線性代數(shù)中的二次型應(yīng)用

劉媛媛

(隴南師范高等?？茖W(xué)校 初等教育學(xué)院，甘肅 隴南 742500)

從代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，化標(biāo)準(zhǔn)型過(guò)程就是將變量的線性變化化簡(jiǎn)成一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式，使它只含有平方項(xiàng).這樣一個(gè)問(wèn)題，在實(shí)際問(wèn)題中會(huì)經(jīng)常遇到，下面介紹它的基本性質(zhì).

在解析幾何中，我們看到，中心是原點(diǎn)的二次有心曲線方程是

ax2+bxy+cy2=d.

可把二次有心曲線方程化為只含有平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形式a′x′2+c′y′2=d，從平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，我們很容易判斷曲線的類型，進(jìn)而可以研究曲線的性質(zhì).

基于上面的結(jié)果，我們?cè)囅肽芊癜芽臻g解析幾何中的二次曲面方程

也化為只含有平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)而來(lái)研究曲面的性質(zhì).

二次曲線ax2+bxy+cy2=d的左邊是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式，化標(biāo)準(zhǔn)型過(guò)程就是通過(guò)變量的線性變換為二次齊次多項(xiàng)式，即只含有平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形式[1].

一般地，F(xiàn)是一個(gè)數(shù)域，F(xiàn)中n個(gè)變量x1,x2,…,xn的二次型表達(dá)式為

1 用代數(shù)方法求橢圓(球)面(體)積

任意給出一個(gè)二元不等式

ax2+2b1xy+cy2+2d1x+2e1y≤h,

(1)

當(dāng)h>0時(shí)，可以化為

ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey≤1 ,

(2)

2 二次型在二維求解平面圖形中的應(yīng)用

以二次曲線的主直徑為新坐標(biāo)軸，化簡(jiǎn)方程4x2-4xy+y2+6x-8y+3 =0，寫(xiě)出相應(yīng)的坐標(biāo)變換公式.下面我們來(lái)詳解.

故曲線為無(wú)心曲線，特征方程為λ2-5λ=0，解之得λ1=5，λ2=0.

由λ1確定的非漸近主方向?yàn)閤1y1=-21， 由λ2確定的漸近主方向?yàn)閤2y2=12.

由于F1(x,y)=4x-2y+3，F(xiàn)2(x,y)=-2x+y-4，則λ1確定的唯一主直徑為2x-y+2=0，將它取為O′x′軸，由

2x-y+2=0,4x2-4xy+y2+6x-8y+3=0 ,

從而有正變換公式[3]

代入原方程并整理得

同時(shí)

3 二次型在三維求解立體圖形中的應(yīng)用

解：因?yàn)閍1a2+b1b2=0，所以直線a1x+b1y+c1=0與a2x+b2y+c2=0互相垂直，分別取為oy軸與ox軸，得坐標(biāo)變換公式為

其中，ai,bi(i=1,2)不全為零[4].

式中正負(fù)號(hào)的選取使得第一式中x的系數(shù)與第二式中y的系數(shù)相同，代入原方程得

由

a1a2+b1b2=0,

則

a1=γb2,b1=-γa2，

代入得

γ2x′2+y′2=1,