探求不可求函數零點存在區間的策略

黃如炎

1 問題提出

函數零點是高中函數的重要內容，探求不可求函數零點的存在區間，是高考的重點、熱點和難點，是考查學生數學關鍵能力、學科素養和核心價值的把關試題.要證明連續函數f（x）在區間（a，b）內存在零點，根據函數零點存在定理，需要找到實數a，b，使f（a）f（b）<0，因此研究函數零點問題常歸結為探求函數零點的存在區間.探求不可求函數零點，學生思路茫然，有些教師干脆用“畫圖說明”替代邏輯推理，失去了數學的嚴謹.高考命題組給出的標準解答具有抽象、嚴謹、精煉、規范的特點，體現了數學的理性思維，很有數學味，但由于沒有給出零點探求的思維過程（連圖形都沒有），使師生很難領悟標準解答.對直接給出的結論，學生更感猶如天降，百思不得其解，不利于學生思維的發展[1][2].

如何有效突破不可求函數零點的存在區間這一教學難點，找到一種“接地氣”的教師可教、學生可學、考試可用（在很有限的時間內）的研究策略是廣大師生的殷切期盼.筆者認為解題教學既要直觀性又要嚴謹性，既要學術性又要教育性.探求不可求函數零點要順應學生形象思維到抽象思維的認知過程，通過求導作圖，特值驗證，放縮化歸等有效策略，啟迪學生心智，引導學生經歷數學發現和數學創造的思維歷程，揭示蘊涵解題背后的核心素養、數學本質和思想方法.本文基于學生思維的發展性，教學的實效性和考試的實用性，通過近年高考壓軸題的原創解法，給出引導學生探求函數零點存在區間的有效策略.endprint