兒童深度數(shù)學(xué)思維構(gòu)建的策略

徐建林

[摘 要] 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出了“四基”，其中新增的數(shù)學(xué)思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從本質(zhì)上說就是從以往只關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)向兒童思維能力的培養(yǎng)蔓延。從兒童認(rèn)知發(fā)展理論的視角看，構(gòu)建數(shù)學(xué)核心思維力可從四個(gè)方面入手：激活已有表象，獲得初步概念；構(gòu)建多元表征，豐富內(nèi)部語言；激辨問題解決，拓展思維空間；孕伏數(shù)學(xué)思想，提升思維層次。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)；思維；概念；表征；問題解決；思想

美國數(shù)學(xué)家克萊因說：“數(shù)學(xué)是一種理性的精神，使人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度。”從這個(gè)層面而言，孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對(duì)其思維發(fā)展有著舉足輕重的作用，同時(shí)數(shù)學(xué)也是發(fā)展思維最有用的工具之一，因此作為一名數(shù)學(xué)教師，在用教材教數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)更要注重兒童思維的發(fā)展，使其素養(yǎng)得以整體提升。

一、獲得初步概念

思維本質(zhì)是一種認(rèn)知，而認(rèn)知首先要讓學(xué)生獲取必要的概念，有心理學(xué)家就將概念習(xí)得定義為對(duì)一類事物或觀念的共同屬性的識(shí)別。例如加法交換律對(duì)孩子而言是一個(gè)全新的概念，此概念的形成則需要依托其已有表象，因此讓孩子獲取足夠表象有助于概念的獲得。在運(yùn)算律的教學(xué)中，我們可以發(fā)現(xiàn)，孩子經(jīng)過前面幾年的計(jì)算學(xué)習(xí)，有著足夠的知識(shí)儲(chǔ)備和生活經(jīng)驗(yàn)，成了“一塊有紋路的大理石”，因此在教學(xué)中就應(yīng)該順應(yīng)學(xué)情，從而使這種內(nèi)隱式的經(jīng)驗(yàn)得以顯露和表達(dá)。

例如教學(xué)“加法交換律和結(jié)合律”一課，為了順應(yīng)兒童已有的表象，教師可以出示一組有規(guī)律的口算題（如下），學(xué)生計(jì)算出結(jié)果后，讓學(xué)生按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分類。這時(shí)學(xué)生會(huì)首先按照兩個(gè)加數(shù)和三個(gè)加數(shù)進(jìn)行分類，接著根據(jù)和相同再分類。通過兩次分類，學(xué)生能找到其中的規(guī)律：交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變，最后讓學(xué)生在以往的學(xué)習(xí)或者生活中找到類似的例子，打開更為寬闊的視域，為抽象概括規(guī)律奠定基礎(chǔ)，從而正式打開認(rèn)識(shí)運(yùn)算律的窗戶。

柏拉圖說：“人的心靈有時(shí)就像一間封閉的屋子，真正的啟蒙就是為其打開窗戶，陽光照進(jìn)來會(huì)豁然開朗，然后發(fā)現(xiàn)一個(gè)真實(shí)的世界，這個(gè)世界的事物各有形狀、特色，并且各從其類，邊界清晰。”通過這樣“接孩子氣”的教學(xué)，冰冷的運(yùn)算變得生動(dòng)形象、具體鮮活，更對(duì)以往的學(xué)習(xí)有了更為上層的詮釋。

二、豐富內(nèi)部語言

維果茨基在《思維與語言》一書中，批判了皮亞杰的語言和思維觀點(diǎn)，他說：“語言是兒童聽到的外部言語和他思考的內(nèi)部言語之間的混合物，沒有語言就沒有思維，思維依賴語言。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過符號(hào)語言、文字語言和圖表語言這三類語言之間的相互轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，并對(duì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展擁有更為豐富的闡釋。

在“運(yùn)算律”整個(gè)單元教學(xué)中，我們都會(huì)安排學(xué)生進(jìn)行列舉、抽象概括得到規(guī)律的環(huán)節(jié)，但具體教學(xué)中，還可以拉長孩子思維“爬坡”的過程。例如在教學(xué)“加法交換律和結(jié)合律”一課時(shí)，學(xué)生可以先看左邊有3只貓，右邊來了2只貓；也可以先看右邊有2只貓，左邊來了3只貓，因?yàn)榉至慷际且粯拥模詈蠛铣梢粋€(gè)整體，所以結(jié)果保持不變。再例如在教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，可以讓學(xué)生利用畫線段圖、文字描述等形式來解釋其中的規(guī)律，直至概括出字母公式。

心理學(xué)表明：小學(xué)兒童的思維從具體形象思維過渡到以抽象思維為主要形式，并不意味著他們?nèi)雽W(xué)以后，具體形象思維立刻全部“消亡”，不再發(fā)揮作用，而是通過新質(zhì)要素的逐漸積累和舊質(zhì)要素的逐漸“衰亡”與改造而實(shí)現(xiàn)的。這樣的“慢動(dòng)作”——大量的表征體驗(yàn)，充盈孩子的內(nèi)心，讓兒童的思維在具體與抽象間不斷轉(zhuǎn)化，將語言不斷內(nèi)化從而使思維得以引發(fā)。

