剛體動力學問題的統一分析格式

鄭慧明

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剛體動力學問題的統一分析格式

鄭慧明

（華中科技大學 力學系，湖北 武漢 430074）

基于自由度和達朗貝爾原理，提出了分析剛體動力學問題統一格式。自由度決定了所需列動力學方程的數目，而應用達朗貝爾原理將力學問題轉化為靜力學問題后，可對一個或多個剛體對任意點取矩，在很多情形下可以不引入不需求的未知力。將二者結合，便可確定動力學問題至少需列動力學方程的數目，并能有規律地得到所需靜力學格式的方程，從而建立采用達朗貝爾原理分析剛體動力學問題時的統一格式。

自由度；達朗貝爾原理；剛體動力學

在進行機構動力學分析時，由于眾多分析方法間存在一定的相關性，選用何種方法、需列多少個及如何列出所需數目的獨立動力學方程，是大多數人面臨的難題。本文基于自由度和達朗貝爾原理，提出了分析剛體機構動力學問題統一格式。

1 自由度與動力學方程數目的關系

對于一般機械系統來說，各構件往往被視為剛體。對于個自由度機械系統，假設其廣義坐標為x()，＝1,2,3,…,。給定時刻個x()，就可以確定系統該時刻的位形，因此可以確定系統的任意點的坐標，比如x()＝(1,2,3,... x)。

2 基于自由度的動靜法分析剛體動力學問題統一格式

相對于動量/矩定理，對于多個剛體，采用動靜法將在很大程度上可以避免引入剛體間或其他不需要求的未知力。相對于功率方程，對于2個及以上的自由度系統，若做題第一步不是采用廣義坐標來表示速度和加速度，那么采用功率方程求解，還需要補充其它動力學方程，一個問題采用多種方法思路比較混亂，分析也比較復雜。對于一般教科書上所講的應用動靜法解題時[1-4]，在慣性力簡化后，仍是比較盲目地列靜力學格式的動力學理論的方程和運動學方程。若所列的方程數目少了或列了相關的不獨立的方程，等到發現無法求解時，不知道問題到底出在何處，也不知下一步是從運動學還是從動力學找方程。這是分析動力學時遇到最棘手的問題，一般的解決方法是反復計算和嘗試不同方法，這樣不僅會浪費很多時間，而且還是很難找到規律性的方法。如果能確定至少需列的動力學方程數目并且容易列出具體的方程，則使問題變得有規律，不會漏掉或多列不必要的動力學方程。

下文提出的基于自由度的動靜法，具有規律性，使許多不同的機構動力學分析統一在自由度的概念下，分析步驟也變得有規律可循，可以得到按如下步驟分析剛體動力學問題的統一格式。

（1）慣性力簡化。

（2）根據前文的結論確定至少需列的動力學方程數目＝－＋

（3）列出個靜力學方程。

為了容易得到個靜力學方程，在靜力學平衡問題教學中采用與一般教科書上不同思路的分析方法[1-4]。對于個剛體的平面靜力學系統，最多可以列3個獨立方程。但列過多的方程，不僅增加計算，而且難以找到規律性的方法。所以在靜力學中，若需求個未知力，堅持盡量不引入新的不待求力的原則，則容易排除其他不太合理的方法。具體實施時，先取整體為研究對象，整體可列3個獨立方程，若只有（＜3）個不待求力，則必然可列（3－）個僅含待求量的獨立方程。然后再取局部為研究對象。對于局部對象，有不同的選取方法。為了避免引入不待求的未知量，盡量不要拆分，一般可從待求量出發，用畫線的方法，由近及遠向四周延伸到沒有未知力偶矩的點，將從待求量到該點所囊括的所有剛體作為研究對象，對該點取矩。若會引入不待求未知力，暫且放棄此路線，退回再從待求力出發畫其它的線。

對于動靜法，由于有的加速度對應的慣性力也是未知量，在取局部為研究對象時，不容易確定如何畫線。此時，可以看一個剛體或多個剛體上的不待求未知力個數，若其上只有（＜3）個不待求力，則可以列（3－）個僅含待求量的獨立方程。

（4）補充運動學方程。

列了個動力學方程，還需補充運動學方程。因為動力學方程建立的是切向加速度（或角加速度）與力（或力偶矩）的關系，所以運動學方程首先需要建立加速度關系。因為加速度關系會引入法向加速度和科氏加速度，再進一步補充運動學的速度關系。

