正態分布規范性的證明和應用

摘 要：本文給出標準正態分布的規范性的兩種證明方法，作為應用，我們運用標準正態分布給出了π和e的近似計算方法。

關鍵詞：正態分布；Gamma函數；規范性

正態分布在概率論與數理統計具有非常重要的地位。中心極限定理很好地體現了這一重要性。一般地，正態分布隨機變量X的密度函數具有如下的形式

f（x）=12πσexp-（x-μ）22σ2，-∞0。此時，我們記X～N（μ，σ2），如果μ=0，σ=1，則x的密度函數為φ（x）=12πe-x22，-∞

證明方法一：

由積分的性質我們知道：

∫∞-∞e-x22dx2=

∫∞-∞e-x22dx·∫∞-∞e-y22dy=∫∞-∞∫∞-∞e-x2+y22dxdy

令x=rcosθ，y=rsinθ，其中r>0，0≤θ≤2π，則

∫∞-∞e-x22dx2=∫∞0∫2π0e-r22rdrdθ=2π。

規范性得證。

證明方法二：

下面我們借助Gamma函數的工具來證明標準正態分布的規范性。Gamma函數的定義為Γ（x）=∫∞0tx-1e-tdt。Gamma函數Γ（x）滿足如下的余元公式

Γ（1-x）Γ（x）=πsin（πx），0

在上式中令x=0.5，則Γ（0.5）=π。在Γ（x）=∫∞0tx-1e-tdt中，令t=s2可以得到

Γ（x）=2∫∞0s2x-1e-s2ds，

故π=Γ（0.5）=∫∞-∞e-s2ds。再令，s=t/2，則π=Γ（0.5）=∫∞-∞e-t22dt/2，即∫∞-∞e-t22dt/2π=1，標準正態分布的規范性得證。為了證明一般正態分布N（μ，σ2）的規范性，在∫∞-∞e-t22dt/2π=1中，令t=（x-μ）/σ，即x=σt+μ，則有

∫∞-∞12πσexp-（x-μ）22σ2dx=1。

標準正態分布的應用：

設X～N（0，1），則

E（|X|）=∫∞-∞|x|12πe-x22dx=2∫∞0x2πe-x22dx=-22π∫∞0e-x22d-x22=2π，

E（eX）=∫∞-∞ex12πe-x22dx=e∫∞-∞12πe-（x-1）22dx=e.

π和e是數學中兩個非常重要的常量，借助于上面得到的公式，我們可以給出

π和e的近似值。設（x1，x2，…xn）是由標準正態分布N（0，1）生成的隨機數，則

1n∑nk=1|xk|可以作為E（|X|）的估計值，而π=2/（E（|X|））2，所以2/1n∑nk=1|xk|2可以作為π的近似值。同理，1n∑nk=1exk2可以作為e的估計。

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作者簡介：

劉小艷，江蘇省揚州市，江蘇省邗江中學。