看透高考壓軸題的數學背景

涂勇

[摘 要] 文章通過對三道高考題的數學背景的探索，試圖挖掘高考壓軸題的編制思路，并嘗試了原創壓軸題.

[關鍵詞] 高考；壓軸題；數學背景

高考壓軸題以其創新的形式、思維的深度和靈活性著稱，但壓軸題也不會脫離數學的核心和本質，不是一味地追求技巧和復雜度，壓軸題的背后往往有深刻的數學背景知識. 筆者在教學過程中，遇到幾道高考壓軸題，就是如此，下面做出說明.

例1 （2013廣東理科第8題）

設整數n≥4，集合X={1，2，3，…，n}，集合S={（x，y，z）x，y，z∈X，且三條件x

A. （y，z，w）∈S，（x，y，w）？埸S

B. （y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S

C. （y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S

D. （y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S

分析：答案是B. 本題可以通過取特殊值或者分類討論得出結果，但這些方法都沒有看清本題的數學本質. 筆者認為本題的數學背景是圓排列情形. 事實上，x

例2 （2013重慶理科第10題）在平面上，⊥，==1，=+，若<，則的取值范圍是（ ）

A. 0，

B. ，

C. ，

D. ，

分析：答案是D. 筆者認為：本題的數學背景知識是平面四邊形的四邊平方和等于對角線平方和，也就是三角形的中線公式. 解法如下：本題中，OM既是△OAP又是△OB1B2的中線.利用中線公式，在△AOP中，有2（OA2+OP2）=（2OM）2+AP2；而在△OB1B2中，有2（OB+OB）=（2OM）2+B1B，于是有OA2+OP2=OB+OB=2.

例3 （2014湖北理科第14題）如圖2，圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且AB=2.

（Ⅰ）圓C的標準方程為________；

（Ⅱ）過點A任作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于M，N兩點，下列三個結論：

①=；②-=2；③+=2，

其中正確結論的序號是_________. （寫出所有正確結論的序號）

分析：本題的背景知識是：阿波羅尼斯圓和調和分割. 設EF為圓O的直徑，若點B，A調和分割線段EF，而EF的中點為O，于是有結論：①對于圓上任意一點M（或N），=為定值；②OA·OB=OE2. 于是本題第（Ⅱ）問可以這樣求解：由圓C的切割線定理可知OA·OB=OT2=1=OM2，于是B，A正好調和分割線段EF. 設OA=x，于是x（x+2）=1，x=-1，因此====+1.

高考壓軸題并不是僅僅在拼技巧和湊數據，一方面壓軸題的出題要兼顧高中數學知識載體，另外一方面也要體現數學的思維和本質，于是利用一些適合的數學背景知識，就可以做出具有創新性的壓軸題.筆者在教學過程中也曾經利用這種處理辦法出了一道全新題目.

例4 （筆者新編）過橢圓C：+=1（m>0）的右焦點F作直線l與橢圓C交于M，N兩點，MN的垂直平分線交x軸于P點，若以|MN|、4|PF|、長軸長為邊長可以構成長軸長為最大邊的鈍角三角形，則m的取值范圍是（ ）

A. ，4

B. 0，

C. ，4

D. 0，

答案：B

解答：+=1，y=k（x-c） ？圯（b2+a2k2）x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0，

x1+x2=，MN=2a-e（x1+x2）=，MN的垂直平分線為：y+=x-，令y=0，得xp=，于是PF=c-xp=，所以PF=MN.

因為以MN、4PF、長軸長為邊長可以構成長軸長為最大邊的鈍角三角形，

設MN=x，于是有x+2ex>2a，x2+（2ex）2<（2a）2 ？圯x∈，，

由于焦點弦長的范圍是，2a，于是，∩，2a≠，

所以<，即（1+4e2）（1-e2）2<1，解得e2>，于是m<.

分析：PF=MN是圓錐曲線中一個已知的結論，證法很多. 但如果學生按照上述解法來求解，那就考查了弦長問題、中垂線問題、解三角形問題、存在性問題，還得注意觀察式子之間的聯系，對學生的思維要求較高. 利用已知結論考出新意，不失為壓軸題的一種可以借鑒的出題方法.