（5）求解

在運動學加速度方程中消去動力學方程未出現的加速度量，得到新的僅含有動力學方程中出現的加速度量方程，與個動力學方程聯立求解即可。

3 舉例

3.1 例1

在光滑水平面上放置一直角三棱柱體，其質量為1，可沿光滑水平面運動；質量為2、半徑為的均質圓柱體，在三棱柱體的斜面滾下而不滑動，如圖1所示。設三棱柱體的傾角為，試求三棱柱體的加速度[4]。

[解法]：

（1）因為是2個自由度系統，所以優選動靜法。

（2）圓柱體的慣性力只能向質心點簡化。

（3）2個剛體，2個自由度，未告訴任何切向加速度信息，不求任何真實力，則列2個靜力學格式的方程。

圖1 例1圖示

[整體]：可列3個獨立方程，但有2個不待求的未知量和，故只能貢獻一個方程，為了不引入和，只有∑＝0：

[再局部]：因為局部有4個未知力，只能選局部，局部只有處的2個未知力，可貢獻1個；[輪C]∑M＝0：

再補充加速度關系（動點為，動系為）

該題分析方法很多，有人采用水平動量守恒定理和機械能守恒定律，再通過運動學的速度和加速度關系來聯立求解。但該方法很復雜。若三棱柱體上有一水平力或地面存在摩擦力，該方法就變得更復雜。但根據本文提出的理論，由自由度的數目可知，2個自由度不宜選用此方法。此外，若由其他動力學原理得到另一個方程，只要沒有引入新的未知力，該方程雖然與上述動靜法得到的2個方程形式上差異很大，必然可由該2個方程和運動學方程推出，比如由機械能守恒定律得到的一個功率方程，其具體相關性很難證明，但基于自由度的上述計算出所需列動力學方程的數目就直接得出其必然相關的結論了，不用再多列不必要的方程。

3.2 例2

如圖2所示，在未知力偶矩作用下，桿以角速度作勻速轉動，圓盤在地面上做純滾動，尺寸及各構件質量均已知，不計地面對輪的滾動摩擦，求此時地面對輪的支持力和靜滑動摩擦力。

圖2 例2圖示

對于該題，自由度為1，若求力偶矩，由本文方法可知，優選功率方程。若求不做功的力則優選動靜法，比如求此時地面對輪B的作用力，由本文動靜法統一分析格式知需列動力學方程數為：1個自由度－1個已知角加速度量1＋2個待求力＝2個。慣性力簡化后，取[輪]：∑M＝0；取[輪B＋BA]：∑M＝0；再補充運動學加速度和速度關系方程，便可求解。

3.3 例3

圖3所示系統由靜止釋放，地面光滑，求釋放瞬時輪心C的加速度。

圖3 例3圖示

對于該題，自由度為4，若用水平動量守恒和機械能守恒定律，動力學方程數目仍不夠。因為還可列很多運動學方程，下一步往往不知是從運動學還是繼續從動力學列方程，故往往會漏掉或多列了動力學方程，經過多次試探才能求解，有時還可能列出相關的動力學方程。由本文理論知該題優選動靜法，按統一分析格式知需列的動力學方程數為：4個自由度－0個加速度＋0個待求力＝4個。慣性力簡化后，按照本文靜力學列方程的方法，先整體：可列有用方程數為：3個方程－1個地面對輪的不待求未知力＝2個，即：∑＝0；∑M＝0；再局部[]可列有用方程數為3個方程－B點2個不待求未知力＝1個，即：∑M＝0；由近及遠取[＋]可列有用方程數為3個方程－點2個不待求未知力＝1個，即：∑M＝0；再補充運動學速度關系方程，便可求解。

此外，上述思想也可推廣到求一個過程的速度變化和軌跡問題。在求過程速度變化問題時，已知個速度信息，按上述方法，確定至少需列－個動力學積分方程。由于動能定理積分形式不會引入與速度方向垂直的力，先用動能定理積分形式列1個，余下所差方程由動靜法積分得到。在求點（,）的軌跡問題時，將系統中某一個坐標（比如1）當作自變，軌跡問題就轉化為求1時，點（,）的位置。那么，對于個自由度系統，假設一個坐標為自變量后，則確定至少需列－1個動力學積分再積分得到位置關系方程后，再補充幾何位置關系方程。

