“直觀想象”在全國卷數列試題中的應用探析

楊幼妹+林新建

“直觀想象”是高中數學核心素養的重要內涵.

“直觀想象”是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程，

“直觀想象”主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系；構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路，

“直觀想象”在解題上有重要作用，可以幫助我們快速探明問題的解決方向，輕松將問題予以解決.

以下以全國卷試題為例，就“直觀想象”在數列解題上的應用作一探析，以饗讀者.

1運用“直觀想象”預測數列問題的變化規律

運用“直觀想象”策略，可以較好地預測數列問題的變化規律，進而依循規律使問題獲得輕松解決，

例1 （2012年高考全國新課標卷I.理16）數列{an}滿足an+1+（-l）ⁿan=2n-1，則{an}的前60項和為____.

分析本題是填空把關題，依常規方法求解極為繁瑣.其實，由“直觀想象”不難預知，本題是填空題，故不論數列{an}如何變化，其前60項的和不因數列的變化而變化，由此我們可將首項特殊化予以求解.

解析由an+1+（-l）ⁿan=2n-1，

得an+l= 2n-1-（-l）ⁿan.

令a1=1，則有a2=2，a3=1，a4=6，

a5=1， a6=10， a7=1， a8=14，…

至此可以發現，數列{an}的奇數項均為1；偶數項是以2為首項，4為公差的等差教列，

故S60=30×1+（30×2+（30×29）/2×4）=1830.

評析上述求解輕松快捷，不亦樂乎，這得益于首項的特殊化，否則規律不易探明，求解勢必復雜耗時，而想到運用“特殊化”策略予以求解，這又取決于對數列變化規律的“直觀想象”，凸顯了“直觀想象”在預測數列問題的變化規律上的重要作用.

2運用“直觀想象”剖析數列問題的本質特征

運用“直觀想象”策略較好地剖析數列問題的本質特征，進而根據本質特征可將問題輕松予以解決，

例2 （2014年高考全國卷I.理17）已知數列{an）的前n項和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ為常數.

（I）證明：an+2-an=λ；

（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}為等差數列？并說明理由.

分析本題難在第（Ⅱ）問，難在如何判斷λ是否存在，以及如何求出λ均值，解題似乎無從下手，

其實，由“直觀想象”不難得知，若存在滿足條件的λ，，使得{a}為等差數列，則{an}的前三項必成等差，由此可求出λ的值，問題不難獲解，

解析由a =1及anan+l= λSn一1，得a2=λ一1.

又由a+2-an=λ，可得a3=λ+1.

依題意，若存在滿足條件的λ，使得{an}為等差數列，則a1，a2，a3必成等差，則由2a2=a1+a3，即得λ=4，以下不難予以證明.

評析基于數列問題的本質特征——結論的一般性，我們運用了前三項必成等差這一結論，使得問題獲得輕松解決.

而想到這樣子來求λ的值，則是源于對數列問題本質特征的“直觀想象”，凸顯了“直觀想象”在剖析數列問題的本質特征上的重要作用.

3運用“直觀想象”構建數列問題的直觀模型

運用“直觀想象”策略，可以較好地構建數列問題的直觀模型，進而借助模型可將問題輕松予以解決.

例3 （2014年高考全國卷Ⅱ.理17）已知{an}滿足a1 =1，an+l=3an+1.

評祈問題的解決得益于將右式的3/2轉化為等比數列的和，如果沒有轉化，這一證明根本無從進行.而之所以想到作這樣的“轉化”，則取決于對待證式子的“直觀想象”，凸顯了“直觀想象”在構建數列問題的直觀模型上的重要作用.

例4 （2002年高考全國卷I.理22）設數列{an}滿足an+1=an²-nan+1，n=l，2，3，…，

（I）當a1=2時，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個通項公式；

（Ⅱ）當a1>3時，證明對所有的n≥l，有

①an≥n+2；

同樣，問題的解決得益于借助“直觀想象”將右式的1/2去轉化為等比數列的和，如果沒有這種“直觀想象”，就不可能作這樣的轉化，解題根本無從進行，凸顯了“直觀想象”在構建數列問題的直觀模型上的重要作用，

“直觀想象”在數學解題中有著重要的作用，在直觀想象核心素養的形成過程中，學生能夠進一步發展幾何直觀和空間想象能力，增強運用圖形和空間想象思考問題的意識，提升數形結合的能力，感悟事物的本質，培養創新思維，平時教學和高考復習都應予以足夠的重視.endprint