新課標下中職數學教學中滲透數學建模素養的實踐研究

葉春暖

數學建模素養是數學六大核心素養之一。在數學教學實踐活動過程中，指導學生建立數學模型，應用數學知識解決生產生活中的實際問題，這一過程能讓學生體會到數學知識應用過程中所蘊含的數學概念、原理、思想和方法。文章從函數、三角函數和圓錐曲線三個方面給出了在中職數學教學實踐中滲透數學建模素養的案例，以發展學生的問題意識和創新能力，促進學生數學核心素養的提升。

一、培養中職數學建模素養的意義

數學模型是針對實際問題，為特定的目的，通過抽象簡化而得出數學公式、圖形或算法的數學結構。數學建模就是根據實際問題，運用數學的語言和方法，通過抽象和簡化建立相對應的模型，并對數據進行分析和數學運算，從而加以解決。數學建模為現實問題和數學之間建立了一座橋梁，在中職數學教學中滲透數學建模素養，其重要意義不言而喻。

1.有利于增強中職學生學習數學課程的興趣。中職學校重視學生能力的培養，將貼近現實生活的數學建模案例引入數學教學過程中，使數學知識不再抽象枯燥，能夠積極調動學生的求知欲望和探索欲望，從而促進學生學習有關數學知識的興趣，有效地解決實際問題，提高學生對數學知識的理解能力，學生在學習數學建模過程中，體會到數學知識更多的實用性，對數學的學習興趣會進一步得到提高。

2.有利于加強學生對數學理論知識的理解，實現從“學習數學”到“使用數學”的轉化。在教學中滲透數學建模素養，使學生清楚數學是怎樣具體地解決現實問題的，明白數學有用，并了解怎么用。從而使學生更加深刻地理解數學理論知識，并逐步形成“使用數學”的能力。

3.有利于學生提高創新意識和能力。現實中的實際問題通常沒有現成的解決方法，需要學生根據實際問題進行抽象和簡化，通過建立數學模型來解決，并且這些問題又往往沒有統一的標準答案。這就鼓勵學生打破常規，想出形式多樣的解決方法，從而促進學生創新意識和能力的提高。

二、中職數學建模教學現況及面臨的挑戰

一是建模在高職高考中沒有大規模出現建模內容，在高職高考中，若對數學建模不作要求，學生以高考為目的，自然對數學建模不夠重視，從而對數學建模沒有興趣。

二是中職學校的學生對數學建模的知識不夠清晰，數學基礎薄弱，對數學建模涉及的知識內容不知如何調動，在這些方面存在一定的不足，大多數學生在自己熟悉的題目情境中，只能運用已知的數學模型來解題，卻缺乏對同類題型進行適當轉換模型的解題能力。

三是教師教學以知識本身為主，脫離具體的實際情境，中職學生較少實踐數學建模活動，缺少對實際問題的分析與提煉，缺少體驗將實際問題進行數學化的過程。學生鮮有機會親身體會到數學在解決現實問題中的價值和作用，從而導致中職學生對數學建模活動顯得力不從心，建模能力較弱。

但隨著新課程改革的推進，對學生進行數學核心素養的教育已成為必然，而數學建模素養又是數學核心素養的重要組成部分，因此，教師在日常的教學中將數學建模素養滲透到學生中，不僅可以提高學生的數學核心素養，而且可以增強學生分析問題和解析問題的能力，從而提高中職學生的綜合能力，促進學生全方面的發展。

三、數學建模素養滲透到中職數學教學中的案例

1.二次函數專題中的建模學習

數學建模學習是學生用數學理論知識來解決實際問題的一種方式。學生通過數學建模學習，體會到了解決實際問題的完整過程，感受到了數學的實用價值，增強了應用數學的意識，提高了數學實踐能力。比如下面二次函數模型應用的數學建模學習：

如今，智慧農業日益深入人心，農產品的產量和質量都可以通過科學的種植而得到大幅度的改善。在果樹栽培過程中，如果栽種密度過大，就會影響果樹之間的透氣性，不能保證光照充足，對果實的產量、品質都會造成較大影響。通過一些數據分析，某果園在種植面積不變的情況下，種植50棵的果樹，平均每棵果樹可產出果實300kg。若種植密度增加，每多種一棵果樹，平均每棵果樹的產果量就會相應減少5kg。那么，想要使果園的總產量達到最大，該如何安排種植果樹數量呢？最大產量是多少kg？

模型分析：根據果園總產量＝ 平均每棵樹的產果量×種植數量，得到總產量與種植數量的關系，進而根據總產量最大，確定種植數量。

模型假設：從樣例中的數據信息來看，隨著種植數量的增加，平均產量就會減少。種植數量每多種一棵樹，平均每棵樹的產果量就會減少5千克。

模型建立：設果園總產量為y千克，增種x棵果樹，則種植數量為（50+x），每棵樹的產果量為（300-5x）千克，依題意可得，

果園總產量為y=（50+x）（300-5x）

模型求解：根據二次函數的最值，

y= （50+x）（300-5x）

=-5（x-5）2 +15125

求解得到，當x=5時，y有最大值15125.

