基于線性校正的TOA聯合同步與定位算法

田 強, 馮大政, 楊 凡, 胡豪爽

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室, 陜西 西安 710071)

0 引 言

無線傳感器網絡定位技術在雷達、導航、目標跟蹤和無線通信等領域[1-4]有著廣泛的應用。多站目標定位是指處理中心利用多個傳感器錨節點接收到的目標定位參數信息估計出目標節點的位置。常見的定位參數主要有:到達時間(time of arrival, TOA)、到達時間差(time difference of arrival, TDOA)、到達角度(angle of arrival, AOA)、信號到達強度(received signal strength, RSS)等[5-8]。

TOA定位技術利用目標信號到達多個傳感器的傳輸時延來確定目標的位置,而傳輸時延的計算通常需要已知目標信號的發射時間,因此目標與傳感器之間必須是精確同步的。然而在實際應用中,尤其對于非合作目標,目標與傳感器之間往往存在時鐘偏差。文獻[9]的研究表明,即便是納米級的時鐘偏差都會嚴重影響傳統TOA算法的定位精度。針對以上不同步的問題,目前主要有兩種解決方法[10]:一是將傳感器錨節點測量的TOA數據相減,消除未知的時鐘偏差,轉化為TDOA定位模型。然而,該方法會增加定位方程的非線性程度,而且減法處理會引入有色噪聲,導致性能下降[11]。二是利用TOA測量數據對時鐘偏差和目標位置進行聯合估計。聯合估計算法能夠獲得更高的定位精度,近年來受到了廣泛的關注[12-16]。

聯合同步與定位問題本質上是一個非線性、非凸的參數估計問題。利用最大似然估計(maximum likelihood estimator,MLE)能夠得到非線性問題的漸進最優解,但需要進行格點搜索,計算量很大;通常的做法是利用泰勒級數(Taylor-series, TS)法[17]進行迭代求解,然而該方法需要一個迭代初始值,其收斂性過分依賴于初始值的選取,在初始值選取不好的情況下,很容易落入局部極小點,甚至出現發散的情況。文獻[13]將原聯合同步與定位問題轉化為對二次方程的求解,有效避免了非線性運算,并且得到了目標位置和時鐘偏差的閉式解;然而該算法只適用于目標位于傳感器內部的情況,當目標位于傳感器陣列的外部時,二次方程會出現多解甚至虛數解,對解的選取會嚴重影響算法的估計性能。文獻[14]通過引入輔助變量克服非線性問題,并利用兩步加權最小二乘(two-step weighted least square, TSWLS)算法得到了目標參數估計的解析解,該方法在測量誤差較小時可以逼近克拉美羅下界(Cramer-Rao lower bound, CRLB),但測量誤差較大時估計性能較差。近年來,一些學者引入凸優化方法[15-16],利用半正定松弛(semi-definite relaxation, SDR)技術,將目標函數轉化為凸函數進行優化求解;然而由于松弛近似后的目標函數不再是緊的,因此該方法并不能得到最優解,而且優化過程計算量較大。

本文基于線性校正技術提出一種新的聯合估計算法,該算法首先利用加權最小二乘理論得到目標參數的初始值,然后對初始值的偏差進行線性校正。與傳統方法相比,該方法可以得到閉式解,同時又克服了傳統閉式解方法中根的選取問題;在目標位于傳感器陣列內部與外部兩種情況下都可以逼近CRLB。理論分析和仿真實驗證明了該算法的有效性。

1 定位模型

不失一般性,假設在二維平面內分布M個時鐘相互同步的傳感器錨節點,其坐標分別為si=[xi,yi]T,i=1,2,…,M;待測目標節點坐標為x=[x,y]T;目標節點與傳感器網絡是不同步的,假設時鐘偏差為τ。根據TOA定位原理,目標信號到達第i個傳感器的本地時間為

(1)

式中,‖si-x‖2表示目標x到傳感器si的距離;c為光速;Δti為時間測量誤差。

將式(1)兩邊同時乘c,可以得到

ri=cti=‖si-x‖2+τ+ni,i=1,2,…,M

(2)

聯合同步與定位問題就是利用方程(2)中的測量數據ri,同時估計出目標位置x以及時鐘偏差τ。必須說明的是,為了簡單起見,上述定位模型是建立在二維平面上的,但是文中算法很容易推廣到三維空間中。

2 本文算法

2.1 加權最小二乘估計

(3)

定義輔助變量η=xTx-τ2,同時令θ=[τ,xT,η]T,式(3)寫成矩陣形式為

G1θ-h1=φ

(4)

