回歸基礎(chǔ)教材，重構(gòu)知識(shí)體系

郭新河

[摘 要] 正、余弦定理是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有外在的整體性和內(nèi)在的聯(lián)系性，對(duì)于定理的理解要從教材的概念原理出發(fā)，在理解定理本質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行思維的拓展，筆者整理了正、余弦定理的教學(xué)復(fù)習(xí)課，從定理的證明入手，開(kāi)展典題講評(píng)并總結(jié)了相關(guān)教學(xué)反思，與大家交流探討.

[關(guān)鍵詞] 正弦定理；余弦定理；聯(lián)系性

高中的復(fù)習(xí)課要注意回歸課本，注重教材內(nèi)容的精講精練，對(duì)于定理要從基礎(chǔ)證明開(kāi)始，結(jié)合高考真題進(jìn)行講評(píng). 數(shù)學(xué)知識(shí)是系統(tǒng)聯(lián)系的，教學(xué)的講授也應(yīng)該注重之間的聯(lián)系，讓學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系，形成良好的認(rèn)知，為解決數(shù)學(xué)的綜合問(wèn)題打下基礎(chǔ).

教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)

1. 教學(xué)目標(biāo)

（1）理解正弦定理和余弦定理的證法，掌握正、余弦定理實(shí)現(xiàn)三角形邊角之間的轉(zhuǎn)化.

（2）根據(jù)不同的條件，靈活運(yùn)用正、余弦定理解決三角形的相關(guān)問(wèn)題.

（3）通過(guò)三角函數(shù)和正、余弦定理等知識(shí)聯(lián)系事物之間的一般聯(lián)系與辯證統(tǒng)一關(guān)系.

2. 教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：可以綜合三角函數(shù)和正、余弦定理解決三角形的相關(guān)問(wèn)題.

難點(diǎn)：可以合理地選用正、余弦定理，優(yōu)化求解過(guò)程，并可以解決三角形多解問(wèn)題.

教學(xué)片段與賞析

1. 回歸課本，喚醒知識(shí)

例題：將一根長(zhǎng)度為30 cm的木棒鋸成兩段，分別作為一鈍角三角形ABC的兩條邊AB和BC，并且∠ABC=120°，怎樣鋸木條才可以使△ABC的周長(zhǎng)達(dá)到最小？

師：請(qǐng)同學(xué)們講解一下自己的解題思路.

生：為使△ABC的周長(zhǎng)達(dá)到最小，可使AC邊最短即可. 設(shè)AB的邊為x，則BC為30-x，根據(jù)余弦定理可表示AC=，0

設(shè)計(jì)意圖：上述例題是教材的經(jīng)典練習(xí)題，是余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的例子，通過(guò)知識(shí)的回顧重新溫習(xí)余弦定理，加深理解，為深入學(xué)習(xí)做鋪墊.

2. 推陳出新，定理重證

師：很好，考慮得很充分，正弦定理就此可以證明了.

（2）余弦定理

師：關(guān)于余弦定理的證明方法有很多，常用的有向量法、構(gòu)造外接圓法、通用法，請(qǐng)同學(xué)們嘗試證明.

3. 典例講評(píng)，應(yīng)用感悟

例題：在△ABC中，它的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a，b，c，現(xiàn)已知a=bcosC+csinB.

（1）求B的值；

（2）如果b=2，求△ABC的最大面積.

預(yù)設(shè)解答：（1）根據(jù)已知，由正弦定理可知sinA=sinBcosC+sinC·sinB ①.

又由A=π-（B+C），所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②.

由①②以及C∈（0，π），可得sinB=cosB.又因?yàn)锽∈（0，π），所以有B=.

（2）可知△ABC的面積為S=acsinB=ac，根據(jù)已知以及余弦定理可知4=a2+c2-2accos. 又有a2+c2≥2ac，所以ac≤（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立）. 因此，△ABC的最大面積為+1.

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解，促使學(xué)生使用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)去解決實(shí)際問(wèn)題，達(dá)到融會(huì)貫通的境界，有利于學(xué)生形成相應(yīng)的知識(shí)規(guī)律. 同時(shí)讓學(xué)生理解正弦定理和余弦定理并不是獨(dú)立的，解題時(shí)的綜合使用更加便利，形成自己連貫的思維.

4. 對(duì)接高考，思路擴(kuò)展

（2015年高考安徽卷）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓E：+（a>b>0）上的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1的直線相交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，且AF1=3BF1.

（1）如果AB=4，△ABF的周長(zhǎng)為16，求解AF2；

（2）如果cos∠AF2B=，求橢圓E的離心率.

設(shè)計(jì)意圖：高考題是很多優(yōu)秀專家和教師的集體智慧的結(jié)晶，有很高學(xué)習(xí)價(jià)值，通過(guò)對(duì)高考題的探討學(xué)習(xí)，可以拓展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的理解能力.

教學(xué)立意的深入思考

1. 調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，體現(xiàn)課堂的數(shù)學(xué)美

課改后的課堂應(yīng)該是探究活動(dòng)式的課堂，讓學(xué)生充分參與其中，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓知識(shí)在活動(dòng)探究中生成. 對(duì)于定理的證明，要讓學(xué)生充分地理解，發(fā)散思維，不拘泥于固定的形式，在合作交流中進(jìn)行思想的拓展，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 數(shù)學(xué)教學(xué)要滲透數(shù)學(xué)思想，課程設(shè)計(jì)要主題明確，思路清晰，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約之美；要讓新舊知識(shí)交融碰撞，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的連貫美；定理證明要科學(xué)合理，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的理性美；教師授課要語(yǔ)言豐富，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文字美. 讓學(xué)生在課堂中真切地感受到數(shù)學(xué)的魅力，才能使學(xué)生積極主動(dòng)地去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué).

2. 適時(shí)回歸教材，尋求最真數(shù)學(xué)

每節(jié)課的內(nèi)容都應(yīng)該從教材本身的概念定理作為出發(fā)點(diǎn)，然后用數(shù)學(xué)的思想和方法將知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，對(duì)于問(wèn)題的探討要尋求教材的最真知識(shí)，從概念出發(fā)進(jìn)行思考解決，尤其對(duì)于高三的復(fù)習(xí)課，必須重視教材，然后在解題策略上高于課本. 學(xué)習(xí)的過(guò)程不是模仿的過(guò)程，滲透數(shù)學(xué)真理的數(shù)學(xué)活動(dòng)才是有價(jià)值的教學(xué)活動(dòng)，以問(wèn)題為背景，開(kāi)展實(shí)踐討論，交流合作，最終做出理性的分析總結(jié)，讓學(xué)生體驗(yàn)思想淬煉的過(guò)程，品析數(shù)學(xué)多樣的味道，感受數(shù)學(xué)本源的氣息，主動(dòng)地去探求數(shù)學(xué)的真諦，這才是中學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵.

寫(xiě)在最后

注重知識(shí)的聯(lián)系性，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層次的思考，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法，提升數(shù)學(xué)內(nèi)涵，這是對(duì)中學(xué)課堂教學(xué)的要求. 在高中復(fù)習(xí)課中，不僅要讓學(xué)生知道定理的“果”，更要讓學(xué)生明白其中的“因”，靈活地結(jié)合教材內(nèi)容，讓學(xué)生在深刻理解定理本質(zhì)的基礎(chǔ)上發(fā)散思維.