基于指數加權衰減記憶無跡卡爾曼濾波的路面附著系數估計*

付翔 孫威 黃斌 邢愛娟 王靜

（武漢理工大學，現代汽車零部件技術湖北省重點實驗室 汽車零部件技術湖北省協同創新中心，武漢 430070）

1 前言

實時、準確地獲取路面附著系數是車輛制定相關穩定性控制策略的基礎，也是實現車輛主動安全控制的必要前提。國內外學者在基于μ-s曲線估計路面附著系數方面已經作了大量研究[1~5]，但是該方法需要大量的數據進行擬合，存在響應慢、實時性不強等問題，且識別結果的準確性過于依賴模型精度。近年來，基于車載傳感器信息融合技術進行路面附著系數實時估計的方法在研究中得到廣泛應用。文獻[6]基于擴展卡爾曼濾波算法對路面附著系數進行了估計，文獻[7]基于無跡卡爾曼濾波算法初步仿真估計了路面附著系數，文獻[8]采用交互式多模型算法估計了車速和路面附著系數，文獻[9]利用回歸最小二乘法和輔助變量法對路面附著系數進行了識別。

車輛作為一個強非線性復雜系統，其動力學模型通常與真實系統之間存在著不可避免的誤差，使模型不能反映真實的物理過程，使得觀測值與模型不相對應，從而引起濾波誤差較大甚至發散等問題[10]。傳統無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）雖然具有估計精度高的特點，但它以標準卡爾曼濾波為基礎，屬于無限增長記憶濾波，在進行任意時刻的濾波估計時，要用到當前時刻以前的所有數據，導致當前傳感器測量值沒有得到充分利用，且UKF估計需要精確的數學模型和噪聲統計特性，否則會引起濾波精度降低甚至發散的現象。鑒于此，本文在傳統UKF基礎上，引入衰減記憶濾波對噪聲及觀測數據進行指數加權處理，逐漸減小舊觀測數據的權重，相應地增大新近觀測數據的權重，從而逐漸減小舊觀測數據對濾波的不良影響，提高估計算法的性能和精度，增強濾波器的穩定性。

2 非線性車輛動力學模型

2.1 整車模型

本文主要研究車輛在水平路面的附著系數估計，所提出的估計算法基于如圖1所示的3自由度車輛模型，包括車輛的縱向、側向和橫擺3個方向的運動。圖1中，vx、vy分別為車輛的縱向速度和側向速度。

圖1 車輛模型

車輛運動方程為：

式中，ax、ay、r分別為車輛的縱向加速度、橫向加速度、橫擺角速度；m為整車質量；Fw=CDAvx2/21.15為空氣阻力；Fxi、Fyi分別為縱向力和側向力（i=1,2,3,4分別代表左前輪、右前輪、左后輪、右后輪）；a、b分別為前軸和后軸至車輛質心的距離；tf、tr分別為前、后輪距；δ為前輪轉角（假設兩前輪轉角相同）；Iz為整車繞垂直軸的轉動慣量；CD為空氣阻力系數；A為車輛縱向迎風面積。

2.2 輪胎模型

針對參數估計的研究，綜合算法的復雜度、實時性和模型精度考慮，采用Dugoff輪胎模型[11]。輪胎縱向力和側向力可分別表示為：

式中，Cx、Cy分別為輪胎的縱向剛度和側偏剛度，它們在不同垂直載荷下的取值可通過查表獲得；α、s分別為輪胎的側偏角和縱向滑移（轉）率，它們可表示為參數δ、vx、vy、ωi、ax、ay的函數形式[12]；邊界值L>1 時表示輪胎處于線性區間，L≤1時表示輪胎處于非線性區間；ε為速度影響因子，修正了輪胎滑移速度對輪胎縱向力的影響；μ為路面附著系數；Fz為輪胎垂向載荷。

為便于估計算法的實現，可將式（4）簡化為歸一化形式：

3 指數加權衰減記憶UKF估計算法設計

3.1 估計器設計

本文主要研究路面附著系數的實時估計，以4個車輪的附著系數作為系統的狀態變量，定義x=（μ1,μ2,μ3,μ4）T；以傳感器測量的車輛縱向加速度、側向加速度和橫擺角速度作為系統的觀測變量，定義z=（ax,ay,r）T；以前輪轉角和各車輪縱、側向歸一化力作為系統的控制輸入變量，即