B=diag(‖s1-x‖2,‖s2-x‖2,…,‖sM-x‖2)

(5)

式(4)是關于θ的線性方程,根據加權最小二乘理論,可求出θ的解為

(6)

式中,加權矩陣W=E[φφT]-1=(BQnBT)-1,其中Qn為測量誤差矢量n的協方差矩陣。需要說明的是，由式(5)可知,式中W的計算與目標真實位置x有關,而x是無法先驗已知的。因此,在實際應用時,可先令W為單位陣I,求出式(6)的最小二乘解,然后再利用最小二乘解對W進行近似計算。

(7)

2.2 線性偏差校正

(8)

為了利用系統定位方程進行偏差校正,將式(8)代入式(3)中,經整理可得

(9)

式(9)的推導過程中忽略了二階偏差項ΔxTΔx和Δτ2。

G2ξ-h2=φ

(10)

式(10)是關于偏差ξ的線性方程,其加權最小二乘求解為

(11)

(12)

將式(12)代入式(8)中,則可以得到偏差校正后的目標參數估計為

(13)

3 性能分析

對于任何無偏估計,CRLB確定了其參數估計誤差協方差所能達到的下界,因此用其可以很好地評估本文所提算法的估計性能。根據文獻[13]的研究結果,基于TOA的聯合同步與定位問題的CRLB為

(14)

(15)

當測量誤差較小時,由φ=Bn的定義可知,E[Δξ]=03×1,即線性偏差校正后的估計結果是近似無偏估計。

(16)

分別將G2和W的定義代入式(16)中,可得

(17)

當測量誤差n充分小時,即滿足

ni/‖si-x‖2≈0,i=1,2,…,M

(18)

時,由式(7)可知,加權最小二乘估計的偏差Δθ是測量誤差n的線性組合,因此有近似

(19)

根據式(2)中TOA定位方程及式(8)、式(18)、式(19)的結果可得

(20)

將式(20)代入式(17)中,可得

(21)

根據以上分析可知,本文提出的基于線性校正的聯合同步與定位算法,在測量誤差較小時近似為有效估計。

4 實驗仿真

為了驗證文中算法的有效性,做了以下仿真實驗,并將本文算法的估計性能與最大似然估計(maximum likelihood, ML)算法、文獻[6]中的最小-最大算法(min-max algorithm,MMA)、文獻[9]中的加權最小二乘(weighted least square, WLS)算法、文獻[14]中的TSWLS算法以及CRLB進行了比較。

本文仿真實驗在二維環境下進行,假定二維平面上有8個接收傳感器,其坐標分別為

s1=[50,50]T,s2=[50,-50]T,s3=[-50,50]T

s4=[-50,-50]T,s5=[50,0]T,s6=[0,50]T

s7=[-50,0]T,s8=[0,-50]T

圖1(a)和圖1(b)分別為當目標在傳感器陣列內部時,各算法對目標位置和時鐘偏差的估計性能隨測量誤差變化的統計結果。從圖1中可以看出,MMA算法的均方根誤差始終偏離CRLB,這主要是因為MMA算法利用凸松弛技術,導致目標函數的約束條件不是緊的,造成性能損失,只能得到次優解。WLS算法、ML算法、TSWLS算法和本文算法的估計性能在測量誤差較小時逼近CRLB;然而隨著測量誤差的增加,各算法的均方根誤差都有所增加。其中,WLS算法比本文算法較早地出現門限效應;而ML算法的均方根誤差急劇上升,這是因為當測量誤差較大時,迭代初始值偏離真實值較遠,導致算法局部收斂,甚至發散。此外,本文算法在測量誤差較大時性能優于TSWLS算法,主要原因是,本文算法在第二步偏差校正過程中不僅利用了變量之間的函數關系而且充分利用了系統的原定位方程,因此提高了對測量誤差容忍性。由圖1可以看出,本文算法的估計均方根誤差一直保持最小,估計性能優于傳統方法。

圖1 目標位于傳感器陣列內部時各算法的估計性能比較示意圖Fig.1 Performance comparison of various algorithms for the source inside the sensor array

圖2(a)和圖2(b)分別為當目標在傳感器陣列外部時,各算法對目標位置和時鐘偏差的估計性能隨測量誤差變化的統計結果。從圖2中可以得到與實驗1類似的結論。但值得注意的是,在本實驗的條件下,WLS算法的均方根誤差始終偏離CRLB,當測量誤差較大時,甚至出現了發散的現象,這主要是因為當目標在傳感器陣列外部時,在WLS算法的二項式方程求根過程中出現虛數解,導致算法性能嚴重下降。在本實驗條件下,本文算法與TSWLS算法性能近似,但根據圖2中局部放大圖可以看出,文中算法性能在測量誤差較大時仍略優于TSWLS算法。而隨著測量誤差的增大,所有算法的性能均有所下降,而文中算法的均方根誤差始終保持最低,具有較高的精度。

