利用Free Search算法推求作物水分響應Jensen模型參數

朱偉峰 王斌 姜寧

摘要：依據最小二乘法原理推求作物水分響應模型參數時可能存在參數不合理、模型模擬精度尚可提升、試驗處理少而難于估計模型參數等問題。針對這些問題，以Jensen模型參數推求為例，引入自由搜索（Free Search，FS）算法率定作物水分響應模型參數，將FS單個動物每步探查行走的位置向量作為參數的一組潛在解，利用FS算法的動物群體遷移行為推求一組最優參數，從而改善作物水分響應模型的適用性。三個實例研究結果表明：FS算法概念清晰，操作便捷，可以直接率定作物水分響應模型參數，不需轉換作物水分響應模型的數學形式，能夠有效避免參數出現負值或大于1等不合理現象，并提升作物水分響應模型的模擬精度;當難于采用線性回歸方法時，可以考慮利用FS算法推求作物水分響應模型參數。

關鍵詞：作物水分生產函數;作物水分響應模型;殘差平方和;參數估計;自由搜索

中圖分類號：S274.1文獻標志碼：A

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：朱偉峰

Estimation for parameters of Jensen model using free search algorithm

ZHU Weifeng.1，WANG Bin.2，JIANG Ning.3

（1.Water Conservancy Management Center of Heilongjiang Province，Harbin 150040，China;

2.College of Water Conservancy and Civil Engineering，Northeast Agricultural University，Harbin 150030，China;

3.College of Water Conservancy and Power，Heilongjiang University，Harbin 150080，China）

Abstract：Using the least square method to estimate the parameters of the model of crop response to water （MCRW） may present some problems such as unreasonable parameters，unsatisfying simulation accuracy，and inestimable parameter due to insufficient irrigation experimental treatments.To solve these problems，Free Search （FS） was used to estimate the parameters of Jensen model in this paper.The position vector of each exploratory step of the individual animal of FS was taken as a set of potential solutions of the parameter，and a set of optimal parameters was estimated based on the animal group migration of the FS algorithm.Three case studies showed that the FS algorithm can calibrate directly the parameters of Jensen model without converting the model.FS can also effectively avoid unreasonable phenomenon such as a negative parameter or a parameter greater than 1，and improve the simulation accuracy of the Jensen model.When it is difficult to adopt the linear regression method，FS algorithm can be used to estimate the parameters of MCRW.

Key words：crop water production function;model of crop response to water;residual sum of squares;parameter estimation;free search

作物產量與水分投入量（或消耗量）之間的數學關系稱為作物水分生產函數（Crop Water Production Function，CWPF），而描述作物水分生產函數的數學模型稱為作物水分響應模型（Model of Crop Response to Water，MCRW）[1-4]。在大量的灌溉試驗基礎上，國外學者提出了一系列不同形式的作物水分響應模型，這些模型通常可以分為全生育期模型和生育階段模型兩大類，后者一般還可以細分為相加模型和相乘模型，其中常見的相加模型有Blank模型、Stewart模型、Singh模型等，而Jensen模型和Minhas模型則是較經典的相乘模型[1-2，4-8]。我國自20世紀80年代開始從國外引進各種作物水分響應模型，并針對不同地區的氣候、土壤、作物品種等因素與作物產量的關系，通過非充分灌溉試驗開展了大量的模型考核、模型篩選及模型參數估計工作，從研究小麥、玉米、水稻等作物擴展為研究棉花、葡萄、馬鈴薯、紅棗等[8-11]，澇漬脅迫、干旱、寬壟溝灌等生產條件也逐漸被考慮進來[12-14]，并把作物不同生育階段的水分敏感性與作物的根系生長、葉面積氣孔效應、光合產物分配等研究結合起來，極大促進了我國節水灌溉理論與實踐的發展。

