數學深度學習：內涵、實踐模式與展望

蔣安娜+唐恒鈞

【摘 要】 深度學習是培養學生核心素養的重要渠道.目前指向數學深度學習的相關研究成果主要集中于內涵解讀、實施模式及學習策略等方面.結合我國數學深度學習研究與實踐的現狀，今后的研究要更加重視數學深度學習多主題、多視角的理論探索，以及實證探究、深化教學的實踐研究.

【關鍵詞】 數學深度學習；內涵；實踐模式；展望

近年來隨著新課改的深入，尤其是旨在發展學生的核心素養，深度學習在教育領域掀起研究的熱潮，相關研究成果逐漸豐富起來.當然具體到數學學科，深度學習的研究尚處于起步階段.

1 數學深度學習研究概況

截止至2017年10月，通過在中國知網（CNKI）以“深度學習”并含“數學”為篇名，進行檢索，查找到最早專門討論數學深度學習的文章是2011年發表于《小學教學參考》上的《巧用數學學習“困境”，誘導學生深度學習》一文，并且檢索到2011-2017年7年時間里發表文章為89篇，其中發文量最多的一年是2017年發表41篇.具體檢索結果如下：

可見近年來，數學深度學習的文獻逐年增加，教育領域對數學深度學習的關注度不斷提高.分析2011-2017年7年間，在數學深度學習研究領域中，主要研究成果涉及以下方面：首先，關于數學深度學習的內涵與特征.比如，呂亞軍、顧正剛于《初中數學深度學習的內涵及促進策略探析》中總結得出初中數學深度學習的主要特征和促進策略[1].郭元祥于《深度學習：本質與理念》中對人工智能領域與教育領域的深度學習概念給予區分，并著重介紹加拿大學者艾根的“學習深度”的三個標準[2].其次，數學深度學習教學實踐模式方面的研究.比如，馬云鵬于《深度學習的理解與實踐模式》一文中以小學數學學科為例分析深度學習教學設計的基本要素，剖析深度學習教學設計的實踐模式[3].陳柏良于《在深度學習中發展數學核心素養》一文中基于深度學習的理論對教學實錄《三角函數的誘導公式（一）》進行評析，進而提出課堂教學過程開展深度學習以發展核心素養的教學方式[4].朱開群于《基于深度學習的“深度教學”》中展開以核心素養為指向的深度教學的實踐探索[5].再次，數學深度學習策略建議方面的研究.比如劉孝宗、徐澤厚于《初中深度學習的基本策略》從架構知識結構、課程整合、切割高難度數學等三個方面提供學習建議[6].

2 數學深度學習內涵的解讀

深度學習的概念廣泛應用于人工智能領域和教育領域，但兩大領域的深度學習存在本質的區別.在人工智能領域，深度學習是一種算法思維，其核心是對人腦深層次抽象認知過程，實現計算機對數據的復雜運算的優化.具體地，上世紀八九十年代人們就開始研究機器學習模型，特別是突破淺層模型，實現計算機抽象認知方面的研究.而在教育領域，美國學者馬頓和薩爾約基于布魯姆認知維度層次劃分理論的實驗研究，于1976年在《論學習的本質區別：結果和過程》一文中，提出了表層學習（Surface Learning）和深層學習（Deep Learning）的概念[7].這被普遍認為是教育領域首次明確提出深層學習的定義.近十年來國際影響力較大的是加拿大學者艾根教授領銜的“深度學習”（Learning in Depth， 簡稱LID）項目組所進行的研究，該研究探討了深度學習的基本原則與方法[8].

國內關于深度學習的研究于近十年才興起，2005年，黎加厚[9]在《促進學生深度學習》一文中，率先介紹了國外關于深度學習的研究成果，同時探討了深度學習的本質.他認為深度學習是指在理解學習的基礎上，學習者能夠批判性地學習新的思想和事實，并將它們融入原有的認知結構中，能夠在眾多思想間進行聯系，能夠將已有的知識遷移到新的情境中，作出決策和解決問題的一種學習方式.安富海[10]進一步指出深度學習是一種基于高階思維發展的理解性學習，具有注重批判理解、強調內容整合、促進知識建構、遷移運用等特征.

綜觀教育領域國內外學者的文獻，深度學習的概念一般都是基于與“淺層學習”概念進行對比得到，指向理解性學習，倡導層進式以及沉浸式的學習過程，反對機械式的學習.主張學習過程中通過對知識的理解，完善已有的認知結構，拓展提升思維能力.

就數學深度學習而言，馬云鵬[3]認為小學數學深度學習是基于數學學科核心內容，組織學生在深度探究中發展的有意義的學習過程.呂亞軍、顧正剛[1]認為初中數學深度學習是指在淺層學習的基礎上，向探究式學習、發展高階思維能力、構建拓展抽象型知識結構三方面轉化，主動建構并進行有效遷移的過程.從中指出初中數學深度學習的五大特征：主動理解和批判接受；激活經驗與建構新知；知識整合與深層加工；把握本質和滲透思想；有效遷移和問題解決.此外，孫學東、周建勛[11]基于核心素養的角度指出數學深度學習五大特征：學習內容整體認知；知識架構；積極合作且個性化了解；把握數學知識本質；知識遷移與應用.也有部分學者基于與淺層學習的比較，而得出深度學習的特征，例如周先榮[12]從四大思維特征十大學習指向進行探討深度學習和淺層學習的特征比較.

