一種基于薄膜模型的修改方法來計算史瓦西黑洞的熵

韓志茶 高新華

摘 要：由特霍夫特提出的磚墻模型是用來計算黑洞熵的一種常用方法，基于磚墻模型的薄膜模型是它的改進方法。這種方法計算的黑洞熵符合貝肯斯坦-霍金熵的普遍結果。但是，該方法存在兩個可能引起困惑的參數，導致薄膜可以趨近于零，這可能會導致其計算中依賴的半經典條件失效。另外，此參數為人為選取，其內在的物理意義也不是非常清楚。通過引入普朗克尺度，我們對這兩個參數進行了替換，計算結果依然滿足貝肯斯坦-霍金熵，且更具有物理意義。

關鍵詞：熵；磚墻模型；薄膜模型；普朗克尺度

中圖分類號：P145.8 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）22-0240-03

1 研究背景

黑洞與熱力學定律之間的相似性很早就已經被注意到[1]，二十世紀七十年代，貝肯斯坦[2-3]和霍金[4]首先提出了黑洞熱力學這一概念，其中就提出了黑洞熵的猜測，并給出了面積不減定理。他們證明并得出結論，即黑洞的熵與黑洞表面積成正比，具體的關系是為S=，其中S是黑洞熵，A是黑洞的視界面積。這一結果又被叫做“貝肯斯坦-霍金熵”。

在他們之后，黑洞熵以及黑洞熱力學被研究了很多年。基于貝肯斯坦和霍金的猜測和計算，人們普遍認為其他黑洞的熵也應該有與貝肯斯坦-霍金熵類似的結果。但是，至今為止，由于黑洞熵的起源一直都是一個未解之謎，因此不同研究者對黑洞熵的本質有就不同的理解，于是便出現了多種不同的計算黑洞熵的方法。盡管方法眾多，但這些不同方法計算的結果卻大多都支持黑洞熵與其視界面積成正比這一結論[5-8]。對同一黑洞而言，若所采用的方法能得到和貝肯斯坦-霍金熵類似的結論，便是該對計算方法的一種肯定，也是對基于該方法所理解的黑洞熵的起源的肯定。磚墻模型就是計算黑洞熵的一種廣泛使用的方法。

1985年，特霍夫特提出了磚墻模型方法[9]。這種方法認為，黑洞的熵源于事件視界外面某一空間殼層區域內的處于熱力學平衡狀態下的量子氣體的熵。該殼層的內表面到事件視界有一個空間距離h，且該殼層具有一定的厚度L。因為這一殼層類似于一堵包圍黑洞視界的磚墻，故被形象的稱為“磚墻模型”。自從這一方法被提出后，基于該方法來計算黑洞熵的工作層出不窮，并都得到了比較好的結論[10-16]。這種方法的優點是，它能給出計算靜態黑洞的統計學熵的清晰簡便的計算過程，并且能夠對黑洞熵的起源問題提供了一種可以被理解和接受的解釋。用該方法計算出來的黑洞熵結果一般會出現多個項，但只有一項提供了黑洞熵的主要部分，其余項是對黑洞熵的一種修正。

因為存在一個主要項和其他修正項，文獻[17]便對墻模型進行了修改。他們認為，磚墻模型中最主要的這一項應該來自于黑洞之外非常薄的一個殼層內的量子氣體的熵，于是便將磚墻向事件視界靠近，同時不斷壓縮磚墻的厚度。這樣，磚墻就離黑洞很近，而且變得很薄，于是被形象的叫做“薄膜模型”[18-20]。在他們的工作中，用與磚墻模型同樣的方法只計算這一薄層依然能得到很好的結果。有很多文獻也已經基于這種方法計算了不同的黑洞熵，其結果也非常優美[21-22]。但是，這個方法卻帶來一個小小的困惑，即在計算中，該方法認為薄膜的厚度可以無限趨近于0，此時，這層薄膜就變成了一個二維膜。從物理角度來看，當薄膜趨近于0時，甚至取為0時，在該方法中使用的半經典近似條件將會失效，基于該條件的計算結果自然也就不再可信。同時，他們引入的兩個可以取為0的自由參數∈和δ，似乎也并沒有帶來更好的物理意義。

另外，磚墻模型和薄膜模型的結算結果都與貝肯斯坦-霍金熵略有不同。為了相同，必須人為的引入截斷因子。這種引入也沒有任何的道理，只是為了結果的相同而人為引入，無法解釋其物理意義。

為了解決上述問題，我們基于薄膜模型對該方法進行了修改。我們認為薄膜模型中引入的兩個自由參數不能無限趨近于0，便將該模型中的兩個自由參數進行了替換。我們考慮宇宙存在最小尺度這一物理事實，并考慮普朗克尺度和空間的離散性這個逐漸被理論界所接受的結果，于是可以猜測，這兩個參數應該和普朗克長度有關，且選取時應該是普朗克長度的整數倍。接下來便演示這一計算過程。

