河圖洛書及其蘊涵的數(shù)學意義

摘要：神秘的河圖洛書表達的應(yīng)該是一種數(shù)學思想。從數(shù)理上分析，河圖與洛書都蘊含著基本的等和關(guān)系和等差關(guān)系。雖然他們只是中國古代流傳的兩幅神秘圖案，但被認為是中華遠古文明的源頭，作為華夏文化重要紐帶的漢字也產(chǎn)生在這里面。

關(guān)鍵詞：河圖;洛書;數(shù)理

中圖分類號：G648?????文獻標識碼：B????文章編號：1672-1578（2018）31-0002-01

1.河圖洛書之由來

關(guān)于河圖洛書的記載，最早出現(xiàn)在《尚書》之中，在《易傳》之中，諸子百家亦多有記述。 根據(jù)古書所述，上古伏羲時，河南孟津縣境內(nèi)的黃河當中浮出龍馬，背負著“河圖”，將它獻給了伏羲，伏羲就是依照這幅圖而演成八卦，成為后來周易的淵源。又載，大禹的時候，洛陽西邊一個叫洛寧縣的地方，有人看見洛河中浮出一只神龜，背負“洛書”，獻給了禹。大禹正是按照這幅圖的指示才治水成功，并劃天下為九州。然后，大禹又按照洛書制定九章大法，治理社會。《易·系辭》上說：“河出圖，洛出書，圣人則之”，就是指的這兩件事。

對于河圖和洛書，歷代皆認為它們是“龍馬負之于身，神龜列之于背”，所以千百年來，它一直披著神秘的外衣。對于河圖和洛書的內(nèi)容，自古以來就有諸多傳說和揣測。西漢劉歆認為河圖就是八卦圖，《尚書·洪范》就是洛書。宋初陳摶吸收漢唐九宮說與五行生成數(shù)，提出了一個圖式，名“龍圖”，后人將龍圖發(fā)展為河圖、洛書兩種圖式，將九宮圖稱為“河圖”，五行生成圖稱為“洛書”。南宋蔡元定則認為九宮圖為洛書，五行生成圖為河圖。朱熹在《周易本義》卷首載有該圖。值得慶幸的是，近年來的考古發(fā)掘，對于河圖洛書的研究實在意義非凡。1987年，考古工作者在河南濮陽西水坡出土的形意墓（距今約6500年）中發(fā)現(xiàn)了用貝殼擺繪的河圖四象。同年，又在安徽含山出土了距今5000多年前用龜腹玉片擺成的洛書圖像。那么，這神秘的河圖洛書上到底是什么樣的呢

河圖與洛書都是由幾串黑色和白色的圓點組成。河圖上，排列成數(shù)陣的黑點和白點，蘊藏著無窮奧秘;洛書上，縱、橫、斜三條線上的三個數(shù)字，相加之和都等于15，十分奇妙。對此，中外學者進行了長期的探索研究，認為這是中國先民心靈思維的結(jié)晶，是中國古代文明的第一個里程碑。清黃宗羲認為河圖洛書為四方所上圖經(jīng)一類。現(xiàn)代學者有認為河圖洛書是古代地理書，也有一些研究者認為河圖為上古氣候圖，洛書為上古方位圖，眾說不一。

2.河圖洛書的數(shù)理解讀

善于數(shù)學思維的人細心分析，會發(fā)現(xiàn)河圖洛書表達的應(yīng)該是一種數(shù)學思想。因為從河圖和洛書的圖式可以看出，對稱性和數(shù)字性是兩者最明顯和最基本的特點。從外觀上看，河圖洛書都是以黑、白兩色圓點為基本構(gòu)圖要素，并在整體排列上呈現(xiàn)出矩陣的特征。

第一，數(shù)字性。數(shù)的概念直接而又形象地包含在圖書之中。一個白色的圓點表示1;兩個并列的黑色圓點表示2;……依次類推，河圖中含有1～10共10個自然數(shù)，洛書中含有1～9共9個自然數(shù)。其中，由黑點構(gòu)成的數(shù)為偶數(shù)，由白點構(gòu)成的數(shù)為奇數(shù)，表達了數(shù)的奇偶觀念。可以看出，數(shù)字性是河圖洛書的基本特征。

第二，對稱性。河圖與洛書兩幅圖的結(jié)構(gòu)分布形態(tài)對稱，表現(xiàn)在兩個層面：其一，由黑色圓點或白色圓點構(gòu)成的每一個數(shù)的結(jié)構(gòu)形態(tài)是對稱的;其二，圖式在整體結(jié)構(gòu)分布上是對稱的。河圖，以兩個數(shù)字為一組，分成五組，以[5，10]居中，其余四組[7，2]、[9，4]、[6，1]、[8，3]依次均勻分布在四周。洛書，以數(shù)字5居中，其余8個數(shù)字均勻分布在八個不同的方位。

從數(shù)理上分析，“和”、“差”關(guān)系是河圖和洛書的基本內(nèi)涵。具體而言，河圖與洛書都蘊含著基本的等和關(guān)系和等差關(guān)系。

2.1?河圖包含的數(shù)理關(guān)系：

2.1.1?等和關(guān)系。除中間一組數(shù)（5，10）之外，縱向或橫向的四個數(shù)字，其偶數(shù)之和等于奇數(shù)之和。縱向數(shù)字：7、2;1、6

7+1=2+6;橫向數(shù)字：8、3;4、9 8+4=3+9。推論：河圖中，除中間一組數(shù)[5，10]之外，奇數(shù)之和等于偶數(shù)之和，其和為20。

2.1.2?等差關(guān)系。四側(cè)或居中的兩數(shù)之差相等。上（7-2）;下（6-1）;左（8-3）;右（9-4）;中（10-5），其差均為5。

2.2?洛書包含的數(shù)理關(guān)系：

2.2.1?等和關(guān)系。如圖所示，洛書中各個縱向、橫向和對角線上的三數(shù)之和相等，其和為15。

2.2.2?等差關(guān)系。洛書隱含著等差數(shù)列關(guān)系。①洛書四邊的三個數(shù)中，均有相鄰兩數(shù)之差為5，且各個數(shù)字均不重復。上邊[4、9、2] 9-4=5;下邊[8、1、6] 6-1=5;左邊[4、3、8] 8-3=5;右邊[2、7、6] 7-2=5②通過中數(shù)5的縱向、橫向或?qū)蔷€上的三個數(shù)，數(shù)5與其它兩數(shù)之差的絕對值相等。縱向 |5-9|=|5-1|或9-5=5-1;橫向

|5-3|=|5-7|或5-3=7-5;右對角線|5-2|=|5-8|或5-2=8-5;左對角線|5-4|=|5-6|或5-4=6-5

可以清楚地發(fā)現(xiàn)，河圖洛書包含著基本的自然數(shù)之間“和或差”的算術(shù)邏輯關(guān)系，盡管兩者有所差別，但是它們表示的數(shù)理關(guān)系有相似之處，有內(nèi)在的必然聯(lián)系，由此，我們甚至可以大膽推測出一個結(jié)論：河圖洛書很有可能同源。

參考文獻：

[1]?常光明.《河圖洛書解》，載《周易研究》，1989年第二期.

[2]?譚春雨.《點陣式河圖洛書的思想內(nèi)涵及其構(gòu)建邏輯探討》，載《中州學刊》，2011年第三期.

作者簡介：馬英典，淮南師范學院副教授，理學碩士。