滲透數學文化 發展核心素養

林京榕

數學文化在培養學生數學素養的教育中扮演著重要角色，如何把數學文化滲透到日常教學中，“潤物細無聲”般地讓學生受到數學文化的熏陶，在發揮數學文化育人功能的同時，追求學生核心素養的發展，是每一位數學教師都必須直面的問題，筆者依托《數系的擴充和復數的概念》的教學設計與實施，對上述問題進行了探討，取得了較好的效果，現將教學設計與同行進行交流.

1教學設計意圖

數系的擴充和復數的概念是高中數學教材中典型的富有濃厚數學思想與文化的內容，復數概念的發展具有豐富的歷史背景，涉及到數學中類比、抽象、符號化等重要的數學思想，是典型的數學抽象過程，是向學生滲透數學文化的最好契機.

1.1教材分析

數系的擴充過程體現了數學的發現和創造，復數的引入是中學階段數系的又一次擴充.本節課學習內容的核心教育價值是理解復數的基本概念和感受數系擴充的數學文化，認識到數學產生和發展既來自于外部的動力，也來自數學內部的動力，形成正確的數學觀.

1.2學情分析

在學習本節之前，學生已學過實數，理解各種數集之間的包含關系，但對數的發展歷史和生成規律還缺乏整體認識與理性思考.本節課學生的學習困難主要表現在：為什么要引入i？如何引i？i是什么？

1.3教學任務

本節課的核心教學任務是在問題情境中引導學生了解數系的擴充過程與復數的概念，體會實際需求與數學內部矛盾在數系擴充過程中的作用.引導學生通過類比發現和提出問題，滲透數系擴充的基本思想.

1.4教學目標

（1）學生通過具體問題情境感受引入復數的必要性，類比實數系的擴充過程實現復數系的擴充，感受類比思想在數學研究中的重要作用.

（2）在復數概念的形成階段，通過提供典型豐富的具體例證，讓學生進行屬性的分析、比較、綜合，歸納，培養數學抽象素養、邏輯推理素養；

（3）理解復數的基本概念，引導學生用準確的數學語言描述（文字的、符號的），培養嚴謹的數學思維.

1.5教學重點

充分展現從實數系到復數系的擴充過程，理解復數的基本概念.

1.6教學難點

數系擴充的基本思想及虛數單位i的理解.

2教學過程設計

情境導入教師講授無理數的發現過程，引發學生對數系擴充過程的興趣.

（一）概念引入

問題1數學家Cardan在《重要的藝術》（1545年）中出了這么一個題目：把10分成兩部分，使其乘積為40.

他按照自己的習慣，設其中一部分為x.列出方程x（10-x）=40.但求出的根令他大為不解，甚至感到有些恐慌，你知道這是為什么嗎？

師生活動：因為方程x（10-x）=40，即X²-10x+40 =0在實數集內無解，雖然我們認為不可能的，但卡爾丹卻自豪地認為，他找到了解決方法，那就是10=（5+√一15）（5-√15），40=（5+√-15）（5-√-15），但卡爾丹寫得并不輕松，“不管良心受到多大的責備”也要寫出這兩個怪東西，而且發現它們的之和為10，之積為40，正是要找的數.

你認為√-15能作為“數”嗎？它表示什么意義？

設計意圖一是激發學生學生自己發現問題——在實數范圍內無法做到，產生認知沖突；二是充分暴露數學家的思維過程，

問題2根據已有經驗，你認為怎么辦就可以解決Cardan的問題？回顧數系經歷了哪幾次擴充？每一次擴充分別解決了哪些問題？

師生活動讓學生充分交流、合作、討論，感受到每一次擴充都要引入新數，與此同時，感受到數系擴充是社會發展的需要，如計數、平均分配、測量等，同時也是數學內部發展的需要，如：不夠減了、不能整除了、不能總可以開方了等，特別強調：在正數范圍內，方程x+2=0有解嗎？我們是怎樣讓它有解的？類似地，在有理數范圍內，X²=2有解嗎？我們又是怎樣讓它有解的？

設計意圖一是幫助學生重新建構數集的擴充過程，即自然數集一整數集一有理數集一實數集，并能提煉出數系擴充的一般原則.這是本節課知識的生長點，二是使學生從（x - 5）²= -15出發，自然想到只要“負數開方”行得通，這樣的方程就能解了.

問題3（）²=-15=15×（-l）.

設計意圖教師引領學生再現卡當問題，將問題轉化為求x²=-1有解.

教師講授i的引入歷史.簡略介紹意大利數學家邦貝利給出了虛數單位與實數的四則運算；強調在進行四則運算時原有的加法與乘法的運算律（包括交換律、結合律和分配律）仍然成立.

（二）概念形成

問題4在成功地引入i后，請說出方程X²=-1的解？你能寫出卡當要找的數嗎？根據以往的經驗，我們希望i能與實數一起進行運算，你覺得會產生哪些類型的新數？ 設計意圖讓學生自己“創造”出2i，31，2+3i，2-3i，-i，……

追問1這些“新數”能用一種統一的形式表示嗎？

追問2如果把實數與i進行加、乘后得到的數集記作C，那么實數集R與集合C有什么關系？

設計意圖引導學生進行抽象，得出這種“新數”的一般符號表示a+bi（其中a，b為實數），感受為什么把集合{a+bi|a，b∈R}作為實數集擴充后的新數集，并得出實數集R是C的子集.

