求解二維粒子輸運方程的CGS算法

張慧慧

摘要：本文采用CGS算法來求解二維粒子輸運方程。首先通過離散縱標法將輸運方程離散為線性方程組的形式，同時引進預條件矩陣來改善系數(shù)矩陣的譜性質(zhì)。通過數(shù)值試驗，將預處理后的CGS算法與傳統(tǒng)的源迭代方法進行對比，并對預處理前后特征值的分布做了比較。結(jié)果表明預處理后的矩陣特征值分布較為集中，且CGS算法收斂速度較快。

Abstract： In this paper， CGS algorithm is used to solve two-dimensional particle transport equation. First， the dispersion equation is used to discretize the transport equation in the form of a linear system of equations. At the same time， the preconditioned matrix is introduced to improve the spectral properties of the coefficient matrix. Through numerical experiments， the preprocessed CGS algorithm is compared with the traditional source iterative method， and the distribution of eigenvalues before and after pretreatment is compared. The results show that the distribution of matrix eigenvalues after preprocessing is more concentrated and the CGS algorithm converges faster.

關(guān)鍵詞：輸運方程；GGS算法；預條件子；源迭代

Key words： transport equation；CGS algorithm；preconditioner；source iteration

中圖分類號：TP301.6 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）03-0169-03

0 引言

粒子輸運方程是一類重要的偏微分方程，它所描述的是微觀粒子輸運過程。由于微觀帶電粒子在輸運過程中與物質(zhì)發(fā)生的各種復雜的相互作用，所涉及的是多尺度強非線性復雜系統(tǒng)，導致強耦合的高度非線性問題，所以對粒子輸運方程我們采用數(shù)值方法求解。

求解輸運方程源迭代方法是最常用的一種方法，但此方法只適用于那些系統(tǒng)相對簡單的輸運方程，對于系統(tǒng)相對復雜的方程，該方法便不適用。因此本文采用CGS算法來求解粒子輸運方程。通常用CGS算法來求解方程時，其迭代收斂的速度都與系數(shù)矩陣的譜性質(zhì)有密切聯(lián)系，因此改善系數(shù)矩陣的譜性質(zhì)變得十分重要。預條件算子就是一個可以很好的實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)換的矩陣。目前構(gòu)造預條件的方法有很多，在本文中構(gòu)造了矩陣近似逆預條件矩陣和基于高斯分裂的預條件矩陣。最后通過數(shù)值試驗對預處理前后的系數(shù)矩陣的特征值分布進行分析，并且對預條件的CGS算法和源迭代方法求解輸運方程的收斂快慢進行了比較。

1 粒子輸運方程及其離散方法

1.1 二維粒子輸運方程基本理論[1-2]

3.2 預條件矩陣的構(gòu)造

所謂預條件技術(shù)就是將線性方程組Ax=b變成與之同解的線性方程組M-1Ax=M-1b，這里為預條件矩陣。構(gòu)造一個好的預條件矩陣是非常重要的，既不能增加計算量，又需要盡可能使預處理后的矩陣M-1A的特征值分布在某一點的附近。目前，預條件矩陣的構(gòu)造方法有很多，本文將構(gòu)造兩種預條件矩陣。

第一種是近似逆預條件矩陣，其思想是構(gòu)造與系數(shù)矩陣的逆矩陣近似的矩陣M。這里，將系數(shù)矩陣A的逆展開，即：

第二種預條件矩陣的構(gòu)造是取線性穩(wěn)定迭代法中相應(yīng)的A的分裂。本文中通過高斯分裂得到預條件矩陣，首先將系數(shù)矩陣分裂為A=D-L-U，其中D是對角矩陣，L和U分別為A的嚴格下三角和嚴格上三角矩陣，于是得到第二種預條件矩陣基于高斯分裂的預條件矩陣[5]：M2=（D-L）-1。

4 數(shù)值實驗

在本文的數(shù)值實驗中給出的停機標準是相對殘差范數(shù)之比滿足：

首先通過圖1、圖2、圖3對系數(shù)矩陣預處理前后的譜分布進行分析，圖1是原系數(shù)矩陣的譜分布圖，圖2、圖3分別是由近似逆預條件矩陣、基于高斯分裂的預條件矩陣預處理后的譜分布圖。從三個圖中我們可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過預處理后的系數(shù)矩陣特征值集中分布在1附近。

下面給出的是數(shù)值實驗結(jié)果。表1給出的是空間離散網(wǎng)格為I×J=200×200和方向離散為S2（即M=16）時，源迭代與近似逆預條件的CGS方法的比較。表2將給出空間離散網(wǎng)格為I×J=200×200和方向離散為S2（即M=16）時，源迭代與基于高斯分裂預條件的CGS方法的比較。

從以上兩個表格中我們可以得到，對于系統(tǒng)相對簡單的輸運方程，源迭代方法還是很實用的。但是對于相對復雜的系統(tǒng)，預條件的CGS算法收斂所需的迭代次數(shù)和CPU時間都比源迭代要少很多，同時還可以發(fā)現(xiàn)隨著∑和σs的同步增大，每種迭代方法各自收斂所需的迭代次數(shù)和CPU時間都隨之增大。對比兩種預條件矩陣對加速CGS算法收斂效果，可以得出近似逆預條件的CGS方法收斂所需的迭代次數(shù)略少一些，基于高斯分裂預條件的CGS方法收斂所需的CPU時間要快一些。

5 結(jié)論

CGS算法是求解大型非對稱線性方程組的一種常見方法，本文將該算法與預條件技術(shù)相結(jié)合來求解二維粒子輸運方程，并且與源迭代方法進行比較。數(shù)值試驗表明預條件技術(shù)有效的改善了系數(shù)矩陣的譜性質(zhì)，從而加快了CGS算法的迭代收斂速度。endprint

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