待定系數法：容易被人遺忘的角落

劉紅英

[摘 要] 待定系數法是中學數學的基本方法之一，但在日常教學中發現它沒有引起師生的足夠重視，往往被忽視，文章以歷年浙江高考數學題為例對待定系數法應用做一個比較全面的概括，以回歸其應有的地位.

[關鍵詞] 浙江高考題；待定系數法；方法應用

對于某些數學問題，若是知所求結果具有某種確定的形式，則可研究和引入一些尚待確定的系數來表示這樣的結果，通過變形與比較，建立起含有待定字母系數的方程（組），并求出相應字母系數的值，進而使問題獲解，這種方法稱之為待定系數法. 其理論依據是多項式的恒等定理即以標準形式給出的兩個多項式恒等的充要條件是這兩個多項式的對應項系數相等. 待定系數法是中學數學的基本方法之一，但在日常教學中發現它沒有引起師生的足夠重視，往往被忽視，本文試圖以歷年浙江高考數學題為例對待定系數法應用做一個比較全面的概括，以回歸其應有的地位，現分述如下：

利用待定系數法求參變量

例1 （2014年浙江卷理6）

已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，且0

A. c≤3？搖？搖？搖？搖？搖？搖 B. 3

C. 69

解析：因f（-1）=f（-2）=f（-3），所以可設f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）+d，比較兩者f（x），由待定系數法可得d=c-6，令x= -1，得d=c-6∈（0，3]，故6

評注：一般地，若函數f（x）=ax3+bx2+cx+d的零點為x1，x2，x3，可設f（x）=a（x-x1）·（x-x2）（x-x3）；若函數f（x）=ax3+bx2+cx+d的值滿足f（x1）=f（x2）=f（x3），可設f（x）=a（x-x1）（x-x2）（x-x3）+d+ax1x2x3；高次函數也可類似設.

例2 （2015年浙江卷理15）

已知e1，e2是空間單位向量，e1·e2=，若空間向量b滿足b·e1=2，b·e2=，且對于任意x，y∈R，b-（xe1+ye2）≥b-（x0e1+y0e2）=1（x0，y0∈R），則x0=______，y0=______，b=______.

解析：b-（xe1+ye2）2=b2+x2+y2-4x-5y+xy=x++（y-2）2+b2-7，

由題意可知，當x=x0，y=y0時，b-（xe1+ye2）有最小值1.

由待定系數法得x0+=0，y0-2=0，b2-7=1，

所以x0=1，y0=2，b=2.

評注：解決本題的關鍵有二：一是明確b-（xe1+ye2）的最小值為定值

b-（x0e1+y0e2），二是模的平方后的配方，然后由待定系數法列出方程組. 一般地，向量模的問題往往通過平方或構造圖形或建立坐標系來解決，然后挖掘圖形或坐標間內在聯系建立含有待定系數的恒等關系.

例3 （2010年浙江卷理7）

若實數x，y滿足不等式組x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0， 且x+y的最大值為9，則實數m等于（ ）

A. -2？搖？搖？搖？搖 ？搖B. -1？搖？搖？搖？搖？搖C. 1？搖？搖？搖？搖？搖？搖D. 2

解析：由圖像可知：當x+y取最大值9時，直線x+y=9過2x-y-3=0與x-my+1=0的交點，因2x-y-3=0與x+y=9的交點為（4，5），把（4，5）代入直線x-my+1=0，由待定系數法得m=1.

評注：本題的待定系數m已給出，無須再引進參數，問題反過來轉化為根據結論x+y的最大值為9結合圖形來確定已知中的待定系數m的值.

利用待定系數法求函數解析式

例4 （2016年浙江卷理10）

已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A>0），則A=________，b=________.

解析：2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=sin2x++1 ，所以A=，b=1.

評注：本題的實質就是把一個代數式從一種形式變換為另一種形式，并且保持變形前后的兩個代數式是恒等的，也就是形變而值不變，然后用待定系數法求出A，b值.

