兒童深度數學思維構建的策略

徐建林

[摘 要] 《數學課程標準（2011年版）》明確提出了“四基”，其中新增的數學思想和基本活動經驗，從本質上說就是從以往只關注數學知識的學習向兒童思維能力的培養蔓延。從兒童認知發展理論的視角看，構建數學核心思維力可從四個方面入手：激活已有表象，獲得初步概念；構建多元表征，豐富內部語言；激辨問題解決，拓展思維空間；孕伏數學思想，提升思維層次。

[關鍵詞] 數學；思維；概念；表征；問題解決；思想

美國數學家克萊因說：“數學是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度?！睆倪@個層面而言，孩子學習數學對其思維發展有著舉足輕重的作用，同時數學也是發展思維最有用的工具之一，因此作為一名數學教師，在用教材教數學知識的同時更要注重兒童思維的發展，使其素養得以整體提升。

一、獲得初步概念

思維本質是一種認知，而認知首先要讓學生獲取必要的概念，有心理學家就將概念習得定義為對一類事物或觀念的共同屬性的識別。例如加法交換律對孩子而言是一個全新的概念，此概念的形成則需要依托其已有表象，因此讓孩子獲取足夠表象有助于概念的獲得。在運算律的教學中，我們可以發現，孩子經過前面幾年的計算學習，有著足夠的知識儲備和生活經驗，成了“一塊有紋路的大理石”，因此在教學中就應該順應學情，從而使這種內隱式的經驗得以顯露和表達。

例如教學“加法交換律和結合律”一課，為了順應兒童已有的表象，教師可以出示一組有規律的口算題（如下），學生計算出結果后，讓學生按照一定的標準分類。這時學生會首先按照兩個加數和三個加數進行分類，接著根據和相同再分類。通過兩次分類，學生能找到其中的規律：交換兩個加數的位置，和不變，最后讓學生在以往的學習或者生活中找到類似的例子，打開更為寬闊的視域，為抽象概括規律奠定基礎，從而正式打開認識運算律的窗戶。

柏拉圖說：“人的心靈有時就像一間封閉的屋子，真正的啟蒙就是為其打開窗戶，陽光照進來會豁然開朗，然后發現一個真實的世界，這個世界的事物各有形狀、特色，并且各從其類，邊界清晰。”通過這樣“接孩子氣”的教學，冰冷的運算變得生動形象、具體鮮活，更對以往的學習有了更為上層的詮釋。

二、豐富內部語言

維果茨基在《思維與語言》一書中，批判了皮亞杰的語言和思維觀點，他說：“語言是兒童聽到的外部言語和他思考的內部言語之間的混合物，沒有語言就沒有思維，思維依賴語言?！痹跀祵W教學中，教師可以通過符號語言、文字語言和圖表語言這三類語言之間的相互轉換，幫助學生積累數學活動的經驗，并對知識的發生、發展擁有更為豐富的闡釋。

在“運算律”整個單元教學中，我們都會安排學生進行列舉、抽象概括得到規律的環節，但具體教學中，還可以拉長孩子思維“爬坡”的過程。例如在教學“加法交換律和結合律”一課時，學生可以先看左邊有3只貓，右邊來了2只貓；也可以先看右邊有2只貓，左邊來了3只貓，因為分量都是一樣的，最后合成一個整體，所以結果保持不變。再例如在教學“乘法分配律”時，可以讓學生利用畫線段圖、文字描述等形式來解釋其中的規律，直至概括出字母公式。

心理學表明：小學兒童的思維從具體形象思維過渡到以抽象思維為主要形式，并不意味著他們入學以后，具體形象思維立刻全部“消亡”，不再發揮作用，而是通過新質要素的逐漸積累和舊質要素的逐漸“衰亡”與改造而實現的。這樣的“慢動作”——大量的表征體驗，充盈孩子的內心，讓兒童的思維在具體與抽象間不斷轉化，將語言不斷內化從而使思維得以引發。