（三）概念固化

（1）復數的定義；（2）復數的表示；（3）復數的分類；（4）復數集，

問題5閱讀教科書（人教版選修2-2第103頁第一、二自然段），復數的基本概念有哪些？endprint

師生活動學生自主完成復數的概念學案，教師介紹“復數”的概念，“實部”、“虛部”的概念及概念中的注意點，并簡單介紹德國著名數學家高斯首先給出了復數的概念.

設計意圖由特殊到一般，抽象概括出復數的代數形式，初步理解復數概念，培養學生抽象概括能力.

問題6形如a+bi（a，b，∈R）一定是虛數嗎？那么什么情況下是實數呢？有沒有比虛數更簡單的虛數？

師生活動學生經歷對a+bi中，a，b是否為零的討論的全過程，

設計意圖引導學生由實數a，b的不同取值對復數進行分類，從而深化復數的概念，攻克本節課的重點.

問題7請你說出下列集合之間的關系：N，Z，Q， R，C.

教師結合PPT簡單介紹復數的發展歷史，

設計意圖采用概念同化的方式完善認知結構，用符號語言重現數系擴充的過程，像樹的年輪一樣的生長.通過向學生介紹復數的發展史，說明雖然現在看來簡單的數系，但它的發展卻歷經艱難與艱險.數學的發展如同數系的發展需要經歷幾代數學家付諸于長時間的努力與毅力才能得到完善，通過暗線的設置順利地完成了本節課的情感態度價值觀的教學目標.

（四）概念應用

問題8實數m取什么值時，復數z=m²-1+（m-1）i？

A.實數 B.虛數 C.純虛數

設計意圖讓學生熟悉復數的分類標準，在解決問題的過程中內化復數的有關概念，

問題9在復數范圍內，一元二次方程ax²+ bx+c=0（a≠0）解的情況如何？

設計意圖首尾呼應，要讓學生自始自終地參與這一探索過程，激發學生創造思維的發展.

（五）回顧反思

問題10請大家談談我們這堂課學習了哪些知識？運用了哪些思想？又有哪些體驗和感悟呢？

其中，教師結合PPT展現復數在數學、力學、電學及其他學科中的應用，例如，利用i2=一1由它所創造的復變函數理論，成為解決電磁理論、航空理論、原子能及核物理等尖端科學的數學工具，讓學生明白知識是什么？知識為什么？知識可怎么樣？知識有什么用？

設計意圖對于數系擴充過程方面以及復數實質理解方面的收獲進行小結

（六）布置作業（略）

3教學反思

3.1數學文化的傳播是自然流淌的

數學文化的滲透以數學思想方法為主要載體.本節課的教學思路，就是通過引導學生再創造復數概念來滲透數學文化，本節課的主要數學思想方法是類比，

首先，類比“自然數一有理數一實數”的擴充過程，教師從數學概念體系的發展要求和解決實際問題的需要出發，闡述數系擴充的歷史、原則與方法，引導學生從實數及其運算中得到啟發，自然地提出數系如何擴充、擴充應研究哪些問題，學生借助具體事例，再創造復數概念，感受類比在數學研究中的重要作用，感悟數學對人類及社會發展的價值.

其次指導學生類比方程X²-2=0來解X²+1=0.再次，指導學生類比a+b√2（a，b∈Q）探討a+bi（a，b∈R）.

本節課的另一數學思想是分類.教師指導學生對復數進行分類、在復數范圍內分類解一元二次方程ax²+ bx+c=O（a≠0）.學生在思考數學中，自然實現了數學文化的熏陶，

數學文化的滲透，以數學參與為主要途徑.在概念引入環節，教師通過問題1～問題3的設置，從學生已有的知識基礎出發，再現歷史上數學家卡當的問題，讓學生經歷與數學大師一起發現問題、思考問題、解決問題的過程，感受到數學家就在自己的身邊，數學大師并不神秘，他們也曾有解不開的難題；在虛數單位i引入環節：讓學生追隨數學大師的足跡一步一步接近復數與虛數，慢慢地揭開復數與虛數的神秘面紗，小小的“i”硬是經過了兩個世紀的努力才被人接受；數學發現并不神秘，大師們通常是在別人習以為常的現象中發現新問題并窮追不舍的精神，

數學的統一性是數學的價值追求，是數學文化的重要體現.在本堂課中，學生體會復數是包含實數的更大數系，體驗了數學的統一性.學生歸納出復數的代數表示形式，體驗數學的統一性，公式e^iπ+1=0則向學生展現了數學的統一性.

3.2數學核心素養的發展是水到渠成的

數學核心素養的發展，自然體現在學生的再創造復數過程中，復數概念的發現過程是典型的數學抽象過程.學生通過再創造復數概念，培養了數學抽象素養.本節課從數學概念體系的發展過程或解決實際問題的需要（社會需要、運算需要、求解方程需要）出發，構建問題情境1～3，提供契機讓學生思考每一次數系擴充的主要原因是什么？每一次擴充遵循哪些規律？啟發學生從具體問題中提出實數擴充問題，指導學生從歷次數系擴充過程中抽象出數系擴充的主要研究問題：引入一個新的數，就要定義其運算；定義一種運算，就要研究其運算律.進一步指導學生抽象出數系擴充的基本原則：使算術的運算律保持不變.引導學生在問題指引下，逐步抽象出“虛數單位”i，探討i的運算及性質，在構建復數有關概念這一核心環節中，通過設置問題4—問題9，引領學生合乎情理地建構新知.其中問題4的追問具有概括性、抽象性和挑戰性，為攻克“復數的代數形式為z=a+bi（a，b∈R）”這一難關奠定基礎.學生在上述問題的引導下，有充分的從具體進入抽象規定的獨立認識機會，發展數學抽象核心素養.endprint