淺析中考二次函數(shù)與幾何圖形綜合題

羅麗紅

二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內容，此類綜合題在中考中通常以壓軸題的形式出現(xiàn)，它不僅可以考察一次函數(shù)、二次函數(shù)與幾何圖形的基本知識，還可以考察數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想，以及學生閱讀理解、收集信息、思維分析、解決實際問題的能力，因此要求學生具有較高的綜合能力。本文主要對二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題進行分析，包括兩個部分：一是與直線的交點問題，二是與三角形的問題。

一、與直線的交點問題

1.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+5與x軸交于點A，與y軸交于點B，與拋物線y=ax2+bx交于點C、D，已知點C的坐標為（1，7），

點D的橫坐標為5.

（1）求直線與拋物線的解析式；

（2）將此拋物線沿對稱軸向下平移

幾個單位，拋物線與直線AB只有

一個交點？

解：（1）拋物線的解析式為y=-x2+8x；

（2）拋物線y=-x2+8x的頂點坐標為（4，16），對稱軸是直線x=4，

設向下平移后的拋物線的頂點坐標為（4，k），

∴平移后的拋物線的解析式為y=-（x-4）2+k，

與直線y=2x+5聯(lián)立消掉y得，

-（x-4）2+k=2x+5，

整理得，x2-6x+21-k=0，

要使拋物線與直線AB只有一個交點，

則Δ=b2-4ac=36-4（21-k）=0，

解得k=12，

∵16-12=4，

∴需將此拋物線沿著對稱軸向下平移4個單位.

二、與三角形的問題

2. 如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與直線y=x+1相交于A（-1，0），B（4，m）兩點，且過點C（5，0）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上的一個動點且與A，B兩點不重合，過點P作直線PD⊥x軸，垂足為D，交直線AB于點E.

①當PE=2ED時，求P點坐標；

②在拋物線上是否有點P使△BEC為等腰三角形？如果有請寫出P點的坐標；如果沒有請說出理由.

解：（1）y=-x2+4x+5.

（2）設P（x，-x2+4x+5），則E（x，x+1），D（x，0），

∵P不與A，B點重合，

①a.P點在A、B之間的拋物線上，

|PE|=-x2+4x+5-x-1，|ED|=x+1，

∵PE=2ED，即-x2+4x+5-x-1=2（x+1），

解得x1=2，x2=-1（舍），∴此時P（2，9）；

b.P在點A左側的拋物線上，

|PE|=x+1+x2-4x-5，|DE|=-x-1，

∵PE=2ED，即x+1+x2-4x-5=2（-x-1），

解得x1=-1（舍），x2=2（舍），∴此種情況不存在；

c.P在點B右側的拋物線上，

|PE|=x+1+x2-4x-5，|ED|=x+1；

∵PE=2ED，即x+1+x2-4x-5=2（x+1），

解得x1=6，x2=-1（舍），此時P（6，-7），

綜上所述，P（2，9）或P（6，-7）.

②在拋物線上存在點P使△BEC為等腰三角形，坐標為P1（，），P2（4+，-4-8），P3（4-，4-8），P4（0，5）.

設點P（a，-a2+4a+5），則E（a，a+1），

∵B（4，5），C（5，0），∴BC2=（5-4）2+52=26，

BE2=（4-a）2+（5-a-1）2=2a2-16a+32，

CE2=（5-a）2+（-a-1）2=2a2-8a+26，

若△BEC為等腰三角形，則分三種情況討論：

a.當BE=CE時，BE2=CE2，即2a2-16a+32=2a2-8a+26，解得a=，此時P（，）；

b.當BC=BE時，BC2=BE2，即26=2a2-16a+32，解得a=4+或a=4-，此時P（4+，-4-8）或P（4-，4-8）；

c.當BC=CE時，BC2=CE2，即26=2a2-8a+26，解得a=0或a=4（舍去），此時P（0，5）.

綜上所述，符合條件的P點的坐標為P1（，），P2（4+，-4-8），P3（4-，4-8），P4（0，5）.

三、二次函數(shù)與四邊形

3.（2017菏澤）如圖，在平面直角坐標系中，

拋物線y=ax2+bx+1

交y軸于點A，交x軸

正半軸于點B（4，0），

與過A點的直線相交

于另一點D（3，），

過點D作DC⊥x軸，

垂足為C.

（1）求拋物線的表達式；

（2）點P在線段OC上（不與點O、C重合），過P作PN⊥x軸，交直線AD于M，交拋物線于點N，連接CM，求△PCM面積的最大值.

解：（1）拋物線的表達式為：y=-x2+x+1；

（2） ∵拋物線y=-x2+x+1與y軸交于點A，

設直線AD的表達式為y=kx+d，則1=d，=3k+d，

解得k=，d=1，

∴直線AD的表達式為y=x+1.

∵CD⊥x軸，D（3，2.5），∴C（3，0），

設P（m，0），則0

∵PN⊥x軸，∴M（m，m+1），∴PM=m+1，CP=3-m，

∴S△PCM=PM·CP=×（m+1）（3-m）

=-（m-）2+，

∴當m=時，△PCM面積取得最大值.