小議巧用“數(shù)形結(jié)合”解決問題

范金進

關(guān)鍵詞：巧用；數(shù)形結(jié)合；解決問題

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中最基本的兩個概念。數(shù)學(xué)家華羅庚先生說過“數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微”，這就是數(shù)形結(jié)合的思想。數(shù)形結(jié)合思想既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要手段，主要包括“以數(shù)解形”和“以形促數(shù)”兩個方面。解析幾何主要運用方程和代數(shù)的方法研究幾何問題，是“以數(shù)解形”的經(jīng)典之作。“以形促數(shù)”是數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計與概率兩大知識領(lǐng)域知識教學(xué)的重要策略。“以形促數(shù)的”策略的巧妙使用，不僅可以幫助學(xué)生直觀理解學(xué)過的知識，深化對已學(xué)知識的理解，還可以幫助學(xué)生有效描述和分析問題，提高分析解決問題的能力。數(shù)形結(jié)合通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化、相輔相成來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法。數(shù)形結(jié)合在教學(xué)中的應(yīng)用就是把研究的數(shù)量關(guān)系和空間圖形結(jié)合起來，根據(jù)解決問題需要，可以把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化圖形來討論并解決，或者把圖形問題轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系來討論并解決，或者把數(shù)和形結(jié)合起來解決實際問題。由此達到把問題化繁為簡、化難為易、化抽象為直觀、化隱為顯的目的。結(jié)合教學(xué)實踐，淺談如何應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”解決問題。

一、“數(shù)形結(jié)合”讓繁雜問題化繁為簡

數(shù)形結(jié)合思想把數(shù)學(xué)語言與直觀圖形結(jié)合起來，揭示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，能夠提高學(xué)生的理解能力，促進學(xué)生形象思維和邏輯思維結(jié)合，最終把問題化復(fù)雜為簡單并迅速解決問題。

如：在教學(xué)“排隊問題”：小芳前面有6個同學(xué)，后面有5個同學(xué)，這樣一排共有幾個同學(xué)？在完成此題時有40%的同學(xué)弄錯了。根據(jù)一年級學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律，我讓學(xué)生用自己喜歡的方法，畫圖幫助理解題意，他們有的畫人物，有的畫圖形，有的寫數(shù)字，有的畫符號，最后老師點明采用符號化的方法既簡便又容易解決問題。如圖：

通過畫圖，借助圖形學(xué)生很快找到解決問題的方法。教師把“數(shù)”與“形”有機結(jié)合起來，學(xué)生把數(shù)學(xué)信息中蘊含的數(shù)量關(guān)系直觀化和顯性化，化繁為簡，化難為易。學(xué)生真正體會數(shù)形結(jié)合的價值，感悟數(shù)形結(jié)合的思想。

二、“數(shù)形結(jié)合”讓抽象問題化為直觀

數(shù)形結(jié)合的思想在教學(xué)中的應(yīng)用是把數(shù)量關(guān)系和空間圖形有機結(jié)合起來，可以把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化成圖形問題來討論并解決，借助圖形解決最大優(yōu)勢是將抽象問題形象化、具體化，為學(xué)生在實際問題與算式之間、分析數(shù)量關(guān)系與解決問題之間架一座“橋”。如：五年級數(shù)學(xué)雞兔同籠問題就是借助圖形找到解決問題的辦法。問題：雞和兔一共10只，腿有32條。求雞和兔各有多少只？用算術(shù)法解決雞兔同籠問題，有些學(xué)生感覺很難，不易理解，此時借助圖形，幫助學(xué)生理解，找到解決問題的方法。先畫10個圓表示10只動物，假設(shè)全是雞，給每個圓畫2條腿，共畫了20條腿。還有32-20=12（條）沒有畫上，再剩下的腿添上，每個圓還可以添2條，12條腿可以添12÷2=6（只）。從畫好的圖中可以看出，這6只動物有4條腿是兔。只有2條腿4只是雞。通過畫圖，不僅讓題目中的抽象的數(shù)量關(guān)系變成直觀，使人一目了然，而且完美詮釋了“假設(shè)法”。學(xué)生在解決問題的過程中，感悟數(shù)形結(jié)合思想的在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。