3.4 例4

如圖4所示，半徑為、質量為的薄圓環直立在光滑水平面上；環上有一質量為的甲蟲。初始環和甲蟲靜止，后甲蟲突然啟動達到相對圓環以勻速沿圓環爬行（設從啟動到達到甲蟲位置不變）。求甲蟲開始運動達到相對圓環以勻速沿圓環爬行時圓環的角速度[4]。

教材[4]上一般應用動量守恒和動量矩守恒定律求解。具體如下：

[解法1]：甲蟲從靜止到以勻速開始運動，在很短的時間內完成，可以視為沖擊過程，在此過程中系統的位置不變。由系統水平動量守恒，得：

由系統對固定點動量矩守恒，得：

由式（4）、式（5）解出：

這種方法容易看得懂，但不容易想到，比如動量矩守恒可能想不到，也不明白為什么要列2個方程而不是1個或3個。但對于復雜的找不到方程或不知要找多少個動力學積分形式的方程的問題，此動靜法可解決這方面的困惑。對該題根據上文的選擇原則，可采用動靜法積分形式。3個自由度－1個已知相對速度，故需要列2個積分方程。因為蟲子做功未知，所以不選用動能定理積分形式，2個方程全部由動靜法積分得到。大致步驟如下：慣性力正確簡化后，先[整體]：只有一個未知力，故可列2個有用的方程，即：∑＝0（積分并利用運動關系得到解法1中的式（4），即動量守恒）。∑M＝0（積分并利用運動關系和上式得到解法1中的式（5），即動量矩守恒，實際上可以對上任意一點取矩均可，但只能選用其中的2個方程）。再補充速度關系。

3.5 例5

如圖5所示，半徑為，質量為1的光滑圓柱放在光滑水平面上，一質量為2的小球，從圓柱頂點無初速下滑，試求小球離開圓柱前的軌跡。

該題動力學方程采用系統質心水平位置不變當然最簡單，但不易想到上述方法，比如想不到質心x＝0和不明白為何只列1個動力學方程。若從動靜法入手，很容易想到，只是計算量大一些。根據本文方法，該題2個自由度，但是求軌跡，可將問題可轉化為：已知x，求對應的2的坐標（,），然后，消去自變量x，就得到軌跡。由于假設了一個坐標變量x，所以需列動力學方程數＝2個自由度－1個已知坐標0＝1個。故慣性力簡化后，取整體為研究對象，地面對有未知支持力和力偶矩，故可列3－2＝1個靜力學格式的方程：∑＝0，積分再積分后就得到系統質心水平位置不變。然后再補充2與距離為的幾何位置關系，得到用自變量o表示的（,），消去自變量x，就得到軌跡。

圖5 例5圖示

4 結語

本文基于自由度和達朗貝爾原理，提出了分析剛體動力學問題統一格式。需要說明的是，本文的方法只能確定至少需列方程的數目，這在大多數情形下是可以不引入不待求未知力找到最少的方程。但有時仍會引入不待求未知力，不過，基于此文的思想，結合應用虛位移原理僅用1個動力學方程就求解任意復雜的靜平衡系統的任意一個未知力的優點，得到動力學普遍方程，就可以準確確定動力學方程數目，使動力學問題變得更有規律。

[1]哈爾濱工業大學理論力學教研室. 理論力學（第六版）[M]. 北京：高等教育出版社，2016.

[2]洪嘉振，劉鑄永，楊長俊. 理論力學（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2015.

[3]周又和. 理論力學[M]. 北京：高等教育出版社，2015.

[4]何锃，趙高煜，鄭慧明. 理論力學[M]. 武漢：華中科技大學出版出版社，2007.

Uniform Format of Analysing Rigid Dynamics Problem

ZHENG Huiming

(Mechanics Department, Huazhong University of Science And Technology,Wuhan430074,China)

A uniform format is proposed in tackling dynamical problems of rigid bodies based on degree of freedom(DOF) and D'Alembert's principle.The necessary number of dynamics equations depends on DOF.Applying D'Alembert's principle, dynamical problems can be transferred into statics problems which helps us establish statics moment equilibrium in an arbitrarily point.Therefore,the unrequested unknowns are not introduced in most cases. Combining DOF and D'Alembert's principle，one can know the least necessary number of dynamics equations and regularly find statics format equations to establish a uniform format in solving dynamical problems of rigid bodies.

degree of freedom；D'Alembert's principle；rigid body dynamics

O313.3

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2018.01.005

1006－0316 (2018) 01－0024－05

2017－05－19

鄭慧明（1968－），男，湖北蘄春人，博士，副教授，主要從事振動和耦合動力學方面的研究和教學工作。