三、拓展思維空間

很多老師將計算看成數學學習的基礎，是最低層次的學習，所以我們常會發現，計算題是“對答案”的，實際問題才值得教師講解。但在當下，計算的正確率已經成了一個擺在教師面前的現實難題。在日常教學中觀察發現，孩子計算所經歷的思維過程并不是如我們想象的那么簡單，一個計算題的出現就是一個問題的出現，他們會試圖去尋找答案。而對于孩子而言，計算過程中的邏輯推理比應用題解題的邏輯推理更為抽象，因為每一步的計算靠的是抽象的法則，而應用題每步的推理和答案往往與現實情境和已有經驗相聯系，可以進行預判。因此對孩子而言，計算題的難度可能不亞于應用題，做一道計算題甚至比解決一個應用題更難。

在教學中，不妨將計算教學當成“問題解決”模式去看待，而不是輕描淡寫。心理學家海思（Hayes）認為，問題解決有固定順序：1.識別問題；2.問題表征；3.制定解決計劃；4.執行計劃；5.計劃的評價；6.解決方法的評價。例如在指導學生求解“35×98”時，首先可以讓學生思考：看到這個算式你想到什么？有孩子說：“這是個乘法計算題。”有的說：“可以用豎式計算?！庇械恼f：“這個要用簡便計算?！边@些回答則處于問題解決的一、二階段。接著再引導：使用簡便計算，你覺得可以用哪個運算律？該怎么使用？這是屬于問題解決的三、四階段。學生嘗試計算后展示作業并辨析，在學生明確②錯誤的原因后，再深入辨析①③，使之發現雖然都使用乘法分配律，但是相比之下③更簡單。最后反思，不僅要正確使用運算律，更要注重思維簡潔，這是問題解決的五、六階段。

問題解決（problem solving）是“直接指向解決某個特定問題的思維過程，其中既包括反應的產生，也包括在可能的反應中做出選擇”。面對孩子計算上的問題，決不能用一個“粗心”一言以蔽之，而是要科學地找到應對的方法，發現兒童思維上存在的難處，并設置好智慧的“屏障”，不憤不啟，不悱不發，在辨析中不斷擴展其思維空間。

四、提升思維層次

國際數學教育指導性文件中有這樣一段話：“引導學生自己形成思想，發現數學的關系和性質，而不是把成人成熟的思維強加給他們。”史寧中教授也說：“數學學習只有深入到思想層面，才是一種真正的學習。”誠然，在教學中，教師有意識地加強數學思想的滲透，更有助于學生思維層次的提升。

在“運算律”整個單元框架中，教材都采用了運算律孕伏在具體情境中的編排形式，因此在教學中，我們可以分以下幾步建構整課：①提出問題，列式解答；②觀察算式，感受規律；③提出設想，驗證想法；④推廣規律，遷移運用；⑤反思提升，建立模型。而這樣的教學設計內嵌了“猜測—驗證—結論”這一數學規律探索的過程，實現了歸納和演繹的交相呈現。培根說：“歸納法是科學發現的邏輯，而演繹法是論證邏輯?！碑攲W生用“a+b=b+a”表示加法交換律的時候，則說明兒童能將邏輯思考簡化成一種代數形式，而不用考慮這些符號對應的指代物，更不需要驗證其表征的物理現實，而此刻才是兒童思維發展的最為矚目的時刻，這才是數學學習應然的價值回歸。如果說知識的學習是一條明線索，那么思維發展就是一條暗線索，每一次的學習必將牽動孩子每一次思維印記的延伸。

鄭毓信教授說：“基礎知識的教學不應求全，而應求聯?！彼季S的“思”是每次學習知識的起點，而“維”才是聯接后形成的最本質的思維網絡圖。在這張圖上，孩子們能在“聯接處”找到知識的起點，在知識的“變通處”找到思維的高點，從而推動思維不斷向前、向全發展。

責任編輯 李杰杰endprint