一道課本題的探究

孫其天

[摘 要] 文章從課本中的一道已知數列遞推公式求數列通項公式的試題出發，對其進行三次探究，得出類似問題的常規解法. 把握教材的例題與習題，注重對這些

題目：已知數列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），對于這個數列的遞推公式做一研究，能否寫出它的通項公式？（人教A版數學《必修5》第二章數列復習參考題B組第6題）

探究一 已知遞推公式a1=a，a2=b，an+2=pan+1+qan（其中p≠0，q≠0），求通項公式，此題采用構造法，轉化為新的等差或等比數列.

若p+q=1時，有an+1-an=-q（an-an-1），所以an+1-an=（a2-a1）（-q）n-1，然后用累加法求解.若p+q≠1時，可先把原遞推公式轉化為an+2-san+1=t（an+1-san），其中s，t滿足s+t=p，st=-q，再用累積法求解. 注意s，t實質是二次方程x2-px-q=0的兩個實根，方程x2-px-q=0是an+2=pan+1+qan的特征方程，如果特征方程無根時，則需考慮數列的周期性.

解析：由an=2an-1+3an-2可轉化為an-san-1=t（an-1-san-2）

即an=（s+t）an-1-tsan-2，所以s+t=2，st=-3，解得s=-1，t=3，或s=3，t=-1.

得an+an-1=3（an-1+an-2）以及an-3an-1= -（an-1-3an-2），

所以an+an-1=3n-2（a2+a1）=7·3n-2，an-3an-1=（-1）n-2（a2-3a1）=13·（-1）n-1.

由以上兩式得4an=7·3n-1+13·（-1）n-1（n≥3）.

顯然a1，a2滿足上式.

所以數列的通項公式是an=[7·3n-1+13·（-1）n-1].

評注：教材給出了數列的相鄰三項的遞推關系式，求解的突破口是分解中間項，構造等比數列. 把握教材的例題與習題，注重對這些例題的深入挖掘，深入思考，不論高考數列遞推題的構思多么新穎，我們都可以不變應萬變.

探究二 問題中將遞推公式an=2an-1+3an-2兩邊同時除以an-2，可得=2+3，進一步變形得·=2·+3. 令bn=，則bn·bn-1=2bn-1+3，兩邊同除以bn-1得bn=2+. 對于遞推公式b1=b，bn+1=p+（其中p≠0，r≠0）求通項公式采用構造法，轉化為新的等差或等比數列.

若p2+4r=0時，存在非零常數-，使得數列是首項為=，公差為的等差數列；若p2+4r>0時，存在非零常數x，y，滿足x+y=-p，xy=-r， 使得數列是首項為，公比為q=的等比數列.實際上遞推公式bn+1=p+可寫成bn+1·bn-pbn-r=0，-p，-r可以看作是二次方程x2-px-r=0的一次項系數和常數項，而p2+4r正好看作是判別式，因此總結為當Δ=p2+4r=0時，可構造等差數列求通項公式；當Δ=p2+4r>0時，可構造等比數列求通項公式；當Δ=p2+4r<0時，則需考慮數列的周期性.

例1 已知數列{an}中，a1=1，an+1= -3-，求數列{an}的通項公式. （人教A版數學《必修5》習題2.1A組第4題第2小題變形）

解析：p2+4r=1>0，令x+y=3，xy=2，解得x=2，y=1或x=1，y=2，不妨取x=2，y=1.

則數列是首項為=，公比為q==2的等比數列，因此=·2n-1，即an=.

評注：人教A版數學《必修5》習題2.1A組第4題第2小題使得p2+4r<0，則該數列是以3為周期的周期數列.

探究三 已知遞推公式a1=a，a2=b，an+2=pan+1+qan（p2+4q>0），求通項公式.

設an+2+λan+1=（p+λ）（an+1+λan），

所以an+2=pan+1+（p+λ）λan，

把an+2=pan+1+（p+λ）λan與an+2=pan+1+qan比較可得（p+λ）λ=q，

即λ2+pλ-q=0.

所以方程λ2+pλ-q=0有兩個不同的根，

分別為λ1=，λ=.

由an+2=pan+1+qan可得an=pan-1+qan-2（n≥3），

所以有an+λ1an-1=（p+λ1）（an-1+λ1an-2）①

an+λ2an-1=（p+λ2）（an-1+λ2an-2） ②

由①得an+λ1an-1=（b+aλ1）（p+λ1）n-2③

由②得an+λ2an-1=（b+aλ2）（p+λ2）n-2④

由③×λ2-④×λ1得an=（n≥3），

顯然a1=a，a2=b均滿足上式.

所以an=（n∈N*）.

例2 已知數列{an}中，a1=5，a2=2， 2（an+an+2）=5an+1，求數列{an}的通項公式. （2012年遼寧高考理科14題變形）

解析：由2（an+an+2）=5an+1得an+2=an+1-an.

設an+2+λan+1=+λ（an+1+λan），

所以an+2=an+1++λλan，

把an+2=an+1++λλan與an+2=an+1-an比較可得+λλ=-1，

即λ2+λ+1=0，

解得λ1=-2，λ2=-.

所以有an+2-2an+1=（an+1-2an） ①

an+2-an+1=2an+1-an ②

由①得an+2-2an+1=（2-2×5）= -8×=-23-n③

由②得an+2-an+1=2-×52n= -×2n=-2n-1④

由③-④×4得-3an+2=-23-n+2n+1，所以an+2=，即an=（n≥3）.

顯然a1=5，a2=2均滿足上式.

所以an=（n∈N*）.

評注：本題求解過程是構造出等比數列，聯立兩方程組消參，把數列相鄰三項的遞推關系式轉化為數列的相鄰兩項的遞推關系式，彰顯了思維的創造性.endprint