然而，在推求作物水分響應模型參數時，對于全生育期模型，通常結合實測數據，利用一元或多元線性回歸方法求解模型參數;而生育階段模型一般需要經對數變換等方法先將作物水分響應模型轉換為線性回歸模型，再根據最小二乘法原理求回歸系數的最優解從而獲得原作物水分響應模型參數。最小二乘法雖然能夠保證線性回歸模型的殘差平方和（Sum of Squares for Error，SSE）最小，但無法保證經過對數變換以前的作物水分響應模型的SSE同時最小;并且線性回歸方法求解的參數可能存在負值或大于1的可能，與作物水分響應模型參數的物理意義相矛盾;此外，求解多元線性回歸方程組時對樣本容量有要求，當灌溉試驗處理數（樣本容量）小于等于生育期階段數（解釋變量個數）時，將難于采取線性回歸方法估計作物水分響應模型參數。為解決這些問題，本文以多個實例為研究對象，引入自由搜索（Free Search，FS）算法[15-16]率定作物水分響應模型參數，以期提供一種改善作物水分響應模型適用性的新方法。

1FS率定作物水分響應模型參數原理

FS是一種源于動物群體（animals）遷移行為的優化算法，在FS的概念性模型中，動物群體憑借多次離散運動通過搜索空間。在搜索過程中，動物個體（animal）采取探查行走方式，目的是為了發現一個自己偏好的位置，在實際優化問題中，這個偏好的位置即為目標函數的一個潛在解，在搜索行為結束時群體找到的最優位置即為目標函數的最優解[15]。

采用FS率定作物水分響應模型參數時，單個動物每次探查行走的位置向量對應一組模型的初始參數，每個動物多步探查的結果構成了如下的作物水分響應模型參數矩陣：

式中：j=1，2，…，m，m為動物群體數量;s為探查步伐數，k[WTBX]=1，2，…，s;n為FS搜索空間的維數（即作物水分響應模型參數個數，亦即劃分的作物生育階段數），i=1，2，…，n;Pj為第j個動物在s步探查過程的位置矩陣（由s組作物水分響應模型參數構成）;pk[WTBX]j為第j個動物第k步探查時的位置向量（即第k[WTBX]組作物水分響應模型參數）;pk[WTBX]ij為第j個動物第k步探查時第i維位置分量（即第k[WTBX]組參數中第i個生育階段的參數）。

利用FS率定作物水分響應模型參數時，需要向FS提供作物各生育階段參數的變化區間，考慮到作物水分響應模型參數的物理意義，可將各階段的參數變化區間設置在0～1之間，既為算法提供了參數初始值的變化范圍，又可以使得算法在尋優過程中獲得的參數始終具有實際意義。尋優目標是使得FS率定參數的作物水分響應模型的SSE最小，目標函數見式（2）。在算法迭代過程中，FS的每個動物均會以式（1）為基礎，依據算法迭代機制和修改策略不斷更新自己的位置，并利用式（2）計算目標函數值，繼而確定自身下一步的探查位置，從而估計一組最優的作物水分響應模型參數值。

式中：N為灌溉試驗處理數目，I=1，2，…，N;YaI為第I個處理的作物實測產量（kg/ hm.2）;[AKY^]aI為FS率定參數的作物水分響應模型模擬的第I個處理作物產量（kg/ hm.2）。

FS自動判斷是否滿足設定的終止條件，如果滿足則說明算法已經搜索到可以接受的最優解，如不滿足則繼續探查搜索。由上述可見，利用FS率定作物水分響應模型參數的方法概念清晰，不需要復雜的數學變換，能夠便捷地直接尋優得到模型參數。

2利用FS率定和改善作物水分響應模型實例分析

下面僅以在我國水稻等作物灌溉和估產中應用較廣的Jensen模型為例，利用FS推求Jensen模型參數，分析該方法對Jensen模型適用性的改善效果，Jensen模型公式如下：