綜觀上述文獻，可以看到數學深度學習是一個立體的過程，相對機械式的淺層學習而言，關鍵在于如何在數學深度學習過程中滲透“深度”的思想.

首先，從知識角度出發，國內學者都將“深度”指向了完整而深刻地理解和處理數學知識本質的基礎之上，即用全面的、聯系的眼光處理數學知識的廣度、深度和關聯度，這與艾根從知識論角度提出的“學習深度”理論中的三個基本標準不謀而合.其次，從學習角度出發，“深度”指向學習者在學習過程中的充分參與和積極建構，并能進行有效的遷移運用.這與建構主義理論強調學習者的認知主體作用相符合.最后，從教學角度出發，“深度”指向“數學深度教學”的落實，通過設計以數學學科為載體的，綜合數學知識的整體連貫性，讓學生在問題情境中自主探究形成數學核心素養，發展數學思維能力.這三個角度也不是割裂獨立的，而是互相交織滲透.例如，深度教學的落實必將以對數學知識整體脈絡的把握為基礎，而學習者也離不開精心設計的深度教學模式的引導.endprint

3 數學深度學習的意義與價值

3.1 滿足數學學習的本質需求

馬云鵬[3]指出深度學習中所形成的關于數學本質的理解，以及相關的數學思考和學習策略，有助于學生整體理解一類知識內容，形成知識與方法的遷移.徐章韜[13]指出數學學習理論應反映數學知識逐級抽象的發展過程以及數學學科的動態發展過程.

上述兩位學者分別指出“深度學習”有助于理解數學學科內容的“知識群”特點以及數學知識螺旋動態上升的架構形態特點.首先，數學學科中的核心內容一般不是單一的知識點，往往是一個知識群，這就對課程設計提出較高的要求.而數學深度學習強調深度理解以及整合數學中某一知識群，用全面聯系的眼光處理，從而達到這一類問題的有效解決和遷移，這將有利于探究數學知識本質.其次，在數學具體教學過程中，往往很難兼顧數學理論的抽象性、嚴謹性和形式化與數學發現過程中的直觀性、經驗性和歸納性這兩個方面.如何在教學中滲透數學思想，培養數學核心素養是每一位教學參與者都應該思考的問題.而數學深度學習相關理論建設和發展也應在充分借鑒建構主義、認知主義等理論的基礎上，考慮學科自身發展機制，從而使學習理論更能反映學科的學習機制，有利于學生進行知識重構、遷移運用等深度學習，從而發展探究能力.

3.2 滿足深化課程改革的需求

《義務教育數學課程標準（2011版）》[14]在“實施建議”的“教學建議”部分提到：“數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志……教學中注重結合具體的學習內容，設計有效的數學探究活動，使學生經歷數學的發生發展過程.”

但在課程改革過程中，課堂教學改革仍存在過于注重教學程序、教學技術、教學時間的淺層次改革和表層學習的局限性等問題.2014年，中國教育科學院院長兼教育部課程教材研究與發展中心主任田慧生研究員帶領團隊開始啟動深度學習的項目研究.落實新課改的教學模式，必須從教學理念和教學方法的核心去真正地優化教學模式，而不是蜻蜓點水式的淺層學習和淺層教學.在數學深度學習中，挖掘數學知識體系核心，注重學習個體的理解參與，使得教學過程從簡單的知識傳遞變為了學生參與體驗的過程，提升了學生自主學習的能力和思維的發散力.

3.3 促進個人數學終身學習

數學是人類最重要的思維方式之一.數學教學的目的在于使學習者學會用數學的眼光去認識自己生活的社會和環境，以數學的思維方式進行思考，最終將所學的數學知識與數學方法在實踐中合理的應用.而數學地看待和解決問題的素養是在一節課、一個單元、一個主題的學習中逐步完善的[15].在數學深度學習的過程中提高學生發現和解決實際問題的能力，促進學生關鍵能力和數學學科核心素養的形成.深度學習促進學習者全面而長遠發展的目標，其作為一種重要而有效的學習方式和學習理念，將使人終身受益.

3.4 滿足社會發展的需要

自20世紀中葉以來，數學為社會的進步創造了許多價值.如信息與計算科學的發展，數字金融的應用等等，信息技術的迅猛發展，人們生活方式和思維觀念的改變，也使得被動式、機械式的學習方式不再適用.2006年，加拿大學者辛頓于《利用神經網絡刻畫數據維度》中提出計算機深度學習模型掀起了深度學習的熱潮[16]，來自腦科學，人工智能領域的新成就引起教育領域研究者的深刻反思.計算機尚且能模擬人腦的深層結構和抽象認知，那人類對知識的學習過程是否也有深層和表層之分？信息技術環境支持下深層次的深度學習的研究發展又該如何展開[2]？這便是教育領域發展研究的一大研究方向.

