基于聚合算法的失效相關多部件系統維修策略優化

姚運志, 孟 晨, 王 成, 李寶晨

(1. 陸軍工程大學石家莊校區導彈工程系, 河北 石家莊 050003; 2. 陸軍工程大學科研部, 河北 石家莊 050003)

0 引 言

隨著科技的不斷發展及其在制造業的應用,設備的功能日益豐富,結構也日趨復雜。在設備的設計階段,多部件系統因其功能強大,結構緊密而受到設計者的青睞。然而,這也對設備的維修提出了更高的要求[1]。對于多部件系統,由于部件間失效相關(含經濟相關、結構相關)的廣泛存在,針對單部件的維修策略不再適用,科學合理的維修策略的制定難度大增。從20世紀80年代起,針對部件間失效相關的問題,國內外學者展開了一系列研究[2-5]。

早期的研究偏重于對失效相關的描述與建模,近年來,基于失效相關的模型描述,研究的重心向維修策略傾斜。在文獻[6]中,選擇隨機關聯系數來描述部件間的相關性,各部件之間的失效相關性受時間影響。文獻[7]認為系統中某部件的失效會使其他關聯部件失效率提高。文獻[8-9]針對結構復雜的系統,對其部件間的失效相關進行建模分析。國內學者在多部件系統維修策略的研究上也傾注了更多的精力。文獻[10]以兩部件系統為基礎,用關聯系數描述故障相關性,構建維修費率函數,討論了多部件系統預防維修策略問題。文獻[11]針對兩部件系統,以最低系統期望成本率為目標,研究了預防性維修與機會維修相結合的維修策略。文獻[12]綜合考慮時間相關、結構相關、功能相關,對成組維修策略進行優化。目前的研究存在以下問題:①現有文獻側重于多部件系統維修策略優化的方法提出及模型建立,對具體求解方法討論較少;②現有模型對于失效相關和經濟相關沒有同時定量的描述;③沒有一個科學合理的方法來描述部件狀態遷移對其他部件的影響;④對于考慮失效相關與機會維修的多部件系統維修策略問題,現有的方法還不能給出具體的求解方法。

基于以上分析,本文在綜合考慮失效相關和經濟相關的基礎上,從建模和求解算法兩方面展開研究,為多部件系統維修策略優化提供了一種新的可行方案。本文的創新性貢獻為:①同時定量地考慮了失效相關和經濟相關;②使用轉移概率矩陣定量描述部件狀態遷移對系統中其他部件狀態的影響;③采用聚合迭代算法實現了對模型的求解,并對正確性和收斂性給出了嚴格的數學證明。

1 多部件系統折扣準則模型

馬爾可夫過程的優化準則主要包括折扣準則、平均準則和總報酬準則等。折扣準則是以最小化折扣總成本為優化目標,更適用于維修決策模型的建立。本文基于折扣準則,建立多部件系統折扣準則模型,得到系統的最小折扣總成本。

1.1 模型假設

為明確多部件系統維修模型的適用對象,給出以下假設:

(1) 每個部件的劣化過程服從連續時間的馬爾可夫過程;

(2) 通過狀態監測可得到系統中每個部件的狀態;

(3) 系統中各部件存在失效相關,即某部件的失效會導致其他部件的失效或劣化速度提高;

(4) 系統中各部件存在經濟相關,即同時對多個部件進行維修的成本低于單獨維修各部件的成本的代數和;

(5) 為切于實際,部件的預防性維修成本低于修復性維修成本,部件的運行成本低于維修成本。

(6) 維修過程中不會使系統的狀態發生遷移;

(7) 兩個連續的維修決策時刻之間不會發生部件的狀態遷移。

1.2 模型建立

為便于連乘運算與求和運算的書寫,用xi和yi分別表示部件i的兩種狀態(xi和yi與上一段中xi意義相同)。若系統中只有部件i失效,則用Hi(yi|xi)表示部件i由狀態xi到yi轉移概率,對應的轉移概率矩陣為Hi。若系統中存在其他部件失效,則用Qi(yi|xi)表示部件i由狀態xi到yi轉移概率,對應的轉移概率矩陣為Qi。

多部件系統的一步狀態轉移矩陣可表示為

其中

Pr(yi|xi,ai)=

(1)

(2)

(3)

式中,cc和cs分別表示系統運行的可變成本系數和固定成本,cs>0。系統運行的可變成本與系統狀態相關,cc反映了系統在不同狀態下運行成本差異的程度,其值越大則差異越大,系統狀態對運行成本的影響越大。

(4)

(5)

(6)

(7)

此線性規劃問題的最優解為

式(6)、式(7)求解的目標是一致的,即對失效相關的多部件系統中的每一個部件選擇合適的維修行為,在保證系統可靠性的前提下,使得維修成本最低(得到最小折扣總成本)。得到最小折扣總成本的維修行為組合,稱之為最優維修策略。最優維修策略A*可以這樣描述:

對于式(7)中的線性規劃問題,當規模較小時,很容易解決。但是,若問題的規模很大時,計算量以及所需的內存空間及計算時間都難以承受。為此,提出下述算法,通過聚合的方法將問題的規模變小,并運用迭代的方法求其最優解。

