CBCT重建理論研究與改進

韓義波， 張楓， 靳冰

(南陽理工學院 軟件學院,南陽 473000)

0 引言

影像技術一直是診斷疾病的重要手段，也是人們最早用于醫學診斷的工程手段[1]。計算機斷層成像(CT, Computed Tomography)技術能夠在非接觸、不破壞的情況下獲得物體內部三維結構信息，目前已廣泛應用于工業無損檢測和醫療影像診斷等領域[2-4]。但大部分情況下我們得到的圖像是二維數字斷層圖像序列，只能表達某一截面的解剖信息。因此，醫生只能憑借經驗，根據多幅二維圖像估計病變部位的大小、立體幾何形狀及與周圍組織之間的空間關系，這給診斷和治療帶來了不便。利用計算機圖像處理、圖形學、可視化技術和數學計算方法將二維斷層圖像序列轉變成具有直觀立體效果的圖像的醫學三維可視化技術，可以直觀地展現三維立體結構空間關系，為輔助設計手術徑路和模擬手術過程等提供可能。因此三維重建技術倍受人們的關注，得到了大量研究與廣泛應用。

錐束CT(Cone-Beam Computed Tomography，CBCT)具有掃描速度快、空間分辨率高和射線利用率高的優點，已經越來越廣泛地被使用[5]，它正成為CT研究的熱點和發展方向[6]。三維錐束CT迭代重建算法是CBCT技術中較為關鍵的部分。圖像重建技術包括兩類基本方法：解析重建算法和迭代重建算法[7]。迭代算法可以重建各種掃描方式的圖像，但具有計算量大、重建耗時較多的限制，解析重建算法由于其重建速度快，在圖像重建領域中有著廣泛應用。目前錐束CT圖像重建廣泛采用的解析型算法[8,9]。其中最著名的就是FDK (Feldkamp，Davis and Kress)算法[10]。由于是二維扇束算法的推廣，它比基于三維 Radon變化的精確重建算法在數學上簡單得多。而且，在錐角比較小的時候 (±4°間)，能夠取得比較好的重建效果 ，有很好的商業應用前景[11]。近年來出現的多種近似算法都是基于這種算法發展而來的[11]。FDK 算法的優點是重建速度快，適合于完全投影數據及噪聲水平較低情況下的重建。

2 理論基礎

2.1 中心切片定理

中心切片定理，也叫投影切片定理和傅里葉中心切片定理，它是斷層成像的理論基礎。二維圖像如圖1所示。三維圖像的中心切片定理如圖2所示。分別如下描述。

定理1：二維函數f(x,y)的投影p(s)的傅里葉變換P(w)等于函數f(x,y)的傅里葉變換F(wx,wy)沿與探測器平行的方向過原點的片段。

圖1 二維圖像的中心切片定理

(a) 三維投影成像的中心切片定理

(b) 一組完整的測量數據

圖1展示了二維圖像的中心切片定理。如果探測器繞物體旋轉180°，中心切片將布滿整個傅里葉空間，我們就能得到完整的傅里葉變換函數F(wx,wy)，原本的圖像f(x,y)就可以用反投影(Back-projection)和二維傅里葉反變換的數學手段獲取。但僅靠反投影是無法得到原本圖像的，為了消除模糊的效果，需要對傅里葉空間加權糾正，使其密度均勻，這個加權函數就是斜坡(Ramp)濾波器。如果是先濾波再做反投影的圖像重建就叫做濾波反投影算法(FBP：filtered back-projection)。它的數學描述，如式(1)。

(1)

定理2：三維函數f(x,y,z)的投影的二維傅里葉變換P(wu,wv,θ)等于函數f(x,y,z)的三維傅里葉變換F(wx,wy,wz)沿與探測器平行的方向過原點的中心截面。其中，θ是u-v平面和wx-wy平面的法線方向。

圖2(a)描述了三維成像的中心切片定理。如果θ的軌跡是單位球面上一個半徑為1的圓圈，則可以保證傅里葉空間中每一個點上的值都能夠被檢測到。圖2(b)展示了重建過程。

2.2 FDK算法

CBCT數據重建是一個朝氣蓬勃的學科。但是，由于精確算法的數學復雜及計算量大，有許多理論結構簡單的近似算法提出，其中最著名的就是FDK算法。FDK算法專門為錐形束的圓形焦點軌道而設計,它直接把二維的扇束重建算法推廣到了三維錐束重建，從而提供一個近似的重建圖像，比基于三維Radon變化的精確重建算法在數學上簡單許多。而且，在錐角比較小的時候(±4°間)，能夠取得比較好的重建效果。由于實用與穩定，它是目前CBCT圖像重建最廣泛采用的算法。

FDK算法主要包括3個步驟：加權、濾波和反投影。具體實現如下：

(1)對投影數據做加權運算：

(2)

