同心圓擬合法在海洋鋼結(jié)構(gòu)測量中的應(yīng)用

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(海洋石油工程股份有限公司，天津 300452)

海洋鋼結(jié)構(gòu)大部分都由圓鋼管組成。圓管端部圓心坐標(biāo)精度至關(guān)重要，是控制海洋鋼結(jié)構(gòu)精度的重要環(huán)節(jié)，其中的導(dǎo)管架頂部導(dǎo)管跨距、井口導(dǎo)向管空間位置等關(guān)鍵位置關(guān)系到海上安裝能否順利進(jìn)行。因此，精確測量并計(jì)算這些關(guān)鍵位置的管端坐標(biāo)非常必要。文獻(xiàn)[1-2]只測量圓周外側(cè)若干點(diǎn)，點(diǎn)數(shù)少而且只分布在圓周一側(cè)上，計(jì)算圓心精度較低，文獻(xiàn)[3-6]采用帶理論約束半徑的算法，提高了部分圓管圓心精度，但是，由于圓管在加工制造過程中，存在一定的圓度誤差及半徑誤差，導(dǎo)致圓管的真實(shí)半徑和理論半徑并不一樣，因此帶理論約束半徑的算法并不是最精確的方法。運(yùn)用自由設(shè)站法可以測量整個圓周上的測量點(diǎn)，但是自由設(shè)站過程比較耗時，效率低下，而且在轉(zhuǎn)站過程中還存在公共標(biāo)靶坐標(biāo)的匹配誤差[7-8]，也不是最好的方法。

基于上述問題，本文提出一種新方法——三維空間圓管端部同心圓擬合法，該方法可使測量點(diǎn)數(shù)增加一倍，測量范圍擴(kuò)大一倍，如圖1所示，采用全站儀無棱鏡模式首先測量圓管端面上的若干點(diǎn)，再測量圓管端面附近的內(nèi)皮和外皮若干點(diǎn)，運(yùn)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法和最小二乘法擬合同心圓圓心坐標(biāo)。該方法較傳統(tǒng)方法的圓心計(jì)算精度大幅提高，對于海洋鋼結(jié)構(gòu)圓管端部的準(zhǔn)確控制具有重要作用。

圖1 測量點(diǎn)在圓管上分布示意圖Fig.1 Survey points distribution on the circular tube

圖2 圓管測量點(diǎn)坐標(biāo)變換示意圖Fig.2 Survey points coordinates alternation

1 測量點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過程

全站儀測量圓管端面上一些點(diǎn)的三維坐標(biāo)(多余3個點(diǎn)以上)以及端面附近內(nèi)皮、外皮若干點(diǎn)的三維坐標(biāo)。外皮上測量點(diǎn)坐標(biāo)為(x1i、y1i、z1i),(i=1,2,…,m)(m>3)，內(nèi)皮測量點(diǎn)坐標(biāo)為(x2i、y2i、z2i),(i=1,2,……n)，如圖2所示。

至此，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的測量點(diǎn)在xy平面內(nèi)分布形狀為一組同心圓離散點(diǎn)，如圖3所示。

圖3 測量點(diǎn)坐標(biāo)變換后在XY平面內(nèi)形成同心圓分布圖Fig.3 Survey points in XY plane after coordinates alternation

2 同心圓擬合數(shù)學(xué)計(jì)算

為計(jì)算參數(shù)初始值，由外設(shè)圓方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,通過三點(diǎn)平面坐標(biāo)可以計(jì)算參數(shù)D、E和F, 由此可知：p0=-0.5D,q0=-0.5E,

圓管的厚度已知為h，設(shè)同心圓的圓心坐標(biāo)為(p,q)，外圓半徑為r，可知：

外圓方程為：

(x1′-p)2+(y1′-q)2=r2；

(1)

內(nèi)圓方程為：

(x2′-p)2+(y2′-q)2=(r-h)2。

(2)

將式(1)與式(2)方程用泰勒公式展開得誤差方程：

平差方程的矩陣形式函數(shù)模型為

令

根據(jù)間接平差原理[13-16]，可知

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及分析

現(xiàn)場測量渤中34-9項(xiàng)目WHPB導(dǎo)管架預(yù)制導(dǎo)管端面及內(nèi)外皮上若干數(shù)據(jù)三維坐標(biāo)，已知導(dǎo)管理論外半徑為1 185 mm，理論內(nèi)半徑1 105 mm，管厚度為80 mm。測量數(shù)據(jù)如表1所示。

分別運(yùn)用本文同心圓擬合方法、單獨(dú)外皮數(shù)據(jù)擬合方法、單獨(dú)內(nèi)皮數(shù)據(jù)擬合方法、單獨(dú)外皮數(shù)據(jù)加約束半徑擬合方法、單獨(dú)內(nèi)皮數(shù)據(jù)加約束半徑擬合方法，計(jì)算圓管端部圓心坐標(biāo)，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

圖4 坐標(biāo)變換后的同心圓圓心三維坐標(biāo)Fig.4 3 D coordinate of circle center after coordinates alternation

由表2 可以看出，由于同心圓擬合法測量的點(diǎn)數(shù)更多，且較均勻地分布在內(nèi)外圓周上，計(jì)算圓心的點(diǎn)位中誤差最小，計(jì)算的內(nèi)外半徑比較貼近理論半徑，精度最高。單獨(dú)計(jì)算內(nèi)外皮數(shù)據(jù)法的圓心點(diǎn)位中誤差最大，計(jì)算的半徑偏離真實(shí)半徑較大，精度最低[11-12]。加理論約束半徑法計(jì)算的圓心點(diǎn)位中誤差較小[3-6]，但由于圓管加工制造存在誤差，其真實(shí)的半徑與理論半徑并不相等，用理論半徑作為約束條件也存在一定的誤差。因?yàn)橥膱A擬合法比其他方法測量的數(shù)據(jù)更多，精度更高是必然的，為了證明測量相同點(diǎn)數(shù)情況下其精度更高，現(xiàn)同心圓擬合法的數(shù)據(jù)采用外皮的P1、P3、P5、P7、P9點(diǎn)與內(nèi)皮的P10、P12、P14、P16點(diǎn)，這樣測量點(diǎn)數(shù)與其他方法相同，計(jì)算結(jié)果見表2最后一行。結(jié)果顯示其計(jì)算的半徑與圓心點(diǎn)位中誤差較其他方法更合理。說明除了測量點(diǎn)數(shù)量外，測量點(diǎn)的分布范圍也是影響圓心精度的重要因素，分布范圍越大，計(jì)算精度越高。各算法的圓心分布俯視圖如圖5所示,可以看出同心圓算法的圓心位置大致在中間位置。

表1 測量點(diǎn)數(shù)據(jù)表Tab.1 Survey points data mm

表2 幾種方法計(jì)算的數(shù)據(jù)結(jié)果Tab.2 Result of various calculating methods mm

圖5 各算法圓心分布示意圖Fig.5 Circle center position of various methods

4 結(jié)論

通過數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)分析可知，同心圓擬合法得到的圓管端部圓心的計(jì)算精度高于其他方法，因?yàn)橛?jì)算中既增加了測量點(diǎn)數(shù)量，又?jǐn)U大了測量點(diǎn)的分布范圍。因全站儀一站就可以同時測量圓管內(nèi)外皮，較自由設(shè)站法測量整個圓周的效率更高，且避免了自由設(shè)站公共標(biāo)靶的匹配誤差問題。算法中加入了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過程，可以實(shí)現(xiàn)對任意傾度圓管端部圓心的計(jì)算。

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