一致收斂性及應用初步

繆彩花+何天榮

【摘 要】本文對函數項級數一致收斂性的判別法進行介紹和舉例，還介紹了一致收斂函數項級數性質的初步應用，有助于加深對一致收斂的理解，體會一致收斂的作用，增強數學的應用意識。

【關鍵詞】級數；一致收斂；判別法

函數項級數具有高度的抽象性，特別是函數項級數的一致收斂性更是教學和學習中的難點，以下我們介紹函數項級數一致收斂性的判別方法及其初步應用。

一、函數項級數一致收斂性的判別法

1.M判別法

M判別法的適用范圍雖然較窄，但當它適用時，用起來卻很方便。

如對于函數項級數 ，x∈[-1，1]。由于對任意的x∈[-1，1]有u （x）≤ ，而級數 收斂，所以由M判別法知原函數項級數在[-1，1]上一致收斂。該函數項級數也可用“裂項相消法”去求部分和序列，證明其一致收斂，但和M判別法比較，就可以發現M判別法簡單得多。

2.狄利克雷判別法和阿貝爾判別法

狄利克雷判別法和阿貝爾判別法均適用于討論通項是兩個函數相乘的函數項級數，如對于函數項級數 ，x∈[0，+∞），記u （x）= ，v （x）= ， u （x）在[0，+∞）上一致收斂。∨x∈[0，+∞），函數列{v （x）}是單調減少的，又因為v （x）≤1對一切x∈[0，+∞）和任意n∈N都成立，所以{v （x）}在[0，+∞）一致有界，由阿貝爾判別法知函數項級數 u （x）v （x）在[0，+∞）上一致收斂。

3.柯西準則及其推論

判別函數項級數一致收斂的M判別法，狄利克雷判別法，阿貝爾判別法都是充分性判別法，不能用它們來判別函數項級數不一致收斂。判別函數項級數不一致收斂可應用柯西準則及其推論。對于函數項級數 2 sin（x/3 ），x∈（0，+∞），記u （x）=2 sin（x/3 ），取ε =1，∨N>0， n>N及x =π3 /2∈（0，+∞）有u （x ）=2 >1，由此得{u （x）}在（0，+∞）上不一致收斂于零，由柯西準則的推論得：函數項級數 2 sin（x/3 ）在（0，+∞）上不一致收斂。

二、和函數分析性質的應用

函數項級數的和函數并不一定能夠直接求出解析式，但根據一致收斂的函數項級數的性質，在一致收斂的條件下，函數項級數的每一項的分析性質可以傳遞給和函數，于是我們任然可以討論和函數的連續性、可微性以及可積性，這為我們討論和函數的分析性質帶來了很大的方便。

需要特別說明的是：要證明和函數S（x）= u （x）在區間I上連續，但函數項級數 u （x）在I上并不一致收斂時，便不能直接用和函數連續性定理，因為條件不滿足。此時可用下述方法處理：若對任意取定的x ∈I，可取到區間J I（x 在J的內部），使 u （x）在J上一致收斂，則在u （x）于J連續時，由和函數的連續性定理，就可保證和函數S（x）在J上連續，從而在x 處連續。再由x 的任意性，可得S（x）在I上連續。S（x）的可微性也可類似處理。

【參考文獻】

[1]華羅庚.高等數學引論[M].科學出版社，1964

[2]石會萍.函數項級數非一致收斂判別方法的歸納分析[J].滄州師范學院學報，2012

（項目名稱： 麗江師范高等專科學校質量工程項目特色課程《數學分析》—專業必修課 項目編號：XJ102016211）endprint