aAt] （7）

2.接觸面為曲面的接觸物系

[例2]一個半徑為R的半圓柱體沿水平方向做加速度為a的勻加速運動，在圓柱面上有一豎直桿P，此桿只能在豎直方向上運動，如圖6（A）所示，當半圓的速度為v時，桿與半圓柱體的接觸點P的角位置為θ，求此時P的速度及加速度大小。

解：（1）速度分析如圖6（B）所示，由于豎直桿與半圓柱面始終接觸，法向位移時刻相同，則兩者法向速度依然是相同的，可得P點的速度：[vp=vtanθ]。

（2）由速度分析圖可知，如圖6（B）所示，以半圓為參考系，P相對半圓的速度沿切向方向，可以看成P點繞O點做半徑為R的圓周運動，此時的相對速度大小為：

[v'=vcosθ]

如圖6（C）所示，P點相對于O點既有切向加速度[at][′]，又有法向加速度[an][′]，此法向加速度即為P繞O做圓周運動的向心加速度：

[an'=v'2R=v2Rcos2θ]

同時，半圓柱的加速度[a]是牽連加速度，P點加速度[ap]為絕對加速度，則相對加速度為[a'=ap-a]，其相對加速度的法向分量為：[-an'=apcosθ-asinθ]

于是便有：[ap=atanθ-v2Rcos3θ]

由上述分析可知，如果接觸面是平面，則接觸物系法向分速度、法向分加速度相等；但若接觸面為曲面，接觸物系法向分速度仍然相等，但由于相對運動為曲線運動，法向分加速度不相等，需要考慮向心加速度。

三、交叉物系

[例3]如圖7（A）所示，平面內有兩個輕桿AB和CD，其夾角為θ，若輕桿AB以速度v1在平面內垂直于AB方向運動，同時輕桿CD以速度v2在平面內垂直于CD方向運動，求兩輕桿交叉點P的速度[vp]。

解：此題為典型的交叉物系求交叉點的速度，我們可以通過一小段時間內的位移來理解交叉物系交叉點的運動。

假設剛開始交叉點為P點，經過一小段時間[Δt]后交叉點到達P2點，可以假設CD先不動，AB移動了[v1Δt]到達A′B′，P到達P1；接著A′B′不動，CD移動了[v2Δt]到達C′D′，P1到達P2如圖7（B）所示。于是：

[PP1=v1Δtsinθ] [PP2=v2Δtsinθ]

而在相同的[Δt]時間內P運動到

了P2處，可得：

[PP2=vpΔt]

由幾何關系可得：

[|PP2|2=|PP1|2+|P1P2|2-2|PP1||P1P2|cosθ]

即：[v2p=v1sinθ2+v2sinθ2-2v1v2sin2θcosθ2v1v2sin2θcosθ]

從例3的分析可以得到這樣的結論：線狀交叉物系交叉點的速度是相交物系雙方沿雙方切向分速度的矢量和。如圖7（C）所示，AB的速度[v1]可以分解為沿AB方向的分速度[v11]和沿CD方向的分速度[v12]；CD的速度[v2]可以分解為沿AB方向的分速度[v21]和沿CD方向的分速度[v22]；則交叉點P的速度可以表示為：

[vp=v12+v21] （8）

同理可以得到線狀交叉物系平動時，交叉點的加速度是相交物系雙方沿雙方切向分加速度的矢量和。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 范小輝.新編高中物理奧賽指導[M].南京：南京師范大學出版社，2012.

[2] 程稼夫.中學奧林匹克競賽物理教程：力學篇[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2002.

[3] 潘武明.力學：計算機輔助教程[M].北京：科學出版社，2004.

（責任編輯 易志毅）