4 數學深度學習實施模式與策略

深度學習的實施設計可以圍繞數學學科的核心內容展開，整體剖析一組知識群，挖掘數學價值，確定學生發展的整體目標，在此基礎上進行整體設計與實施，促進學生的綜合素質和關鍵能力的發展.

一方面，學者們圍繞數學深度學習開展過程的幾個重要方面進行了策略探討.華志遠[17]提出從開發本源性問題、注重整體理解、對話互動生成、開展探究性學習四個方面進行教學路徑設計，最終體現數學深度學習的本源性、整體性、聯系性和建構性等特點.呂亞軍，顧正剛[18]提出基于深度學習的初中數學課堂優化路徑：激活探究建體系；以元認知引反思；過程性評價促發展；數學本質悟思想.劉孝宗、徐鐸厚[6]提出數學深度學習展開要從數學知識結構、課程整體設計、區分數學深度學習和高難度教學這三個維度進行，指出數學深度學習要面向全體學生，真正培植學生深層思考和學習的能力.戴健[19]則是獨具匠心地運用元認知訓練策略從活躍氛圍整體理解、培養發現能力、歸納感悟知識應用三個方面進行深度學習的課堂實踐.

可以看到，深度教學的實現，需要在知識觀、教學價值取向、教學過程及教師角色方面進行相應的調整和改變[20].而以上觀點也普遍提到準確把握學情和深刻解讀教材是課堂教學設計的基點，是引導學生深度學習的基點[21].

另一方面，不少學者則提出比較具體的課堂教學模式的開展步驟.孫學東、周建勛[11]基于我國已有教學傳統優勢的基礎上提出開展數學常態課堂的深度學習的模式：營造課堂文化，開展單元設計，變式與整合，多角度體驗（例如幾何直觀與方程模型），即時性評價.馬云鵬[3]基于學習內容理解和學科核心素養的深度探究，建立起數學學科開展數學深度學習教學設計的一個實踐模式：學習單元的選擇，單元內容的整體分析，單元整體目標和探究主題的確定，教學策略與方法的選擇，持續性評價設計，教學實施與反饋.王文明[22]將教師課堂行為有機分解，以遞進化和層次化為序，最終將深度學習和有效教學化為研學、展學、輔學、評學四個環節，并對其展開詳細闡述.

上述具體的數學課堂深度學習展開模式都很好地體現了重要路徑方向的注意點，且十分注重數學知識網絡的廣度、深度、關聯度，滲透4R教學[23]，使得實際數學課堂的開展環環相扣，真正做到了有效教學和深度學習的結合.endprint

5 認識及展望

近年來，數學深度學習逐漸成為人們關注的一個熱點問題，人們對數學深度學習的認識逐步明晰，也取得了較大的進展.首先，明確了“深度學習”的進步性.“深度學習”是指向學生核心素養的培養，借鑒建構主義理論等先進理論成果，并與中國教育發展現狀相結合的產物.其次，研究范圍不斷擴大.涉及到內涵界定、實踐策略、數學教學案例分析等方面.再次，理論研究注重結合課堂實際.相關文獻大都以小學、中學數學課堂教學為例子進行闡述，使得理論與實踐的關系更為緊密.最后，研究隊伍多元化，既有高校、研究機構的研究者，也有中小學教研員、教師.無論是學院派，還是實踐派，均從各自的研究視角出發來闡述對“數學深度學習”的認識，提升了研究水平和研究質量.但未來還需要在以下方面得以進一步的推進.

5.1 進一步豐富研究主題

現有文獻更多地側重于深度學習的教學實踐操作的研究，而缺乏對深度學習的理論基礎、價值指向，以及深度學習的課程支持、深度學習的評價等方面進行研究.因此研究主題有待進一步豐富.例如，可以進一步關注“數學深度學習”與“核心素養”的關系.又如，可以通過中西方數學深度學習的比較研究；深度學習與淺層學習的比較研究，以進一步拓寬研究主題與視角.

5.2 進一步加強實證研究

可以看到數學深度學習研究成果主要是以思辨性為主，缺乏實證研究，這在一定程度上影響了研究結果的說服力，當然這與“數學深度學習”這一領域的研究歷史較短有關.今后需進一步通過實證研究，用數據驗證數學深度學習的理論假設，進一步明確數學深度學習的價值與局限，用實證研究分析開展數學深度學習過程中的影響因素及機制.

5.3 進一步強化研究的系統性

目前的研究以通過案例闡述數學深度學習實踐模式為主，還缺少整體脈絡的梳理.如目前尚無關于“數學深度學習”發展的歷史.因此需要進一步建成數學深度學習理論的體系，加強頂層設計，注意整體協同，豐富課改發展內涵.從而為考察課程改革及其發展趨勢提供方向指引，也為實踐者提供理論基礎，將“數學深度學習”向“數學深度教學”轉化.

數學深度學習已然受到了教育理論者和實踐者的廣泛關注，但相對而言還是一個新的研究領域，需要在不斷研討、實證中繼續完善其研究體系.而數學深度學習的真正落實、實踐更是需要漫長時間的努力，還有待廣大教育研究者進一步的實踐探索.

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