其中，d為光源到旋轉中心的距離，(u,v)為探測器平面坐標,pθ(u,v)是表示地θ角度的投影數據。FDK算法的幾何坐標關系，如圖3所示。

圖3 FDK算法幾何坐標關系

(2)對加權后的投影數據逐行進行一維頻域斜坡濾波運算，如式(3)。

(2)

其中*表示卷積運算。

(3)最后沿X射線方向對濾波后的數據進行三維反投影。對經過某一像素的全部旋轉角度的射線的貢獻求和便得到重建的三維圖像的所有像素值，如式(4)。

(4)

其中，

它們分別表示點(x,y,z)投影到探測器上的坐標。在編程過程中應使用離散計算形式，用2π/N代替dβ，用Σ代替積分，對應的反投影操作離散形式，如式(4)。

qθ(u(x,y,θ),v(x,y,z,θ)))

其中N為采樣總次數。

2.3 FDK算法分析

CT掃描時射線源和探測器同步旋轉一周形成的有效重建體積稱為FOV(Field Of View)。它的形狀為帶有上下圓錐的柱體，六邊形填充區域，如圖4所示。

圖4 FDK掃描截面和重建視野

FDK重建算法產生的三維圖像中可以看到明顯的偽影(Artifact Image)，特別是在偏離軌道平面的區域，其平行于x-y平面的橫向切面半徑變小，表現為圖像上數值的偏低，和“FOV內亮外暗”現象。錐角越大，偏離越遠，重建質量影響就越大，誤差也更大。圖5描述了偽影現象，如圖5所示。

(a)真實切面(b)FDK重建切面(c)改進后重建結果切面

圖5 偽影

圖5(a)是真實體模在遠離軌道平面區域的切面，圖5(b)是FDK算法重建后對應的切面，白色三角箭頭所示則是偽影。

3 改進的FDK算法

為了去除偽影，擴大有效重建面積，我們在反投影計算計算的像素值進行加權處理，使得偽影區域的像素值相對增強。處理方法為：對FDK算法重建結果乘以一個權重值α。通過判斷重建點(x,y,z)在[0～2π]的每一個θ角度的投影點坐標(u,v)是否超出對應投影圖像pθ(u,v)的范圍，也即判斷(x,y,z)在θ角度下是否被反投影，為α賦予不同的值。在計算中，對每一個重建像素點增加一個變量n, 其初始值為0。在反投影的時候，如果對應角度θ下被反投影，則對n進行自增運算。令

則最終的反投影重建，如式(6)。

qθ(u(x,y,θ),v(x,y,z,θ)))

(6)

圖5(c)所示則是利用我們改進算法對遠離軌道平面的切面重建后的對應結果，我們清楚地看到偽影消失了。

4 實驗仿真

為驗證本文對FDK改進方法是否可行，我們進行了模擬仿真實驗，并將本方法和傳統FDK方法重建出的圖像進行對比。仿真實驗使用的是基于平板探測器的圓軌道錐束CT。CT焦點到旋轉中心z軸的距離為380 mm，到探測器平面的距離分為760 mm，探測器大小為512×512，探測元尺寸為1 mm×1 mm，CT掃描以1°間隔共采集360張投影數據。

體模shepp-logan在第45層的真實切面、FDK重建切面和改進后重建結果切面，如圖6所示。三維圖像重建大小為256×256×256，體素尺寸為1 mm×1 mm ×1 mm。圖6(a)是shepp-logan體模在第128層的真實切面的切面，圖6(b)是FDK算法重建后對應的切面，圖 6(c)是本文方法重建出的對應層的切面圖。由于該層剛好位于CT掃描軌道平面，我們可以看到本文改進算法和FDK算法的對該截面重建效果相同，并沒有影響重建結果。但是相比原始FDK算法，本文提出的改進方法在沒有影響原有算法精度的情況下，增大了重建體積，加大了FOV。重建結果形成一個圓柱三維體積。

(a)真實切面(b)FDK重建切面(c)改進后重建結果切面

圖6 shepp-logan體模重建結果

在同樣掃描幾何參數下對一個頭部體模進行重建結果在150層的切面，如圖7所示。

(a)FDK重建切面(b)改進后重建結果切面

圖7 shepp-logan體模重建結果

三維圖像重建大小為256×256×256，體素尺寸為1 mm×1 mm ×1 mm。圖7(a)是FDK算法重建后對應的切面，其幾何偽影較為嚴重，邊沿模糊，分辨率低；圖7(b)是用本文方法重建出的對應層的切面圖，消除了偽影的干擾，分辨率高，擴大了重建體積的有效FOV。

5 總結

本文論述了CT圖像重建的基本原理，并對CBCT三維重建FDK算法進行改進，擴大了重建有效體積FOV，去除偽影干擾。實驗結果表明了該方法是有效可行的。修正重建結果加權因子α并把該方法運用于其它錐束CT重建算法是我們進一步的研究方向。

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