結果解釋：果數種植數量為50+5即55棵時，果園產量最大，最大產量為15125千克。

教師在講解二次函數求最值的相關知識時，可以介紹此案例。當然此解并非唯一方法，還可以假設果園總產量為y千克，種植x棵果樹，則每棵樹的產果量為［300－5（x－50）］千克，總產量為y= x ［300－5（x－50）］。

2.三角函數專題中的建模實驗

在學習完三角函數專題中的正弦定理后，教師可以設計數學實驗型的數學建模活動：測量東莞最高文物建筑——金鰲洲塔的高度，指導學生應用已學的數學知識來解決實際問題，利用自制測角儀和卷尺，運用三角函數的知識來測量金鰲洲塔的高度，同時也是在數學課中落實“大思政課”，學生在做數學實驗的過程中，感受所在城市的悠久歷史文化，激發學生愛國情感。

3.圓錐曲線專題中數學建模的研究性學習

數學研究性學習側重于引導學生在學習過程中遇到的某一具體數學問題，對結論進行合理的猜測，通過自主探究或合作的方式進行

例如在學習立體幾何和解析幾何后，打籃球的同學提出了一個問題：當籃球放在平整的地面上時，陽光斜照下來，籃球的影子輪廓是不是一個橢圓呢？如果是，怎么證明它就是一個橢圓？

要解決這個問題，教師需要指導學生學習立體幾何與解析幾何，掌握橢圓第一定義和橢圓第二定義，橢圓的標準方程等知識，學生需要大量的知識儲備。

計算機繪圖進行分析，如圖1所示，地面為平面α，假設球的半徑為R，太陽光線與地面所形成的夾角為α并設過球心且垂直于光線的平面為β，其與地面α的交線為l，平面β截球面所得的大圓的直徑為A′O′B′，二面角α-l-β的大小為θ，θ=π2 -α

指導學生使用解析幾何和立體幾何的知識來進行分析求解。

解題方法如下：點P是所求曲線上的任意一點，它是從圓O′上的點P′處直射而來的。則PP⊥β。由于PH和PP′都是球的切線，且PP=PH。作PQ⊥l于點Q，從而PP′PQ=sinθ=cosα，PHPQ=cosα①

所以，陰影輪廓線是一個橢圓。

需要補充上，H是定點。直線l是定直線，cosα<1，①式滿足橢圓的第二定義，所以其為橢圓方程，其中H為橢圓的焦點，直線l為橢圓的準線，橢圓的離心率e=cosα。

那么還有沒有其他不同的解法呢？教師引導學生再思考，讓他們的思維發散開來。

數學建模的研究性學習對學生和教師的要求都比較高，有一定的難度，因為它不僅僅局限于簡單地傳授學生純粹的書本知識。學生在研究性學習中，不僅要會運用學過的知識，在知識之間建立一定的聯系，而且還要主動地去學習新的知識去解決問題，所以研究性學生要注重每個學生的差異，重視在學習過程中的評價，這就要求教師全程指導、學生協同合作去完成。

四、中職數學建模的幾點教學建議

數學建模對中職學生數學應用能力和數學核心素養的提升具有重要作用，但是，數學建模素養的提升并不是一蹴而就，而是要循序漸進。教師在進行數學建模教學活動時，應注意以下幾點：

1.合理選擇案例

數學建模的教學案例應來自于學生的日常生活實際，是學生在學習或生活中遇到的實際問題，從而更加有效地調動學生學習的積極性，引發學生的求知欲和探索欲。同時，選擇的案例也不能太過復雜，大大超出學生的能力范圍的案例會使學生不能接受，最好涉及的數學知識是學生已經學習過并且掌握的內容，即使是新的內容也能較易尋求到學習途徑并能學會，從而有利于開展數學建模的教學。

2.結合數學建模專題教學與日常常規教學

在進行數學建模教學活動時，既要有專題的集中學習，即針對某個知識點進行數學建模，學生體會“發現和提出問題——建立數學模型——分析和決問題”的數學建模活動完整過程，也要化整為零，在日常教學中對其中的某一步進行專項訓練，積累經驗。

3.教學方式靈活多樣

由于數學建模內容豐富多樣，從而數學建模教學不能只采用傳統的講授方法進行教學，我們可以進行多種教學方式，如建模學習、數學實驗和研究性學習。

[課題項目：本文系廣東省東莞市教育科研“十四五”規劃2023年度課題“四維融合”視角下中職數學“品質作業”設計與實施研究的研究成果，課題編號：2023GH476。]

責任編輯 何麗華