圖2 目標位于傳感器陣列外部時各算法的估計性能比較示意圖Fig.2 Performance comparison of various algorithms for the source outside the sensor array

以上仿真實驗結果與理論分析一致,文中算法在測量誤差較小時能夠逼近CRLB。從仿真結果可以看出,隨著測量誤差的增加,文中算法的性能優于傳統方法,并且在目標位于傳感器陣列內部和外部兩種情況下都具有較高的估計精度。

5 結束語

針對傳統TOA定位中目標與傳感器時鐘不同步的問題,提出了基于線性校正的聯合同步與定位算法。通過對定位方程的線性近似,求出加權最小二乘解作為初始值,然后利用系統定位方程對初始值的偏差進行線性校正。理論分析了該算法在測量誤差較小時為近似有效估計。實驗結果表明,該算法性能優于傳統的聯合估計算法,對測量誤差具有容忍性,在目標位于傳感器內部和外部兩種情況下都具有較高的定位與同步精度。

[1] SAYED A H, TARIGHAT A, KHAJEHNOURI N. Network-based wireless location: challenges faced in developing techniques for accurate wireless location information[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2005, 22(4): 24-40.

[2] DARDARI D, CLOSAS P, DJURIC P M. Indoor tracking: theory, methods, and technologies[J]. IEEE Trans.on Vehicular Technology, 2015, 64(4): 1263-1278.

[3] WIN M Z, CONTI A, MAZUELAS S, et al. Network localization and navigation via cooperation[J]. IEEE Communications Magazine， 2011, 49(5): 56-62.

[4] EINEMO M, SO H C. Weighted least squares algorithm for target localization in distributed MIMO radar[J]. Signal Processing, 2015, 115(C): 144-150.

[5] LIU C, YANG J, WANG F. Joint TDOA and AOA location algorithm[J]. Journal of Systems Engineering and Electronics, 2013, 24(2): 183-188.

[6] LIU C, FANG D, YANG Z, et al. RSS distribution-based passive localization and its application in sensor networks[J]. IEEE Trans.on Wireless Communications, 2016, 15(4): 2883-2895.

[7] LE T K, ONO N. Closed-form and near closed-form solutions for TOA-based joint source and sensor localization[J]. IEEE Trans.on Signal Processing, 2016, 64(18): 4751-4766.

[8] ZHU G H, FENG D Z, XIE H, et al. An approximately efficient bi-iterative method for source position and velocity estimation using TDOA and FDOA measurements[J]. Signal Processing, 2016, 125: 110-121.

[9] JEAN O, WEISS A J. Passive localization and synchronization using arbitrary signals[J]. IEEE Trans.on Signal Processing, 2014, 62(8): 2143-2150.

[10] VAGHEFI R M, BUEHRER R M. Asynchronous time-of-arrival-based source localization[C]∥Proc.of the IEEE International Conference on Acoustics, 2013: 4086-4090.

[11] PATWARI N, ASH J N, KYPEROUNTAS S, et al. Locating the nodes: cooperative localization in wireless sensor networks[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2005, 22(4): 54-69.

[12] ETZLINGER B, PIMMINGER C, FISCHEREDER S, et al. Passive localization and synchronization in the presence of affine clocks[C]∥Proc.of the 49th IEEE Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers, 2015:1655-1658.

[13] ZHU S, DING Z. Joint synchronization and localization using TOAs: a linearization based WLS solution[J]. IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 2010, 28(7): 1017-1025.

[14] HUANG J, XUE Y, YANG L. An efficient closed-form solution for joint synchronization and localization using TOA[J]. Future Generation Computer Systems,2013,29(3):776-781.

[15] XU E, DING Z, DASGUPTA S. Source localization in wireless sensor networks from signal time-of-arrival measurements[J]. IEEE Trans.on Signal Processing, 2011, 59(6): 2887-2897.

[16] WANG G, CAI S, LI Y, et al. Second-order cone relaxation for TOA-based source localization with unknown start transmission time[J]. IEEE Trans.on Vehicular Technology, 2014, 63(6): 2973-2977.

[17] FOY W H. Position-location solutions by Taylor-series estimation[J]. IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems, 1976,12(2): 187-194.