五軸數控機床的加工精度建模研究*

范晉偉 齊國超 陶浩浩 賈 鑫 李相智

(北京工業大學機械工程與應用電子技術學院，北京100124)

數控機床作為機械制造行業中使用面最廣、使用量最大的高新技術產品，是精密和超精密加工的重要基礎裝備[1]。由于近年來，制造行業對具有復雜幾何形狀和高尺寸精度的機械零部件的需求急劇增加，五軸機床得到越來越廣泛的應用[2]。機床的加工精度是衡量機床工作性能的重要指標,而由關鍵零部件幾何誤差耦合而成的機床空間誤差是影響其加工精度的主要原因[3-5]。因此，研究基于關鍵零部件幾何誤差的數控機床精度模型很有意義。

在精度分析方面，人們已經開展了大量的研究工作，并取得了大量的研究成果，產生出多種不同的空間運動誤差數學模型建模方法，如幾何建模法、誤差矩陣法、二次關系模型法、機構學建模法、剛體運動學法和多體系統理論法等[6-8]。Denavit和 Hartenberg等首先利用齊次坐標變換的方法建立了多軸數控機床運動模型。隨后 Paul 對該模型進行了改進，為通用誤差模型的建立奠定了基礎[9]。2012 年劉志峰等[10]利用多體系統運動學理論建立了精密立式加工中心的精度預測模型，通過對典型試件的模擬加工實現了對機床的精度預測，為實現精度分配提供了理論依據。同年，Zhu 等[11]基于多體系統理論提出一種綜合幾何誤差模型、辨識和誤差補償的新方法，通過對五軸加工中心幾何誤差的辨識，驗證了該方法在提高零部件精度方面的有效性。本文基于多體理論對機床整機進行誤差分析，并運用齊次坐標變換矩陣對機床的加工精度進行建模，為后續的精度設計工作奠定理論基礎。

1 數控機床的結構分析與描述

以某機床廠的五坐標雙墻龍門數控機床為例。如圖1所示，該機床由工作臺、X向導軌、溜板、滑枕、C軸、A軸和刀具7個關鍵零部件構成，其中溜板沿著Y軸方向移動，滑枕沿著Z軸方向移動，A軸和C軸分別繞X軸和Z軸旋轉。

基于多體理論，根據零部件間的裝配關系，建立如圖2所示的拓撲結構圖。

2 數控機床加工精度模型的建立

根據數控機床的7個關鍵零部件，可以將其分為工件分支和刀具分支兩個部分。為機床各個零部件建立自己的右旋笛卡爾坐標系Oj-xjyjzj(j=0,1,2,…)，設工件坐標系為Ow-xwywzw，刀具坐標系為Ot-xtytzt，機床坐標系(即工作臺坐標系)為O1-x1y1z1。

設Pt為刀具成形點，Vt為刀具姿態(我們把固定在刀具上的矢量來描述刀具在坐標系中的姿態)；Pw為刀具的理論刀具路線，Vw為加工工藝確定的刀具姿態。通過以上分析可得，Pt與Vt和Pw與Vw在工作臺坐標系O1-x1y1z1中的位置可分別表示為：

·[SLt(j)Lt-1(j)]s·[SLt(j)Lt-1(j)]se}{rt}

(1)

[SLt(j)Lt-1(j)]s·[SLt(j)Lt-1(j)]se}{τt}

(2)

[SLt(j)Lt-1(j)]s·[SLt(j)Lt-1(j)]se}{rw}

(3)

[SLt(j)Lt-1(j)]s·[SLt(j)Lt-1(j)]se}{τw}

(4)

式中：{rt}和{rw}分別為刀具成形點在刀具坐標系Ot-xtytzt和工件坐標系Ow-xwywzw中的位置矩陣表達式；{τt}和{τw}分別為刀具在刀具坐標系Ot-xtytzt和工件坐標系Ow-xwywzw中的位姿矩陣表達式。

在機床的實際切削過程中，刀具成形點實際運動軌跡和刀具位姿都不可避免地會偏離理想運動軌跡和姿態[12]。所以，機床的加工精度模型可以表示為：

{er}=(erxeryerz0)T={Pw}-{Pt}

刀具成形點實際運動位置與理想運動位置誤差；{eτ}為：

{eτ}=(eτxeτyeτz0)T={Vw}-{Vt}

刀具實際位姿與理想位姿誤差。

3 五軸數控機床幾何誤差分析與建模實例

以某機床廠的五坐標雙墻龍門數控機床為例，基于多體系統理論，分別建立機床各關鍵零部件的子坐標系，并對機床的幾何誤差進行分析。利用各關鍵零部件的相對運動和裝配關系建立坐標變換矩陣，從而推導機床加工精度模型。