例5 （2011年浙江卷文18）

已知函數f（x）=Asinx+φ，x∈R，A>0，0<φ<. y=f（x）的部分圖像，如圖1所示，P，Q分別為該圖像的最高點和最低點，點P的坐標為（1，A）.

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及φ的值；

（Ⅱ）若點R的坐標為（1，0），∠PRQ=，求A的值.

解析：（Ⅰ）由題意得，T==6.

因為P（1，A）在y=Asinx+φ的圖像上，所以sin+φ=1.

又因為0<φ<，所以φ=.

？搖 （Ⅱ）設點Q的坐標為（x0，-A），

？搖由題意可知x0+=，得x0=4，所以Q（4，-A）.

？搖連接PQ，在△PRQ中，∠PRQ=，由余弦定理得

？搖cos∠PRQ===-.

解得A2=3. 又A>0，所以A=.

評注：一般地，解決函數與圖像有關的問題關鍵是充分挖掘圖像包含的信息，然而利用幾何條件建立關于待定系數的方程（組）.

利用待定系數法求方程

例6 （2010年浙江卷理21）

已知m>1，直線l：x-my-=0，橢圓C：+y2=1，F1，F2分別為橢圓C的左、右焦點.

（Ⅰ）當直線l過右焦點F2時，求直線l的方程；

（Ⅱ）略.

解析：（Ⅰ）因為直線l：x-my-=0經過F2（，0），

所以=，得m2=2.

又因為m>1，所以m=，

故直線l的方程為x-y-1=0.

例7 （2009年浙江卷理20）

已知數列{an}中，a1=1，an+1=c-，設c=，bn=，求數列{bn}的通項公式.

解析：bn+1===+2，即bn+1=4bn+2. 設bn+1+λ=4（bn+λ），由待定系數法得λ=，則bn+1+=4bn+，故bn+是首項為-，公比為4的等比數列，即bn+=-×4n-1，則bn=--.

評注：求形如數列an+1=pan+q的通項公式，可引進待定系數得an+1+λ=p（an+λ），從而構造新數列{an+λ}是公比為p的等比數列.

利用待定系數法求最值

例8 （2011年浙江卷理16）

設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是________.

解析：待定系數λ，μ，則：

（2x+y）2=4x2+y2+4xy

=4x2+y2+2λxμy+（4-2λμ）xy≤4x2+y2+（λx）2+（μy）2+（4-2λμ）xy

=（4+λ2）x2+（1+μ2）y2+（4-2λμ）xy（λ，μ>0）.

取4+λ2=4（1+μ2）=4（4-2λμ），則λ2=，μ2=.

即（2x+y）2≤（4x2+y2+xy）=，所以2x+y≤.

類似地還可進一步求：

例9 若x，y，z是正數，且滿足x+2y+3z=1，求++的最小值.

解析：待定系數α，β，γ，設+αx+αx+αx≥4，

同理+3βy≥4，+3γz≥4，三式相加.

因為x+2y+3z=1，可見當且僅當α∶β∶γ=1∶2∶3時，

即∶∶=1∶2∶3時取等號，結合x+2y+3z=1，得

x=，y=，z=時取等號，++的最小值為1296.

評注：根據題目需要可引進2個及以上待定系數，一般地求不等式最值往往采用多個待定系數，同時還要考慮等號能否同時成立.

從上可知，待定系數法是歷年浙江高考數學卷中的“常客”， 應該把它放到足夠高的地位，同時利用待定系數法解題的關鍵是把握好三關：一是“引進關”：根據題意引進恰當的待定系數，轉化為我們熟悉的結構形式；二是“聯列關”：根據已知條件，利用恒等式相等或幾何條件或定義本身的屬性等列出方程（組）；三是“求解關”：求出各待定字母系數，進而解決問題.endprint