對于一般的非線性系統，其狀態估計模型均可表示為：

基于此，估計器的狀態方程和觀測方程分別表達為：

3.2 傳統UKF設計

傳統UKF以標準卡爾曼濾波為基礎，對于一步預測方程，使用無跡變換（Unscented Transformation，UT）來處理均值和協方差的非線性傳遞問題。對于不同時刻k的UKF算法的基本實現步驟如下[13]：

a. 狀態方程離散化。將式（8）離散化后得到的離散狀態方程為：

式中，xk為k時刻的狀態矢量；zk為k時刻的輸出矢量；uk為控制輸入矢量。

噪聲wk、vk的統計特性如下：

式中，qk、Qk分別為過程噪聲的均值和協方差矩陣；rk、Rk分別為觀測噪聲的均值和協方差矩陣；δkj為Kroneckerδ函數。

b.濾波器狀態估計值和誤差協方差初始化：

c.UT變換：

對于n維狀態變量（本文中n=4），根據其均值x和方差P，可以通過如下變換得到（2n+1）個Sigma點x和相應的權值ω來計算z的統計特征。

式中，ωm、ωc分別為系統均值和協方差的權值；λ=a2(n+κ)-n為縮放比例參數；τ為尺度參數，其值的選取決定了采樣點的分布狀態，通常選取較小的正值（10-4≤τ≤1），本文取τ=0.01；κ為比例系數，通常n+κ=3；β為非負的權系數，它可以合并高階項的動態誤差，對于服從高斯分布的狀態變量，β=2是最優的。

d.時間更新：

e.量測更新：

3.3 衰減記憶濾波設計

傳統UKF、擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）和標準卡爾曼濾波（Kalman Filter，KF）一樣，均屬于無限增長記憶濾波，在進行k時刻的最優估計時，要用到k時刻之前的所有數據，因此隨著k的增大，濾波值中的舊數據比重過大，而新數據比重相對較小，當系統存在模型誤差和未知時變噪聲時，新的觀測數據對狀態估計的修正作用過小，不能有效地抑制誤差對狀態估計值的影響，從而造成誤差累積，繼而導致濾波誤差過大甚至發散[14]。所以，針對模型誤差引起的濾波發散，應設法加大新觀測數據的作用，而相對減小舊數據對濾波值的影響。

車輛在行駛過程中，實時、準確地估計路面附著系數對于車輪力的計算、車輛穩定性控制策略的開發至關重要，尤其是對于對接路面這種突變工況下的估計，如果不能及時有效地舍去舊估計值、增大新近測量數據的權重，將會給狀態估計帶來很大的誤差。另外，文章所使用的Dugoff輪胎模型并沒有考慮車輪回正力矩這一影響因素，這種模型自身固有誤差的存在必然會在一定程度上給非直線工況下車輛的附著系數估計帶來影響，這種情況下更應該加大當前觀測數據的作用。基于此，本文在傳統UKF的基礎上引入衰減記憶濾波，且考慮到常值衰減因子并不能突出最新觀測數據對濾波精度的影響[15]，設計了指數衰減因子對傳統UKF算法進行改進，保證估計器工作在最佳狀態。

對于N時刻的濾波，為了克服濾波發散，就應相對地突出K（N），而相對地減小N時刻以前的K（k）值。已知K（k）與Rk成反比、與Pk成正比關系[10]，一般來說，系統的狀態過程噪聲Q為一定值，可以通過調節使其值達到最優，為了達到上述目的，可使最近時刻的Rk和Pk分別相應減小和增大，通過采用指數加權的方法，可將P（k）和R（k）分別變為下列形式：

式中，ci（i=1,2,...）為一正整數。

將式（30）各自變量分別帶入式（17）和式（25）中，結合所設計的估計器，便構成了一種指數加權衰減記憶無跡卡爾曼濾波算法（Fading Memory-Unscented Kal?man Filtering，FM-UKF）。

4 仿真分析

為了驗證所設計的估計算法的有效性，利用MATLAB/Simulink和CarSim軟件對算法進行聯合仿真。為了在仿真及后續的實車試驗結果中體現出算法的實時收斂性，仿真起始時刻系統狀態變量初值設置為x=（0.001,0.001,0.001,0.001）T。以CarSim輸出的縱、側向加速度和橫擺角速度并結合高斯白噪聲作為系統的量測值，以前輪轉角和各車輪歸一化力作為系統控制輸入，對當前路面附著系數進行實時估計，并將FM-UKF估計結果與傳統UKF估計結果和CarSim的輸出值進行對比。仿真選用CarSim自帶的一款B級車，其相關參數見表1。

表1 車輛模型參數

4.1 對接路面工況

在CarSim內設置車輛在附著系數從0.2至0.8的突變路面下進行起始車速為30 km/h的加速和制動聯合工況仿真。附著系數0.2的路面長度25 m，加速踏板以50%開度保持至4 s，車輛在第4 s后制動，試驗過程中轉向盤轉角保持為0。其中含高斯白噪聲的縱向加速度測量值如圖2所示，傳統UKF算法和FM-UKF算法的路面附著系數估計結果與CarSim輸出值的對比如圖3所示。從仿真結果可以看出，在路面附著系數突變之前，兩種算法均能取得較好的估計結果，當車輛進入新的路面瞬間以及車輛制動的初始時刻，采用傳統UKF算法的估計結果存在嚴重的抖振現象，且隨著時間的推移，路面附著系數的估計結果穩態誤差較大甚至有發散的趨勢，但采用FM-UKF算法的估計結果不僅有效消除了路面突變引起的抖振以及制動初始時刻帶來的波動，且能很快收斂到真實值，具有良好的精度和穩定性。