3.1 五軸雙墻龍門數控機床幾何誤差分析

影響數控機床加工精度的誤差源主要有幾何誤差、熱誤差、載荷誤差和伺服系統誤差等[13]。其中幾何誤差，受環境因素影響小，易于測量，且無論哪種誤差，其最終表現形式都可以用前面敘述的幾何誤差分析運動建模方法來表述。因此本文研究的重點是將幾何誤差作為基本誤差源。五軸雙墻龍門數控機床擁有7個關鍵運動部件，各個關鍵零部件的誤差可分為靜態誤差和運動誤差兩個部分[14]。

根據剛體六自由度假設理論，剛體在三維空間中每個軸運動必然會產生六項誤差(三項線位移誤差、三項角位移誤差)，五個軸共有30項運動誤差；此外3個平動軸之間兩兩存在3項垂直度誤差，并且A軸與Y軸和Z軸以及C軸與X軸和Y軸之間存在4項垂直度誤差，即7項靜態誤差。所以，五軸雙墻龍門數控機床的幾何誤差參數一共37項，如表1所示。

3.2 機床關鍵零部件子坐標系的建立

在初始條件下各運動部件的體坐標系與其運動參考坐標系重合，也就是在初始條件下只要確定了某運動部件的運動參考系方位也就確定了其體參考坐標系的方位。

表1 五軸數控機床37項幾何誤差

沿X軸平動εx(x)εy(x)εz(x)δx(x)δy(x)δz(x)沿Y軸平動εx(y)εy(y)εz(y)δx(y)δy(y)δz(y)沿Z軸平動εx(z)εy(z)εz(z)δx(z)δy(z)δz(z)繞C軸轉動εx(β)εy(β)εz(β)δx(β)δy(β)δz(β)繞A軸轉動εx(α)εy(α)εz(α)δx(α)δy(α)δz(α)垂直度εxy,εxz,εyz,εcx,εcy,εay,εaz

首先確定各個子坐標系的方向：選取機床坐標系(也就是工作臺坐標系)的方向為基準方向，令機床坐標系和X向導軌的運動參考坐標系與基準坐標系方向一致；令基準坐標系繞其Y軸轉動垂直度εxz后的坐標系為Y向溜板(B3)的運動參考坐標系；令Y向溜板(B3)的運動參考坐標系分別繞其X、Y軸轉動εzy、εxy后的坐標系為Z向滑枕(B4)的運動參考坐標系；令Z向滑枕(B4)的運動參考坐標系繞X、Y軸轉動εyc、εxc后為C軸(B5)的運動參考坐標系；令床身的運動參考坐標系分別繞Y、Z軸轉過εyc、εyc后為A軸(B6)的運動參考坐標系。

其次，確定各個子坐標系之間的位置：B6體與刀具參考坐標系均位于A軸旋轉中心軸與刀具中心軸交點處(O1)；其它個體的子坐標系均位于機床坐標系原點處。

3.3 特征矩陣

在初始條件下，O1在機床坐標系下坐標為(q1xq1yq1z1)T，工件坐標系相對于工作臺坐標系的位置為{Tw}。綜上分析，各關鍵零部件特征矩陣如下所示：

[S12]p=[S12]pe=E4×4

[S23]p=E4x×4

[S34]p=E4×4

[S45]p=E4×4

3.4 五軸雙墻龍門數控機床加工精度模型的建立

初始條件下，實際刀具中心在刀具坐標系的位置為{rt}=(0 0 -L1)T，L為刀具長度，實際刀具位姿在刀具坐標系中表達式為{τt}=(0 0 -1 0)T；在工件坐標系下，理論刀具路線為{rw}=(xwywzw1)T，理論刀具位姿{τw}=(xvyvzv0)T，由此可以得到在工作臺坐標系下，刀具實際成形點的位置為：

[SLt(j)Lt-1(j)]s·[SLt(j)Lt-1(j)]se]{rt}

=[S12]p·[S12]pe·[S12]s·[S12]se·[S23]p·[S23]pe·

[S23]s·[S23]se·[S34]p·[S34]pe·[S34]s·[S34]se·

[S45]p·[S45]pe·[S45]s·[S45]se·[S56]p·[S56]pe·

[S56]s·[S56]se·[S67]p·[S67]pe·[S67]s·[S67]se·{rt}

(5)

