“直觀想象”在全國卷數(shù)列試題中的應(yīng)用探析

楊幼妹+林新建

“直觀想象”是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)涵.

“直觀想象”是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程，

“直觀想象”主要包括：借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路，

“直觀想象”在解題上有重要作用，可以幫助我們快速探明問題的解決方向，輕松將問題予以解決.

以下以全國卷試題為例，就“直觀想象”在數(shù)列解題上的應(yīng)用作一探析，以饗讀者.

1運(yùn)用“直觀想象”預(yù)測數(shù)列問題的變化規(guī)律

運(yùn)用“直觀想象”策略，可以較好地預(yù)測數(shù)列問題的變化規(guī)律，進(jìn)而依循規(guī)律使問題獲得輕松解決，

例1 （2012年高考全國新課標(biāo)卷I.理16）數(shù)列{an}滿足an+1+（-l）ⁿan=2n-1，則{an}的前60項(xiàng)和為____.

分析本題是填空把關(guān)題，依常規(guī)方法求解極為繁瑣.其實(shí)，由“直觀想象”不難預(yù)知，本題是填空題，故不論數(shù)列{an}如何變化，其前60項(xiàng)的和不因數(shù)列的變化而變化，由此我們可將首項(xiàng)特殊化予以求解.

解析由an+1+（-l）ⁿan=2n-1，

得an+l= 2n-1-（-l）ⁿan.

令a1=1，則有a2=2，a3=1，a4=6，

a5=1， a6=10， a7=1， a8=14，…

至此可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)均為1；偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差教列，

故S60=30×1+（30×2+（30×29）/2×4）=1830.

評析上述求解輕松快捷，不亦樂乎，這得益于首項(xiàng)的特殊化，否則規(guī)律不易探明，求解勢必復(fù)雜耗時(shí)，而想到運(yùn)用“特殊化”策略予以求解，這又取決于對數(shù)列變化規(guī)律的“直觀想象”，凸顯了“直觀想象”在預(yù)測數(shù)列問題的變化規(guī)律上的重要作用.

2運(yùn)用“直觀想象”剖析數(shù)列問題的本質(zhì)特征

運(yùn)用“直觀想象”策略較好地剖析數(shù)列問題的本質(zhì)特征，進(jìn)而根據(jù)本質(zhì)特征可將問題輕松予以解決，

例2 （2014年高考全國卷I.理17）已知數(shù)列{an）的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ為常數(shù).

（I）證明：an+2-an=λ；

（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由.

分析本題難在第（Ⅱ）問，難在如何判斷λ是否存在，以及如何求出λ均值，解題似乎無從下手，

其實(shí)，由“直觀想象”不難得知，若存在滿足條件的λ，，使得{a}為等差數(shù)列，則{an}的前三項(xiàng)必成等差，由此可求出λ的值，問題不難獲解，

解析由a =1及anan+l= λSn一1，得a2=λ一1.

又由a+2-an=λ，可得a3=λ+1.

依題意，若存在滿足條件的λ，使得{an}為等差數(shù)列，則a1，a2，a3必成等差，則由2a2=a1+a3，即得λ=4，以下不難予以證明.

評析基于數(shù)列問題的本質(zhì)特征——結(jié)論的一般性，我們運(yùn)用了前三項(xiàng)必成等差這一結(jié)論，使得問題獲得輕松解決.

而想到這樣子來求λ的值，則是源于對數(shù)列問題本質(zhì)特征的“直觀想象”，凸顯了“直觀想象”在剖析數(shù)列問題的本質(zhì)特征上的重要作用.

3運(yùn)用“直觀想象”構(gòu)建數(shù)列問題的直觀模型

運(yùn)用“直觀想象”策略，可以較好地構(gòu)建數(shù)列問題的直觀模型，進(jìn)而借助模型可將問題輕松予以解決.

例3 （2014年高考全國卷Ⅱ.理17）已知{an}滿足a1 =1，an+l=3an+1.

評祈問題的解決得益于將右式的3/2轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和，如果沒有轉(zhuǎn)化，這一證明根本無從進(jìn)行.而之所以想到作這樣的“轉(zhuǎn)化”，則取決于對待證式子的“直觀想象”，凸顯了“直觀想象”在構(gòu)建數(shù)列問題的直觀模型上的重要作用.

例4 （2002年高考全國卷I.理22）設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=an²-nan+1，n=l，2，3，…，

（I）當(dāng)a1=2時(shí)，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個(gè)通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）當(dāng)a1>3時(shí)，證明對所有的n≥l，有

①an≥n+2；

同樣，問題的解決得益于借助“直觀想象”將右式的1/2去轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和，如果沒有這種“直觀想象”，就不可能作這樣的轉(zhuǎn)化，解題根本無從進(jìn)行，凸顯了“直觀想象”在構(gòu)建數(shù)列問題的直觀模型上的重要作用，

“直觀想象”在數(shù)學(xué)解題中有著重要的作用，在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強(qiáng)運(yùn)用圖形和空間想象思考問題的意識，提升數(shù)形結(jié)合的能力，感悟事物的本質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，平時(shí)教學(xué)和高考復(fù)習(xí)都應(yīng)予以足夠的重視.endprint