式中：Ya為作物實際產量（kg/ hm.2）;Ym為作物最高產量（kg/ hm.2）;ETai為第i生育階段作物實際蒸發蒸騰量（mm）;ETmi為第i生育階段作物最大蒸發蒸騰量（mm）;λi為第i生育階段的Jensen模型參數。[HJ1.86mm]

2.1推求合理的作物水分響應模型參數

在推求作物水分響應模型參數時，通常先將這些模型轉化為某種形式的線性方程組，然后運用最小二乘法擬合。這種方法推求的參數可能存在負值或者大于1，與作物灌溉促產的實踐和作物水分響應模型的意義不符;實測的某生育階段蒸發蒸騰量可能高于充分灌溉處理的蒸發蒸騰量，此時相對蒸發蒸騰量大于1，與作物水分響應模型相對蒸發蒸騰量小于等于1等前提不符，采用線性回歸方法不易處理這種情況;此外，當考慮其他因素建立的復雜模型難于轉換成線性表達式，采用線性回歸方法無法求解這種情況下的模型參數。

為研究干旱區作物-水分關系，魏占民在內蒙古臨河市東郊的巴盟水科所曙光試驗站開展了玉米等旱作物的非充分灌溉田間試驗，其中玉米蒸發蒸騰量及產量試驗結果見表1[4]。由表1可見， 00Y3和00Y5處理在灌漿-收獲階段、00Y8和00Y9處理在喇叭口-抽雄階段的蒸發蒸騰量均高于充分灌溉的處理00Y1，且文獻[4]Jensen模型參數在拔節-喇叭口、灌漿-收獲階段均出現了負值。采用FS率定的Jensen模型模擬結果見表1，模型參數對比情況見表2。

為便于比較，將文獻[4]研究成果一并列入表1、表2中，從表2可以看出，FS在推求Jensen模型參數時，參數率定與模型是否經過線性轉換以及各階段的相對蒸發蒸騰量大小無關，通過限定參數變化區間可以有效避免參數出現不合理值，且推求的生育階段參數從大到小排列順序與文獻[4]采納的Minhas模型相同。與原Jensen模型相比，雖然FS率定的Jensen模型SSE略大，但原Jensen模型參數在兩個生育階段出現了負值;此外，經計算文獻[4]采納的Minhas模型的SSE為150 723.9，而FS率定的Jensen模型大大降低了SSE。

2.2提升作物水分響應模型模擬精度

為揭示中稻產量與需水量及稻田水分間的定量關系，崔遠來等[5]于1992-1993年在河北省唐海縣農科所開展了中稻水分生產函數試驗研究，并提出了水資源不足條件下應用作物水分生產函數優化設計水稻灌溉制度的方法。該項研究的所有試驗處理均在大型稱重式蒸滲器內進行，并利用大型非稱重式蒸滲器校核了試驗成果，實測1992年中稻各處理的蒸發蒸騰量及產量見表3。

在文獻[5]中，Blank模型和Singh模型參數均出現了負值，而Jensen模型和Stewart模型各生育階段參數從大到小排列順序相同，與中稻的水分生理理論及灌溉實際經驗一致，且相關系數均較高，均屬合理模型，相對而言，Jensen模型更適宜描述唐海縣各生育階段水分對中稻產量的影響。如前文所述，當采用線性回歸方法推求Jensen模型參數時，雖然能使得轉換形式后的線性回歸模型獲得最小SSE，但不一定同時使得Jensen模型模擬產量的SSE最小。采用FS率定的Jensen模型模擬結果見表3，模型參數對比情況見表4。

從表4可以看出，FS率定的Jensen參數均為正值，與文獻[5]中的參數變化規律完全一致，表現為抽穗開花期最大，其次為拔節孕穗期和分蘗期，最小為乳熟期，且SSE比文獻[5]減小2.2%。雖然模擬精度提升有限，但足以表明在估計Jensen模型參數時，經過數學變換后的線性回歸模型存在降低原模型模擬精度的現象，而采用FS率定作物水分響應模型參數，可以提升作物水分響應模型模擬精度。