刀具實際位姿表達式為：

[SLt(j)Lt-1(j)]s·[SLt(j)Lt-1(j)]se]{τt}

=[S01]p·[S01]pe·[S01]s·[S01]se·[S12]p·[S12]pe

·[S12]s·[S12]se·[S23]p·[S23]pe·[S23]s·[S23]se·

[S34]p·[S34]pe·[S34]s·[S34]se·[S45]p·[S45]pe·

[S45]s·[S45]se·[S56]p·[S56]pe·[S56]s·[S56]se{τt}

(6)

理論刀具路線在工作臺坐標系中的位置為：

[SLt(j)Lt-1(j)]s·[SLt(j)Lt-1(j)]se}{rw}=Tw{rw}

(7)

理論刀具路線在工作臺坐標系中的位姿為：

[SLt(j)Lt-1(j)]s·[SLt(j)Lt-1(j)]se}{τw}=Tw{τw}

(8)

所以，刀具切削點實際運動位置與理想運動位置誤差:

{er}=(erxeryerz0)T={Pw}0-{Pt}0

(9)

將變換矩陣代入方程(5)、(7)和(9)中，消去高階無窮小量，可得：

erx=δx(x)+δx(y)-qwx-xw+x+δx(c)×cos(c)+

δy(c)×sin(c)-ezx×y+qtx×cos(c)

(10)

ery=δy(x)+δy(y)-qwy-yw+y-δx(c)×sin(c)+δy(c)×

cos(c)-q1z×cos(c)

(11)

erz=δz(x)+δz(y)-qwz-zw+z+cos(A)-sin(A)×exc+δz(z)

(12)

刀具實際位姿與理想位姿誤差:

{eτ}=(eτxeτyeτz0)T={Vw}0-{Vt}0，

(13)

將變換矩陣代入方程(6)、(8)和(13)，經整理消去高階無窮小量，可得：

{eτx}=cos(α)×[-εy(y)-εy(x)-cosγ]-εxz+εyc×sinγ+
εx(γ)×sinγ-εxc×cosγ-εy(z)

(14)

{eτy}=-εx(α)×sin(α)-εx(γ)×sinγ-εy(γ)×sinγ-εx(z)-
εx(γ)×cosγ+cosα×[-εx(z)+εx(γ)×cosγ]

(15)

{eτz}=-cosα-zv+cosγ×[-εy(z)-εy(y)-εy(x)]-εy(α)×cosα+
sinα×{cosγ×[εx(x)+εx(y)+εx(z)-εxz]}+εx(α)×sinα

(16)

從而得到五軸雙墻龍門機床的加工精度模型。

3.5 實驗驗證

本文利用雙頻激光干涉儀和雙球桿儀，并結合九線法，辨識出該機床的37項幾何誤差。在測量機床的定位誤差中，為了降低試驗的難度，試驗時滑動橫梁靜止不動，垂直滑枕沿活動橫梁導軌運動，且A軸和C軸的轉角設置為0°，在垂直滑枕工作行程范圍內取20個測量點，通過試驗測量得到垂直滑枕運動到測量點位置處切削點x、y、z三個方向上的位移誤差以及分別與之對應的37項幾何誤差變量。

表2 幾何誤差傳遞模型性能指標

方向誤差名稱最大絕對誤差/μm誤差均值/μmX向實測誤差26.121.75殘余誤差3.11.9Y向實測誤差24.320.05殘余誤差4.41.95Z向實測誤差12.219.05殘余誤差5.33.2

將測量的37項幾何誤差變量帶入式(10)、(11)、(12)中，計算出刀具切削點在X、Y、Z三個方向的誤差并將其與試驗測量的結果進行比對，檢驗模型的預測精度。結果如圖3～5及表2所示。

其中，殘余誤差=實測誤差-模型預測誤差。

由表2可知，本文建立的機床加工精度模型有比較理想的預測性能。

4 結論

(1)通過對五軸雙墻龍門數控機床進行結構分析，并利用拓撲結構對該機床結構進行描述，將機床簡化為7個關鍵零部件，并對每個運動部件建立子坐標系和運動參考坐標系。

(2)對五軸雙墻龍門數控機床的幾何誤差進行分析，得出機床37項幾何誤差。

(3)利用多體系統運動學理論推導出機床各運動部件之間的相對運動坐標變換矩陣，進一步推導出機床的加工精度模型，為今后機床加工精度的預測工作打下基礎。