基于二階自相關過程殘差控制圖的改進

魏興龍

摘要：本文將以AR（2）過程為例，將CUSUM和EWMA控制圖的統計量相整合，提出改進MEC和MCE兩種控制圖，以平均運行鏈長（ARL）和額外平方損失（EQL）做為評價效率的重要指標。通過仿真分析去驗證，新的控制圖對于自相關模型發生均值漂移具有較好的檢測效率.

Abstract： In this paper， the AR （2） process is taken as an example， the statistics of CUSUM and EWMA control charts are integrated， and two control charts， MEC and MCE， are proposed. The average run length （ARL） and extra quadratic loss （EQL） are used as important index to evaluate the efficiency. Through the simulation analysis to verify， the new control chart has a good detection efficiency for the mean shift of the autocorrelation model.

關鍵詞：殘差；平均運行鏈長；自相關；漂移；MEC；MCE；統計過程控制

Key words： residual；average run length（ARL）；autoregressive；shift；Mixed EWMA-CUSUM；Mixed CUSUM-EWMA；statistical process control

中圖分類號：O212.1 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）03-0192-04

0 引言

在生產過程中，為了實現統計過程的控制，提升產品的質量，控制圖被認為是一種有效的控制措施。常規控制圖需要基于過程的觀測值是彼此相互獨立這個條件才能使用，但往往這個要求難以實現于實際生產過程中，觀測值并不是都能夠滿足獨立性的假設前提，自相關現象是伴隨著生產過程普遍存在的[1]。以往眾多研究大多著重于一階自相關過程即AR（1）的性能對比上，而對于二階的，AR（2）等甚至更高階過程的監控控制圖的研究則少之又少。通過分析孫靜的研究[4]，平穩自相關過程的相關系數為負值且呈現強相關時，過程均值發生漂移，自相關模型的自相關性作用下，對小漂移殘差控制圖及時監測警報概率很大，而對于正的自相關系數則需要進一步提高異常檢測效率.在本文中，我們提出改進了的MEC和MCE去監測AR自相關模型數據，針對過程均值發生漂移，通過對殘差的檢測，將它們與Shewhart控制圖，CUSUM控制圖和EWMA控制圖進行監測效率的對比，我們發現其可以更好地檢測自相關發生的小漂移[2-4]。

1 預備知識

AR（p）模型是p階自相關模型，滿足：

3 控制圖性能對比和分析

通過以往的研究文獻可知，α1，α2自相關系數和越小，對于過程均值發生漂移，殘差控制圖能越早的監測出來發出報警。而對于α1+α2越大，過程均值發生σ漂移。在自相關過程的作用下，漂移被減少到σ（1-α1-α2），常規控制圖對這樣的小漂移監測并不靈敏，會導致漏發警報的現象，從而降低監測效率。所以在下文的控制圖的比較中，我們將著眼0<α1<1，0<α2<1的情況進行研究比較。

AR（2）模型各類殘差控制圖的ARL，k=0.5，λ=0.4。不失一般性，定義AR（2）受控狀態下均值為μ=0，模擬運算具體結果見表1。

一般情況下，為了方便控制圖的比較，需要在受控狀態下去假設具有一樣的平均運行鏈長。設定在受控狀態下，即σ=0，ARL0=1000，去比較失控狀態下平均運行鏈長，在失控狀態下，平均運行鏈長越短，說明可以越早能發現過程均值存在的漂移，即控制圖的性能越好。為了方便比較，我們將均值漂移大小分為小σ<1，中1<σ<2.5，大σ>2.5三個類別。表中的數值換種呈現方式，數值簡化為圖1。

通過圖1對比可發現：

①在α1+α2較小的情況下，α1=0.2，α2=0.1時候，MEC和MCE控制圖在σ<1時候，相對于Shewhart，EWMA和CUSUM控制圖，具有較好的檢測表現，可以更早的發出報警信號。而在中漂移的情況下，沒有EWMA和CUSUM控制圖表現好。在σ>2.5的漂移情況中，檢測效率更低，差距較為明顯。

②在α1=0.4，α2=0.2的情況下，MEC和MCE控制圖的表現與CUSUM控制圖相類似，中小漂移的發生狀況下，都具有較高的檢測效率。而在較大漂移后，EWMA控制圖的檢測效率表現更為優勢。

③在α1=0.6，α2=0.2或者α1=0.8，α2=0.1的情況下，MEC和MCE控制圖在各類的漂移，檢測的表現更好。即由于過程的均值發生不同類別的漂移波動，過程的殘差引起的相應偏離也較小，對此MEC和MCE控制圖可以更早的發出報警。

④MEC和MCE控制圖相比較，在α1+α2較小情況下，兩種控制圖的表現差距不明顯，而在α1+α2較大情況下，無論過程均值漂移大或者小，MCE控制圖的檢測效率表現更好一點。

由Abbasi，Riaz，Miller，Ahmad，和Nazir[11]提出的額外平方損失（EQL）。EQL定義為在漂移范圍σMAX？叟σ？叟σMIN內，以σ2為權重對ARL進行加權平均，ARL表達式為：

4 結論

通過上文的各類殘差控制圖的設計和性能分析對比，證明了MEC和MCE控制圖提高了對自相關序列過程發生中小漂移檢測的靈敏度。在α1+α2越大，MEC和MCE控制圖的表現越好。綜上所述，本文提及的MEC和MCE控制圖在自相關模型發生漂移時候，檢測效率有了良好的提高。在實際的生產場景中，提高的檢測效率將會帶來實際的經濟效益。endprint