“以形助數”須謹防圖形失真

何國堅

[摘 要] 數形結合思想是一種重要的數學思想，利用數形結合思想解題，常可收到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的功效.但在利用“以形助數”解決問題時，須注意圖形的等價性、完整性、準確性和存在性，謹防圖形失真.

[關鍵詞] 以形助數；等價性；準確性；存在性；完整性

“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，割裂分家萬事非”. 數形結合思想就是使數量關系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，由“數”想“形”，由“形”思“數”. 利用數形結合思想解題，常可收到化難為易，化繁為簡，化隱為顯的功效.但在利用“以形助數”解決問題時，如果忽視圖形的等價性、完整性、準確性和存在性，往往會導致錯誤結論的產生.

注意圖形等價性

圖形的等價性是指在利用數形結合解題時，僅利用了圖形的一般情況得出結論，而沒有對圖形的等價性進行研究，從而導致錯誤或片面性失誤. 為此在利用數形結合思想解題時，一定要注意圖形的等價性，利用圖形的等價性解題.

案例1 在平面直角坐標系xOy中，已知平面區域A={（x，y）x+y≤1，且x≥0，y≥0}，則平面區域B={（x+y，x-y）（x，y）∈A}的面積是多少？

錯解：畫出平面區域A，如圖1，設s=x+y，t=x-y，由圖知：0≤s≤1，-1≤t≤1，即平面區域B={（s，t）0≤s≤1，-1≤t≤1}，所以平面區域B的面積是2.

剖析：要求平面區域的面積，首先應準確地畫出平面區域，而區域B的表示有點反常規，上述錯誤是學生容易犯的錯誤，錯誤的原因是沒有把相關等價條件全寫出來，從而擴大了平面的區域.正確解法是：設s=x+y，t=x-y，所以B={（s，t）0≤s≤1，-1≤t≤1}，作出上述不等式組表示的平面區域B，如圖2所示，根據圖形可知平面區域為等腰直角三角形，所以面積是1.

在利用數形結合法解題時，由于圖形的準確性不強，僅由“大致”圖形之間的關系得出結論而導致失誤，為此應準確畫出圖形，要將圖形的直觀分析與推理論證相結合.

案例2 設二次函數f（x）=ax2+bx+c，a>0，方程f（x）=x的兩個根為x1、，x2，且滿足0

錯解：設y=f（x），y=x，方程f（x）-x=0的兩根實質上是函數y=f（x）與直線y=x交點的橫坐標.作出上述兩個函數的圖形，如圖3，由圖形的直觀性可知：當x∈（0，x1）時，x

剖析：事實上函數f（x）=ax2+bx+c與直線y=x的交點除了上述情況外，還有一種情況，即兩個交點在拋物線的對稱軸的同側，從而導致了錯誤的產生.

正確解決如下：

除錯解中的情況以外，還應包含兩個交點在拋物線的對稱軸的同側，此時有x0，f（x）-x=a（x-x1）（x-x2）>0，所以f（x）>x，即有x

注意圖形的存在性

在利用數形結合法解題對，往往只注意形與形之間的大致位置關系，沒有對它們的存在性進行嚴密的考察，從而導致失誤，為此在使用數形結合時一定要注意圖形的存在性，不能無中生有.

案例3 已知拋物線y2=2px（p>0）上有一條長為a的動弦AB，求弦AB的中點M到y軸的距離的最小值.

錯解：如圖4，設拋物線y2=2px的焦點為F，準線為l，過A，B，M分別作l的垂線，垂足分別為A′，B′，M′，連結AF，BF. 設M到y軸的距離為d，由拋物線的定義知：

d=MM′-=-=≥=，

所以dmin=.

剖析：上述解法中取到最小值的條件是A，B，F共線，即弦AB過焦點F，而拋物線焦點弦的取值范圍是[2p，+∞），所以要使弦AB過焦點F，必有a≥2p，而題設中并沒有這個條件，忽視了圖形的存在性，從而導致失誤. 事實上，只有當a≥2p時，才有dmin=，而當a∈（0，2p）時，需利用代數方法得到dmin=.

注意圖形的完整性

在利用數形結合法解題時，我們經常是只畫出圖形的局部，只考慮這種局部的圖形，而沒有對圖形的整體進行考察，有時也會導致失誤.為此在使用數形結合思想時，要注意所用的圖形是否完整，對有多種情形的題目，一定要分類討論，不能以偏概全.

案例4 已知拋物線C：y=-x2+mx-1，點A（3，0），B（0，3），求拋物線C與線段AB有兩個不同交點時m的取值范圍.

錯解：令f（x）=-x2+mx-1，則二次函數f（x）的圖像的頂點坐標為，，結合圖5知拋物線和線段AB有兩個交點應滿足：

>3-，0<<3，f（3）≤0，f（0）≤0，解之得：-1+

剖析：上述解法僅僅考慮了拋物線的頂點在線段AB上方這一情形，思維片面，導致錯誤. 事實上，它忽視了頂點在線段AB上和頂點在線段AB下面時，拋物線與線段AB也有兩個交點的情形.正確解法如下：AB方程為：x+y=3，代入拋物線方程得：x2-（m+1）x+4=0，則x2+4=（m+1）x，令f（x）=x2+4，g（x）=（m+1）x，等價于y=x2+4與y=（m+1）x在[0，3]上有兩個不同交點，由圖6知：3

數學思想方法是數學的精髓，是學生形成良好認知結構的紐帶，是知識轉化為能力的橋梁，也是培養學生良好的數學觀念和創新思維的關鍵. 從上面的分析可以看出：雖然數形結合思想是中學數學中最常見、最有效的思想方法之一，但“形”的直觀也往往會致使我們失之偏頗. 因此，在利用數形結合法解題時，特別要注意圖形的等價性、準確性、存在性和完整性，確保圖形的真實性，謹防圖形失真.