2 計算方法

這種計算是建立在認為最小尺度就是普朗克長度這一假設之上。雖然我們粗糙地在計算中認為空間尺度是普朗克尺度的整數倍，但是它給薄膜模型賦予一種物理上的解釋，也能消除薄膜模型中可能存在的半經典條件失效的情況。而且，我們依然得到了與貝肯斯坦-霍金熵一致的結論。

3 結論

磚墻模型和薄膜模型都是計算黑洞熵的重要方法，但這兩種方法都存在人為引入的、物理意義不那么明顯的人為截斷因子。另外，薄膜模型還存在的半經典條件失效的可能性。我們的修改方法可以解決以上兩個問題，而且也得到了貝肯斯坦-霍金熵。另外，非人為的截斷還有可能幫助我們理解普朗克尺度上的物理圖像。

參考文獻

[1]Christodoulou D. Reversible and Irreversible Transformations in Black-Hole Physics[J]. Phys. Rev. Lett. 1970，（25）：1596.

[2]Bekenstein J D. Lett. Black holes and the second law[J]. Nuovo Cimento，1972，（4）：737.

[3]Bekenstein J D. Black holes and entropy[J]. Phys. Rev. D，1973，（7）：2333.

[4]Hawking S. Particle creation by black holes[J]. Commun. Math. Phys，1975，（43）：199.

[5]李國平，蔣青權，馮中文，鄧娟.廣義Tortoise坐標變換與動態Kerr-Newman-de sitter黑洞的熱輻射[J].南大學學報（自然科學版），2012，（2）：196-201.

[6]李港，羅志全，楊娟，曾曉雄.旋轉帶電BTZ黑洞的修正熵[J].云南大學學報（自然科學版），2010，（4）：437-442.

[7]李慧玲，楊樹政，蔣青權.緩變動態Reissner-Nordstrm黑洞的熵[J].云南大學學報（自然科學版），2005，（5）：416-420.

[8]劉雄偉，曾曉雄，楊樹政.用協變反常法研究類RN黑洞的霍金輻射[J].云南大學學報（自然科學版），2008，（3）：256-260.

[9]Hooft G. On the quantum structure of a black hole[J]. Nuclear Physics，1985，（4）：727-745.

[10]WT Kim.Entropy of （2+1） dimensional de Sitter space in terms of the brick wall method [J].Phys.rev.d，1999，（4）：59-70.

[11]Liu W B. Reissner-Nordstrom Black Hole Entropy Inside and Outside the Brick Wall [J]. Chinese Physics Letters，2003，（3）：440.

[12]Masakatsu K， Kamal K N and Kazuyasu S. Solution-independent analysis of black hole entropy in brick wall model [J]. Class. Quantum Grav，2005，（22）：3923.

[13]K Ghosh. A few comments on brick-wall model and the entropy of a scalar field in Schwarzschild black hole background [J]. Nuclear Physics，2009，（1）：212-216.

[14]Latham T and Gershon T. A method to measure cos（2β） using time-dependent Dalitz plot analysis of B0→DCP π+ π-[J]. J. Phys. G，2009，（36）：025006.

[15]Wontae K， Edwin J S and Myungseok Y. Entropy of the FRW cosmology based on the brick wall method [J]. Phys. Lett. B，2008，（669）：359-363.

[16]Lee C O. The Thermodynamic Properties of Warped Taub-NUT AdS Black String[J].arXiv：1402.3972v2，2008.

[17]Li X and Zhao Z. Entropy of Vaidya-de Sitter Spacetime [J]. Chin. Phys. Lett，2001，（18）：463-465.

[18]Gao C J and Shen Y G. Fermions Entropy of Vaidya-Bonner Black Hole [J]. Chin. Phys. Lett，2001，（18）：1167.

[19]Li X and Zhao Z. Black Hole Entropy： Membrane Approach [J]. Int. J. Theor. Phys，2001，（40）：903.

[20]Liu W B and Zhao Z. An Improved Thin Film Brick-Wall Model of Black Hole Entropy [J]. Chin. Phys. Lett，2001，（18）：310.

[21]Li X and Zhao Z. Entropy of a Vaidya black hole [J]. Phys. Rev. D，2000，（62）：104001.

[22]李翔，趙崢.Brick Wall Model and the Spectrum of a Schwarzschild Black Hole[J].中國物理快報：英文版，2006，（8）：2016-2018.

[23]Garay L J. Quantum gravity and minimum length [J]. Int. J. Mod. Phys A，1995，（10）：145-166.

[24]Doplicher S， Fredenhagen K and Roberts John E. The quantum structure of spacetime at the Planck scale and quantum fields [J]. Commun. Math. Phys，2003，（1）：187-220.

[25]Kiefer C. Quantum geometrodynamics： whence， whither？ [J].General Relativity & Gravitation， 2008，（4）：877-901.

[26]Rovelli C. Loop Quantum Gravity[J]. Living Rev. Relativity，1997，（1）：1.

[27]Rovelli C. Loop quantum gravity： the first twenty-five years[J]. Classical and Quantum Gravity，2011，（28）：153002.

[28]Ashtekar A， Baez J， Corichi A and Krasnov K. Quantum Geometry and Black Hole Entropy [J]. Phys. Rev. Lett， 1997，（80）：904-907.