2.3解決試驗處理少時的模型參數難于估計問題

在推求作物水分響應模型參數時，為獲得唯一可行解，應滿足N>n+1;為獲得最優解，應滿足N≥n+1的條件約束[1]。然而，在開展作物水分生產函數試驗時，根據《灌溉試驗規范（SL 13-2015）》，宜將作物全生育期劃分為4～6個階段，應針對不同階段的缺水程度安排處理，并安排任何階段均不缺水的處理作為對照;可依據不同階段、不同土壤含水率下限或不同的灌水次數與灌水定額設計3～4種缺水水平，同時安排不同缺水水平下階段間連續受旱或間隔受旱的處理;各處理需安排3次以上重復，且各處理的重復次數應相等[3]。假如按規范規定的最低要求開展試驗，僅將作物全生育期劃分為4個階段，每個階段僅設計3種缺水水平，僅考慮前后銜接的2個和3個生育階段連續受旱且僅安排一種缺水水平，加上對照仍需要18個處理。由于水分生產函數試驗通常需要依托測坑、蒸滲儀等開展，即使安排3次重復則最少需要54個測坑或蒸滲儀，通常很難具備這樣的試驗條件，當試驗條件不具備、試驗處理數小于生育階段數時，采用線性回歸法難于估計作物水分響應模型參數。

為研究調虧灌溉模式對寒地黑土區水稻產量的影響，孫艷玲等在黑龍江省慶安縣和平灌區水稻灌溉試驗站采用測坑試驗研究了寒地黑土區水稻水分生產函數。該試驗考慮了6個生育期，設計了包含對照在內的7個試驗處理，各處理蒸發蒸騰量及產量實測結果見表5[6]。雖然試驗處理數比生育階段數目多1，但當采取線性回歸方法求解作物水分響應模型參數時，如果采用對數變換生成多元線性方程組，則對照處理的相對蒸發蒸騰量、相對產量的對數值均為0，此時試驗處理數目與生育階段數相同，難于按普通的線性回歸方法求解模型參數。采用FS率定的Jensen模型模擬結果表5，模型參數對比情況見表6。

從表6可以看出，與文獻[6]相比，FS率定的Jensen模型模擬精度有所下降，SSE大幅增大，這可能是試驗處理數目較少、作物生育階段數目較多原因造成的。但采用FS率定的Jensen模型參數均為正值，從大到小排序為抽穗>分蘗中>分蘗前>分蘗后>拔節>返青，與慶安縣當地的灌溉實際經驗基本一致，且可以有效推求處理數較少情況下的作物水分響應模型參數，而文獻[6]的Jensen模型出現了兩個階段參數均為負值的不合理現象。需要說明的是，采用此例是為了說明在試驗處理數與生育階段數已定、試驗處理數相對較少、線性回歸方法失效情況下的作物水分響應模型參數推求方法。

3結論

針對根據最小二乘法原理推求作物水分響應模型參數時可能存在的參數不合理、模型模擬精度難于提升、試驗處理少時模型參數難于推求等問題，以Jensen模型為例，引入FS算法率定Jensen模型參數，以改善該模型的適用性，得到結論如下。

（1）采用FS率定作物水分響應模型參數，可以限制參數的變化范圍，有效避免參數出現負值或大于1等不合理現象，且參數的大小排序與當地灌溉經驗和作物水分響應關系較一致。

（2）即使選取的作物水分響應模型合理，利用最小二乘法推求的參數小于1且不為負值，但只能保證轉化形式后的模型SSE最小，不能保證原作物水分響應模型的SSE同時最小，采用FS不需轉換作物水分響應模型數學形式，可以直接率定模型參數，且能提升作物水分響應模型的模擬精度。

（3）當試驗處理數目相對較少，難于達到利用最小二乘法的前提條件時，可以考慮利用FS算法推求作物水分響應模型參數。

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