2 聚合迭代算法

本節提出的聚合迭代算法將較大規模的線性規劃問題集合成一個較小規模的聚合線性規劃問題,計算得到后者的最優解后,再通過分解的方法將其分解成原線性規劃問題的近似解,然后以此近似解作為聚合步驟的參數重新進行“聚合-分解”得到新的近似解,經過有限次迭代,使近似解收斂到原問題的最優解。最后以此最優解求出最優維修策略。

圖1 聚合迭代算法流程圖Fig.1 Flow chart of iterative algorithm

步驟2以第t次迭代得到的結果為參數聚合原線性規劃問題(7):

m=1,2,…,M;k=1,2,…,K

(8)

l=1,2,…,M

(9)

m=1,2,…,M;l=1,2,…,M;k=1,2,…,K

(10)

步驟3求解問題(11),得到t+1次迭代的聚合最優解。

m=1,2,…,M;k=1,2,…,K

(11)

步驟4分解步驟3中得到的最優解,得到以下變量:

(12)

若變量

(13)

步驟5計算最優維修策略。

(14)

在步驟4中,為保證算法的收斂性,使用了非線性算子T,T對V運算定義為

(15)

(16)

m=1,2,…,M

(17)

(18)

(19)

由于不滿足不等式(13),則

(20)

證畢

(21)

由于線性算子T為壓縮映射,所以有式(22)成立。

0<α<1

(22)

由不等式(13)可知不等式(23)成立

(23)

證畢

3 數值算例

本節給出兩個數值算例,用以說明失效相關程度對折扣總成本以及最優維修策略的影響,探究多部件系統折扣準則模型中成本參數對最優維修策略的影響。

3.1 失效相關程度對折扣總成本及最優維修策略的影響

當系統中各部件存在失效相關,維修成本在總成本中占有較高比重時,失效相關程度越高,折扣總成本也就越高,相應的最優維修策略相對于無失效相關時的維修策略,差異也就越大。為了說明這一結論,給出以下3種情況。

情況1系統中各部件不存在失效相關,Hi=Qi,對?i∈{1,2,…,n};

假定系統由6個劣化特性(包括劣化狀態分級、失效對其他部件的影響等與本文計算模型相關的參數)相同的部件組成(U1～U6),采用文獻[10]中的方法,基于失效相關多部件系統的實際數據,對解析模型中的相關參數進行擬合求解,進而得到相關的成本參數。本文設定的成本參數和轉移概率矩陣見表1和表2,設維修費用的單位為“1”。為簡化分析,考慮到假定的維修成本占系統總成本比重較高,這里將系統運行成本暫時忽略不計。

下面應用聚合迭代算法對上述情況的最優折扣總成本V*和最優維修策略A*進行計算。最優折扣總成本的計算結果如表3所示,由此可得到以下結論。

表1 維修成本參數

表2 轉移概率矩陣

表3 最優折扣總成本

(2) 對?i,j∈{1,2,…,n},當i

上述分析表明,若系統中存在失效相關,當系統運行成本相對于維修成本較小且系統規模較大時,考慮失效相關制定的維修策略能顯著降低維修成本,降低的程度隨著失效相關性的增強而提高。

圖2 轉移概率矩陣為Qi和時的維修成本增加比率Fig.2 Increase ratio of maintenance cost when transfer probability matrices are Qi and

3.2 成本參數變化對最優折扣總成本的影響

表4 維修成本參數

(1)c0對最優折扣總成本的影響

圖3 不同c0下的V*與Fig.3 V* and when c0 changes

(2)cf與cp對最優折扣總成本的影響

圖4 不同cf下的V*與Fig.4 V* and when cf changes

(3)cs對最優折扣總成本的影響

圖5 不同cp下的V*與Fig.5 V* and when cp changes

圖6 不同cs下的V*與Fig.6 V* and when cs changes

(4)cc對最優折扣總成本的影響

圖7 不同cc下的V*與Fig.7 V* and when cc changes

3.3 算法對比

本節探究應用聚合迭代算法與直接求解式(7)中的線性規劃問題在計算耗時和占用內存上的差別。實驗參數設定同第3.1節,將系統中部件數量從3個逐漸增加至9個。實驗運行在Intel Core i5-3210M(2.50 GHz, 2.50 GHz)CPU上,計算機RAM為8GB,操作系統為64位Windows 7,算法運行在Matlab上。實驗結果如表5所示。

表5 兩算法計算耗時與占用內存的對比

4 結 論

本文在考慮失效相關與經濟相關的基礎上,從建模和求解算法兩個方面研究了多部件系統的維修策略優化問題。首先建立多部件系統的折扣準則模型,進而將維修策略方程轉化為線性規劃問題,利用聚合迭代算法對其進行簡化并求解,最后通過數值算例,說明了失效相關程度對折扣總成本以及最優維修策略的影響,探究了多部件系統折扣準則模型中成本參數對最優維修策略的影響。實驗結果顯示,采用聚合迭代算法可以有效提高運算速度,降低內存占用。

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