淺談怎樣培養(yǎng)學(xué)生在證明題中運(yùn)用“等量代換”作為中間“橋梁”的意識

龍正兵

摘要：數(shù)學(xué)是一門比較抽象，但邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科。絕大多數(shù)學(xué)生對數(shù)學(xué)題都感到頭痛，都覺得找不到方法去解決。作為一名數(shù)學(xué)科任教師，怎樣去培養(yǎng)學(xué)生的一些數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，讓學(xué)生在實際中去運(yùn)用這些意識思想去解決問題？這就要求我們老師平時在實際教學(xué)中多注重去培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力。本文中筆者就對培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用“等量代換”作為中間“橋梁”的意識思想去解決幾何證明題的方法技巧進(jìn)行分析研究。

關(guān)鍵詞：等量代換;橋梁;應(yīng)用意識

中圖分類號：G633.6?????文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B????文章編號：1672-1578（2018）31-0142-02

幾何證明題是初中階段大多數(shù)學(xué)生都感到棘手的問題，尤其是有些證明問題，要證明的結(jié)論中的兩個量之間，從表面看，很難發(fā)現(xiàn)他們之間到底存在哪些關(guān)系。這就更增加了我們證明的難度。往往絕大多數(shù)學(xué)生遇到這樣的問題，大多都只能望洋興嘆，望而卻步，感到無從著手，找不到證明的突破口。秉著本人從事教育教學(xué)工作二十幾年的一些心得體會。本文我就把自己的多年解題的方法技巧作一下小結(jié)與梳理，以供大家共勉之。

針對以上所提的要證明的兩個量之間關(guān)系比較模糊的問題，甚至有些看上去連一丁點關(guān)系都沒有的問題。我們要解決這樣的問題，不能循規(guī)蹈矩地要想從正面通過推理論證地去找出它們的關(guān)系。這樣做有時會事倍功半，甚至無功而返。那我們怎么辦呢？不要?dú)怵H，我們可以償試去尋找另外一組介于這兩個量之間的新的量，換而言之，要想方設(shè)法利用“等量代換”來搭建兩量之間的中間“橋梁”。把兩個看似毫無關(guān)系的量連接在一起。從而使問題得以迎刃而解。現(xiàn)從以下幾方面作詳細(xì)闡明。

1.要證明兩條線段相等，可找中間線段，由中間線段的關(guān)系得出這兩條線段相等

例1.已知：如圖，AB是半圓O的直徑，PA，PC是⊙O的兩條切線，切點分別為A、C兩點，CD⊥AB，垂足為D，連接PB交CD于點E。

求證：CE=ED.

分析：要證CE=ED，表面看是只須證點E為CD的中點就行了。其實要想證明點E為CD的中點，根本找不到與之對應(yīng)的中點關(guān)系。如要硬從這方面去證明它，那你可能會走入死胡同，最后無功而返。這時，我們不防去尋找一個中間“橋梁”，通過“橋梁”來連通這兩條線段的關(guān)系。如圖，我們可作輔助線，即連接AC，BC，延長BC交AP的延長線于點F。于是得證明過程如下：

證明：∵PA是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，

∴可得PA⊥AB，

∵CD⊥AB

∴CD∥AF

∴DEAP=BEBP，CEPF=BEBP

∴DEAP=CEPF

∵PA、PC分別是⊙O的兩條切線，

∴PA=PC

∴∠PAC=∠PCA

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，則∠ACF=90°，即∠PCF+∠PCA=90°

∴∠F+∠PAC=90°

∴∠F=∠PCF

∴PF=PC

∴PF=PA

又DEAP=CEPF

∴DE=CE.

根據(jù)以上證明過程可知，我們是通過從BEBP這一中間“橋梁”連通了DEAP=CEPF的關(guān)系，再通過證明出AP=PF這一橋梁，又連通了DE與CE的關(guān)系，從而問題得以解決。

2.可以用“等量代換”的方法

我們在學(xué)習(xí)相似形后，往往會經(jīng)常遇到待證的比例式的四條線段，不分布在兩個可能相似的三角形之中。這時，我們就要根據(jù)分析條件，觀察有沒有線段與待證線段相等，然后去尋找或通過作輔助線的方式創(chuàng)建與待證線段相等的線段，且使其又還是分布在兩個相似三角形中的四條比例線段。最后我們再利用“等量代換”的方式把其代換為待證線段，從而解決問題。如

例2.如圖，△ABC中，D是AB上一點，AD=AC，BC邊上的中線AE交CD于F.

求證：ABAC=CFDF

分析：由圖可知，AB，AC，CF，DF這四條線段并不在兩個相似三角形中，要想證明這個比例關(guān)系成立，那我們就必須要尋找另外線段，使之既與這些線段相等，又還在兩個相似三角形中。由此，再通過這兩相似三角形的關(guān)系，得出相應(yīng)的比例關(guān)系.再通過等量代換，得出要證的線段關(guān)系.從而問題得證.證明過程如下：

證明：延長AE至點G，使AE=GE，連接CG.

∵AE是BC邊的中線

∴BE=CE

∵∠AEB=∠GEC，AE=GE

∴△AEB≌△GEC

∴AB=GC，∠BAE=∠CGE

∵∠AFD=∠GFC

∴△AFD∽△GFC

∴CGAD=CFDF

∵AD=AC，AB=GC

∴ABAC=CFDF.

由以上的證明過程，可以看出，我們是通過等量代換這一“橋梁”把AD代換成AC，把GC代換成AB，從而把看似毫不相干的四條線段AB，AC，CF，DF由AD、GC這兩條線段連通到△AFD、△GFC這兩個相似三角形中。從而使問題得到解決。

通過以上的應(yīng)用舉例分析，使我們不難發(fā)現(xiàn)，在實際解題當(dāng)中，有很多題目直接證明是很難的。但只要我們善于去搭建一些溝通“橋梁”，往往能使復(fù)雜的題目變得非常的淺顯易懂，能使一些看似毫不相干的兩個量瞬間變得聯(lián)系緊密。我們在社會現(xiàn)實中的人際關(guān)系不也如此嗎？總之，只要我們平時能夠做到善于總結(jié)，舉一反三，觸類旁通，并養(yǎng)成一些好的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識思想，我們做事便會收到事半功倍的效果，就會少走或不走許多不必要的冤枉路。從而能夠更好地把學(xué)習(xí)活動變?yōu)橐环N有目的，有技巧，有趣味的活動。使學(xué)生更加善于學(xué)習(xí)，樂意學(xué)習(xí)。