三、拓展思維空間

很多老師將計(jì)算看成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是最低層次的學(xué)習(xí)，所以我們常會(huì)發(fā)現(xiàn)，計(jì)算題是“對(duì)答案”的，實(shí)際問題才值得教師講解。但在當(dāng)下，計(jì)算的正確率已經(jīng)成了一個(gè)擺在教師面前的現(xiàn)實(shí)難題。在日常教學(xué)中觀察發(fā)現(xiàn)，孩子計(jì)算所經(jīng)歷的思維過程并不是如我們想象的那么簡(jiǎn)單，一個(gè)計(jì)算題的出現(xiàn)就是一個(gè)問題的出現(xiàn)，他們會(huì)試圖去尋找答案。而對(duì)于孩子而言，計(jì)算過程中的邏輯推理比應(yīng)用題解題的邏輯推理更為抽象，因?yàn)槊恳徊降挠?jì)算靠的是抽象的法則，而應(yīng)用題每步的推理和答案往往與現(xiàn)實(shí)情境和已有經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，可以進(jìn)行預(yù)判。因此對(duì)孩子而言，計(jì)算題的難度可能不亞于應(yīng)用題，做一道計(jì)算題甚至比解決一個(gè)應(yīng)用題更難。

在教學(xué)中，不妨將計(jì)算教學(xué)當(dāng)成“問題解決”模式去看待，而不是輕描淡寫。心理學(xué)家海思（Hayes）認(rèn)為，問題解決有固定順序：1.識(shí)別問題；2.問題表征；3.制定解決計(jì)劃；4.執(zhí)行計(jì)劃；5.計(jì)劃的評(píng)價(jià)；6.解決方法的評(píng)價(jià)。例如在指導(dǎo)學(xué)生求解“35×98”時(shí)，首先可以讓學(xué)生思考：看到這個(gè)算式你想到什么？有孩子說：“這是個(gè)乘法計(jì)算題。”有的說：“可以用豎式計(jì)算。”有的說：“這個(gè)要用簡(jiǎn)便計(jì)算。”這些回答則處于問題解決的一、二階段。接著再引導(dǎo)：使用簡(jiǎn)便計(jì)算，你覺得可以用哪個(gè)運(yùn)算律？該怎么使用？這是屬于問題解決的三、四階段。學(xué)生嘗試計(jì)算后展示作業(yè)并辨析，在學(xué)生明確②錯(cuò)誤的原因后，再深入辨析①③，使之發(fā)現(xiàn)雖然都使用乘法分配律，但是相比之下③更簡(jiǎn)單。最后反思，不僅要正確使用運(yùn)算律，更要注重思維簡(jiǎn)潔，這是問題解決的五、六階段。

問題解決（problem solving）是“直接指向解決某個(gè)特定問題的思維過程，其中既包括反應(yīng)的產(chǎn)生，也包括在可能的反應(yīng)中做出選擇”。面對(duì)孩子計(jì)算上的問題，決不能用一個(gè)“粗心”一言以蔽之，而是要科學(xué)地找到應(yīng)對(duì)的方法，發(fā)現(xiàn)兒童思維上存在的難處，并設(shè)置好智慧的“屏障”，不憤不啟，不悱不發(fā)，在辨析中不斷擴(kuò)展其思維空間。

四、提升思維層次

國際數(shù)學(xué)教育指導(dǎo)性文件中有這樣一段話：“引導(dǎo)學(xué)生自己形成思想，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的關(guān)系和性質(zhì)，而不是把成人成熟的思維強(qiáng)加給他們。”史寧中教授也說：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有深入到思想層面，才是一種真正的學(xué)習(xí)。”誠然，在教學(xué)中，教師有意識(shí)地加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的滲透，更有助于學(xué)生思維層次的提升。

在“運(yùn)算律”整個(gè)單元框架中，教材都采用了運(yùn)算律孕伏在具體情境中的編排形式，因此在教學(xué)中，我們可以分以下幾步建構(gòu)整課：①提出問題，列式解答；②觀察算式，感受規(guī)律；③提出設(shè)想，驗(yàn)證想法；④推廣規(guī)律，遷移運(yùn)用；⑤反思提升，建立模型。而這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)嵌了“猜測(cè)—驗(yàn)證—結(jié)論”這一數(shù)學(xué)規(guī)律探索的過程，實(shí)現(xiàn)了歸納和演繹的交相呈現(xiàn)。培根說：“歸納法是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯，而演繹法是論證邏輯。”當(dāng)學(xué)生用“a+b=b+a”表示加法交換律的時(shí)候，則說明兒童能將邏輯思考簡(jiǎn)化成一種代數(shù)形式，而不用考慮這些符號(hào)對(duì)應(yīng)的指代物，更不需要驗(yàn)證其表征的物理現(xiàn)實(shí)，而此刻才是兒童思維發(fā)展的最為矚目的時(shí)刻，這才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)然的價(jià)值回歸。如果說知識(shí)的學(xué)習(xí)是一條明線索，那么思維發(fā)展就是一條暗線索，每一次的學(xué)習(xí)必將牽動(dòng)孩子每一次思維印記的延伸。

鄭毓信教授說：“基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)。”思維的“思”是每次學(xué)習(xí)知識(shí)的起點(diǎn)，而“維”才是聯(lián)接后形成的最本質(zhì)的思維網(wǎng)絡(luò)圖。在這張圖上，孩子們能在“聯(lián)接處”找到知識(shí)的起點(diǎn)，在知識(shí)的“變通處”找到思維的高點(diǎn)，從而推動(dòng)思維不斷向前、向全發(fā)展。

責(zé)任編輯 李杰杰endprint