再如，兩位數(shù)乘兩位數(shù)（14×12=？）乘法法則的教學(xué)中，教師通過呈現(xiàn)“點子圖”（14行，每行12個圓點），引導(dǎo)學(xué)生觀察并用筆圈出計算的全過程（10個14和2個14），這樣通過點子圖，就把抽象的“法則”與直觀的“圖形”有機結(jié)合起來，有利于學(xué)生理解算理、掌握算法，感悟數(shù)形結(jié)合思想的價值。

三、“數(shù)形結(jié)合”讓幾何問題化隱為顯

華東師范大學(xué)劉濯源老師提出的“思維可視化”，是指運用一系列圖示技術(shù)把本來不可視的思維呈現(xiàn)出來，使其清晰可見的過程。借鑒到數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們可用圖形的表征呈現(xiàn)思考，幫助學(xué)生更好理解數(shù)學(xué)。小學(xué)生在學(xué)習(xí)圖形知識時，教材中通常都會給出現(xiàn)成的圖形，學(xué)生一般都會根據(jù)文字、圖形、算式對照思考。當(dāng)學(xué)生遇到?jīng)]有圖形的題目時學(xué)生很難找到解決問題的辦法。因為學(xué)生對題目中的數(shù)學(xué)信息理解、分析不全面、不到位。數(shù)學(xué)信息及其數(shù)量關(guān)系復(fù)雜隱晦，要分析理解就更困難了，這容易造成畏難情緒。一圖勝千言，運用直觀圖形分析數(shù)學(xué)問題，可使內(nèi)隱的數(shù)量關(guān)系外顯，促進學(xué)生的理解。因此碰到這類題目時老師要求學(xué)生在紙上畫畫，把數(shù)學(xué)信息及問題在圖中表示出來，把自己在大腦中想象的模型再現(xiàn)在紙上，以此拓展他們的解題思路，提高分析問題、解決問題的能力。如：有一塊正方體木料，棱長是4分米。把這塊木料加工成一個最大的圓錐，這個圓錐的體積是多少立方分米？我讓學(xué)生獨立思考，可是想了很長時間，學(xué)生們都無從下手，不解其意，無法找到解決問題相應(yīng)的數(shù)學(xué)信息。接著我在黑板上根據(jù)題目的要求把圖出來，讓學(xué)生仔細(xì)觀察圖，說一說你從圖中發(fā)現(xiàn)什么？學(xué)生頓時恍然大悟，原來通過畫圖學(xué)生找到了隱藏的數(shù)學(xué)信息，圓錐的底面半徑等于正方體的棱長，圓錐的高等于正方體的棱長，從而找到解決問題的辦法，感受到數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的重要性。

再如：六年級數(shù)學(xué)有這樣一道題：一根圓柱形木頭長3米，截成長度相等的4段，表面積增加了2.4平方分米。圓柱形木頭的體積是多少平方分米？我讓學(xué)生獨立思考，可是學(xué)生思考許久都百思不得其解，找不到解決問題辦法。此時，我引導(dǎo)學(xué)生在紙上畫一畫、想一想，截成4段后，表面積為什么會增加？增加了哪些面的面積？學(xué)生借助圖形，利用圖形的表征呈現(xiàn)思考。學(xué)生通過畫圖、結(jié)合圖形進行觀察、分析、思考，運用直觀圖形分析數(shù)學(xué)問題，可使內(nèi)隱的數(shù)量關(guān)系外顯，幫助學(xué)生更好理解數(shù)學(xué)，找到解決問題的辦法。原來截成4斷后，增加6個橫截面積，圓柱木頭的橫截面積是2.4÷6=0.4（平方分米），再用橫截面積乘長即0.4×30=12（立方分米）就等于木頭的體積。學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題中，真正感受到數(shù)形結(jié)合方法是解決數(shù)學(xué)問題一種重要的手段，同時感悟數(shù)形結(jié)合思想的價值。

總之，圖形在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價值可見一斑，數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用能夠在一定的程度上推動教學(xué)目標(biāo)的完成，對于教學(xué)效果的提升以及教學(xué)方法的不斷改進有著至關(guān)重要的意義。因此我們在教學(xué)中要注重數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，在培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想的過程中，教師要充分挖掘教材的內(nèi)容，將數(shù)形結(jié)合的思想滲透在具體的問題中，數(shù)形結(jié)合思想的有效應(yīng)用不僅能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、提高學(xué)習(xí)效率，還能夠提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻

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[2] 張立娟.巧用數(shù)形結(jié)合法解題[J].今日科苑，2007，（12）：206.endprint