圖2 含高斯白噪聲的縱向加速度

圖3 路面附著系數估計

4.2 雙移線工況

在CarSim內設置車輛在附著系數為0.8的路面下進行起始車速為85 km/h的勻速雙移線仿真。其中含高斯白噪聲的側向加速度和橫擺角速度測量值如圖4所示，傳統UKF算法和FM-UKF算法的路面附著系數估計結果與CarSim輸出值的對比如圖5所示。從仿真結果可以看出，車輛在第4 s左右處于非線性區域，采用傳統UKF算法的估計結果波動較大，在非線性區附近抖振最為嚴重，且收斂速度較慢，穩定值與真實值之間存在較大的誤差，而采用FM-UKF算法的估計結果收斂迅速，且整體精度和穩定性與采用傳統UKF算法的估計結果相比均具有很大提升，在一定程度上彌補了輪胎模型沒有考慮車輪回正力矩這一誤差因素的影響。

圖4 含高斯白噪聲的側向加速度和橫擺角速度

圖5 路面附著系數估計

5 實車試驗

為進一步驗證所設計的FM-UKF算法對路面附著系數估計的有效性，本文基于某型四輪獨立驅動越野車平臺，進行實車道路試驗。試驗所需的轉向盤轉角、各車輪轉速和縱向車速信息分別由轉向盤轉角傳感器、輪速傳感器和GPS采集，縱、側向加速度和橫擺角速度的量測值由陀螺儀采集，采樣周期為10 ms。由于側向車速不能直接測量得到，直接對測量的側向加速度積分易造成誤差積累，通過對側向加速度進行標準卡爾曼濾波處理可得到側向車速。上述儀器所測得的相關量值信息均可掛載在CAN總線上，通過I/O接口經dSPACE的D/A模塊實時傳遞至上位機軟件ControlDesk中，一方面可以進行數據的實時監控，另一方面可以開展數據的采集和保存。試驗車輛、設備和數據處理流程分別如圖6和圖7所示。試驗所采集的相關信息在MATLAB/Simu?link環境下實現所設計的FM-UKF算法，并與UKF算法的估計結果進行對比分析。

圖6 道路試驗實際車輛

圖7 試驗設備與數據采集處理流程

5.1 對接路試驗

在標準試驗場地選取灑水的ABS路作為低附著路面（附著系數約為0.22~0.25），選取干燥、平坦清潔的水泥混凝土作為高附著路面（附著系數約為0.78~0.80）進行實車道路試驗（道路試驗如圖6所示）。為了充分利用道路條件、突出算法的工況適應性，對試驗車輛連續進行低附著加速、低附著滑行和高附著滑行試驗，其中縱向車速、縱向加速度和輪速等信息如圖8所示，算法的估計結果如圖9所示。從圖中可以看出，FM-UKF算法的估計結果整體穩定性較好，精度較高，車輛在第10 s左右進入高附路后，算法的響應迅速，這也表明算法對突變工況具有良好的適應性；而傳統UKF算法估計的路面附著系數穩定性較差，對突變工況的響應較慢，且進入新的工況之后，由于誤差累積的影響，收斂值與實際值之間的偏差有增大的趨勢。

圖8 對接路面工況下的量測數據

圖9 對接路面工況下的路面附著系數估計

5.2 雙移線試驗

在試驗場水平干瀝青路面上（附著系數0.8左右），依據標準ISO 3888-1:1999進行勻速雙移線工況實車試驗，出于安全性考慮，試驗車速選為45 km/h（±1 km/h）。由GPS和陀螺儀記錄的部分量測值如圖10所示，路面附著系數的估計結果如圖11所示。

圖10 雙移線工況下的量測數據

圖11 雙移線工況下的路面附著系數估計

試驗結果表明：采用所設計的FM-UKF算法估計的路面附著系數結果較平穩，收斂較快，估計精度較高；采用傳統UKF算法的估計結果波動較大，收斂較慢，且估計結果與實際值存在一定的偏差。另外，對比對接工況的估計結果可以看出，雙移線工況的收斂相對較慢，分析原因可知，當車輛產生一定幅度的動態響應時，才能更加有效地刺激濾波算法的運作，即當車輛行駛在靠近極限工況時（比如大滑轉率），算法收斂更快，估計效果更好，這對于ABS、TCS等工作在極限工況附近的主動安全控制系統來說是有利的。

6 結束語

本文在傳統UKF算法的基礎上，針對車輛模型存在誤差和時變噪聲統計特性無法獲知等特點，提出了一種采用指數加權衰減記憶的UKF算法，并使用該算法對路面附著系數進行了實時估計，經不同工況下的兩種算法對比仿真試驗驗證，可得出以下結論：

a.所提算法在不同工況下均能較好地估計路面的附著系數，在相同條件下，與采用傳統UKF算法的估計結果相比，該算法具有良好的估計精度和穩定性，且響應速度得到了提升。

b.FM-UKF算法在不影響實時性的前提下易于實現，在模型存在誤差和噪聲統計特性未知的情況下依然能夠保持較高的估計精度，且具有良好的濾波穩定性，表明該算法具有一定的自適應性。

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