數學

王宏勇，楊守志

具有變量自由參數的分形插值曲面的構造與性質

王宏勇，楊守志

由于分形曲面（粗糙曲面）在科學和工程等領域中的重要應用已引起廣泛的關注，所以，人們運用隨機高度函數生成分數布朗運動曲面，應用一元分形函數的張量積或沿著垂直于輪廓面的方向移動一條分形輪廓線產生確定性分形曲面，通過無處可微連續函數的加權組合來得到某些粗糙曲面。盡管用這些方法構造出的分形曲面已被有效地使用在計算機圖形學中作為許多復雜的自然曲面的數學模型，但這些構造方法不能產生需要精確穿過某些指定數據點的分形曲面。1986年，Barnsley基于迭代函數系（IFS）理論，提出了分形插值函數（FIF）的構造方法。Massopust將FIF的概念推廣到二元分形插值曲面（FIS），首先考慮三角形區域上邊界插值點共面的情形下二元FIS的構造問題。Geronimo，Hardin和Zhao將Massopust的構造推廣到任意插值點的情形。其后，許多學者在不同的插值條件下，使用具有相同或不同的縱向尺度因子的IFS，研究了矩形區域上二元FIS的構造及其性質等問題。值得注意的是，在上面提到的各種FIS的構造中，所使用的IFS的縱向尺度因子是由一組常數給出，即采用常數作為自由參數。當使用這種常參數的IFS構造二元FIS時，將會導致在每個分割小區域上所有點處的縱向壓縮比都相同，這使得產生的FIS通常具備明顯的自相似特征，當用它們去擬合或逼近某些較少具備自相似特征的復雜曲面時，可能會引起較大誤差。另外，使用這種IFS去構造一個能經過任意指定插值點的FIS時，為了確保插值曲面的連續性，必須要求IFS滿足一定的“連續性條件”。然而，這樣的限制條件是極難驗證的。本文在矩形區域上使用具有變量自由參數的迭代函數系，構造了一類新的分形插值曲面，并研究了這類曲面的若干性質。證明了這類變參數的迭代函數系能生成連續的二元分形插值曲面，指出該類曲面可用作任意數據點上的自仿射和非自仿射的分形插值模型。在兩種度量意義下，導出了能刻畫這類分形曲面敏感性的一些不等式.給出了相應的分形插值函數與數據生成函數之間的誤差估計。最后，在一定條件下，證明了這類分形插值函數序列一致收斂于數據生成函數。

來源出版物：數學學報, 2014, 57(2): 223-234

入選年份：2014