“點(diǎn)在曲線上”的問(wèn)題探究

施振偉

[摘 要] 解析幾何題在江蘇高考中處于中檔題位置，其方法靈活多變.解幾題最大的難度在于計(jì)算方向的選擇，如果能夠找準(zhǔn)計(jì)算方向可以達(dá)到事半功倍的效果.解幾問(wèn)題常出現(xiàn)“點(diǎn)在曲線上”的情況，對(duì)于此類問(wèn)題可以設(shè)直線與曲線方程聯(lián)立求點(diǎn)或利用一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系求解；也可以通過(guò)設(shè)點(diǎn)列方程組通過(guò)消元得到所求變量；甚至可以利用曲線所特有的幾何特性處理.

[關(guān)鍵詞] 點(diǎn)在曲線上；幾何角度；設(shè)線；設(shè)點(diǎn)

點(diǎn)在曲線上的問(wèn)題是近幾年江蘇高考解析幾何題型中的熱點(diǎn)問(wèn)題，該問(wèn)題處理方法多樣，計(jì)算方法靈活多變，值得教師學(xué)生細(xì)細(xì)品味. 下面，筆者通過(guò)典型例題具體說(shuō)明.

例：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2+y2=5，過(guò)點(diǎn)M（1，0）作直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，且=2，求直線l的斜率.

思路一：由于是直線和圓的問(wèn)題，可以先從幾何角度去考慮，可以構(gòu)造直角三角形，通過(guò)計(jì)算圓心到直線的距離，求出直線l的斜率.

解法一：連接OA，OB，作OH⊥AB交直線AB于點(diǎn)H，如圖2所示. 設(shè)OH=x，由=2，且OA=OB可得：=3，所以=3，所以x=.

設(shè)直線l的斜率為k，所以直線l的方程為：

？搖？搖？搖？搖kx-y-k=0（k>0），所以=，故k=1.

解法一體現(xiàn)幾何法是在解決直線和圓問(wèn)題的主要方法，然而如果將本題改為橢圓背景的問(wèn)題，幾何法不一定適用，此時(shí)可以通過(guò)代數(shù)法處理.

思路二：利用方程思想結(jié)合點(diǎn)在圓上的條件，可以將點(diǎn)A或點(diǎn)B的坐標(biāo)解出來(lái)，從而求出直線l的斜率.

解法二：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由=2，M（1，0），可得：1-x2=2（x1-1），-y2=2y1，所以-x2=2x1-3，-y2=2y1.

因?yàn)锳，B均在圓O上，

所以（2x1-3）2+（2y1）2=5，x+y=5.

解得x1=2，y1=1，

所以直線l的斜率為kAM=1.

思路三：結(jié)合思路二，可以結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將直線l的方程與圓O的方程聯(lián)立，通過(guò)韋達(dá)定理進(jìn)行計(jì)算.

解法三：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為：x=my+1（m>0），

聯(lián)立圓O的方程：x2+y2=5，可得：（1+m2）y2+2my-4=0，

所以y1+y2=，y1·y2=.

由=2，M（1，0），可得-y2=2y1.

由y1+y2=，-y2=2y1，可得y1=，y2=，

所以y1·y2==，

解得m=1，所以直線l的斜率為=1.

通過(guò)例題的三種解題思路可知：對(duì)于“點(diǎn)在曲線上”的問(wèn)題一般可以從幾何和代數(shù)兩個(gè)角度去思考，計(jì)算的時(shí)候可以通過(guò)方程組求在曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)或利用韋達(dá)定理處理. 解題時(shí)應(yīng)根據(jù)具體的曲線背景和題目中的條件合理地選擇最佳的解題方法. 下面筆者結(jié)合兩個(gè)練習(xí)題對(duì)方法的選擇做進(jìn)一步探究.

練習(xí)1（2017年南通市二模考試17題第二問(wèn)）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓+=1？搖（a>b>0）的離心率為，C為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，B為橢圓上一點(diǎn)，且=，求直線AB的斜率.

思路一：由條件=可得點(diǎn)B與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)關(guān)系為1∶2，通過(guò)將直線AB，OC的方程分別與橢圓方程聯(lián)立計(jì)算B與C的縱坐標(biāo)，從而得到直線AB的斜率.

解法一：因?yàn)闄E圓的離心率為，所以=，即=，

所以橢圓的方程為+=1，即5x2+9y2=5a2.

設(shè)直線OC的方程為x=my（m>0），B（x1，y1），C（x2，y2）.

由x=my，5x2+9y2=5a2，得5m2y2+9y2=5a2. 又因?yàn)閥2>0，所以y2=.

因?yàn)?，所以AB∥OC. 可設(shè)AB的方程為x=my-a.

由x=my-a，5x2+9y2=5a2，得（5m2+9）y2-10amy=0. 又因?yàn)閥1>0，得y1=.

因?yàn)?，所以y2=2y1，即=（m>0），所以m=.

所以直線AB的斜率為=.

思路二：由條件=可得點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)之間的關(guān)系，分別代入橢圓方程可求出點(diǎn)B或點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而得直線AB的斜率.

解法二：因?yàn)闄E圓的離心率為，所以=，即=，

所以橢圓的方程為+=1，即5x2+9y2=5a2. 設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），

因?yàn)?，得（x1+a，y1）=x2，y2，所以x1=x2-a，y1=y2.

因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)C都在橢圓5x2+9y2=5a2上，

所以5x+9y=5a2，5x2-a+9=5a2，

解得x2=，y2=，

所以直線AB的斜率為.

練習(xí)2（2014年南通市一模考試19題第二問(wèn)）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓+y2=1的內(nèi)接四邊形ABCD （點(diǎn)A，B，C，D在橢圓上）的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)P1，？搖，且=2，=2，求直線AB的斜率.

思路：由條件=2，=2可知AB//CD，故要求直線AB的斜率，即從點(diǎn)在曲線上的條件尋找x1，y1，x2，y2之間的關(guān)系.

解：設(shè)A（x1，y1），則+y=1.

由=2，得C，.

代入橢圓方程+y2=1，得+=1.

整理，得+y-（x1+y1）-=0，

即x1+y1=-.③

設(shè)B（x2，y2），同理可得x2+y2=-. ④

③-④，得=-1，即直線AB的斜率為k==-1.

？搖？搖對(duì)于點(diǎn)在曲線上的問(wèn)題解法多種多樣，最關(guān)鍵的是要根據(jù)題目的條件選擇最佳的解決方案，一般利用幾何法和代數(shù)法都可以解決，但真正在限時(shí)訓(xùn)練時(shí)要更注意方法的選擇和計(jì)算的方向.endprint