例談平面直角坐標(biāo)系下圖形變換和點(diǎn)坐標(biāo)的確定

徐臻

摘 要：在整個(gè)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，平面直角坐標(biāo)系是一個(gè)有力的工具。它貫穿著數(shù)與形，也凸顯了一種數(shù)形結(jié)合的思想。平面直角坐標(biāo)系的作用無(wú)處不在，從數(shù)軸開(kāi)始，其實(shí)已經(jīng)開(kāi)始逐步接觸平面直角坐標(biāo)系了，后來(lái)線段的距離、點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)、線段的對(duì)稱(chēng)都可以在平面直角坐標(biāo)系中完成。包括數(shù)量關(guān)系中的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是在平面直角坐標(biāo)系的背景下，研究橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系。平面直角坐標(biāo)系這個(gè)工具還能幫助學(xué)生研究圖像的性質(zhì)和圖像的變化，確定點(diǎn)的坐標(biāo)。

關(guān)鍵詞：平面直角坐標(biāo)系；圖形變換；點(diǎn)坐標(biāo)

從近幾年考題來(lái)看，在平面直角坐標(biāo)系的背景下，經(jīng)常有幾何圖形的變換，例如翻折、旋轉(zhuǎn)、平移。點(diǎn)坐標(biāo)的確定就成為一個(gè)重要的考點(diǎn)，在解題過(guò)程中，首先要充分認(rèn)識(shí)圖形變換前后之間的關(guān)系，特別是線段之間的數(shù)量和位置關(guān)系，在旋轉(zhuǎn)變換背景下還要充分考慮特殊的旋轉(zhuǎn)角對(duì)于旋轉(zhuǎn)之后圖形的位置影響。其次還需要準(zhǔn)確地把握坐標(biāo)的確定方法。有時(shí)候，需要過(guò)所求點(diǎn)向坐標(biāo)軸作輔助線（垂線），去構(gòu)造直角三角形，然后利用邊角的條件求出垂線段的長(zhǎng)度。再由垂線段過(guò)渡到點(diǎn)的坐標(biāo)過(guò)程中，有時(shí)還要考慮點(diǎn)的位置。值得注意的是要正確判斷坐標(biāo)的符號(hào)。舉個(gè)例子，坐標(biāo)系中的變換問(wèn)題往往隱含著一些特殊角的條件，比如點(diǎn)A（1，-■），這樣的描述中就隱含著60°的角，因此，在分析圖形特征時(shí)，要格外留意是否題目中存在類(lèi)似的關(guān)鍵的且不容易被發(fā)現(xiàn)的一些潛在條件。由此可見(jiàn)，處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)要把握變換的性質(zhì)以及確定坐標(biāo)的方法，特別是確定點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)造垂線段，形成直角三角形，進(jìn)而求解，這是一種典型的確定點(diǎn)坐標(biāo)的好方法，可供學(xué)習(xí)者熟練掌握。下面我將分別列舉兩個(gè)平面直角坐標(biāo)系下圖形在翻折和旋轉(zhuǎn)過(guò)程中求點(diǎn)坐標(biāo)的例題。

通過(guò)這兩題的比較，我們不難發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系下根據(jù)圖形的變換求點(diǎn)的坐標(biāo)，構(gòu)造特殊三角形，在三角形里通過(guò)計(jì)算線段的長(zhǎng)度，從而計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)是大體思路。但面對(duì)不同的圖形變換，我們也有需要注意的地方，對(duì)于旋轉(zhuǎn)變換的問(wèn)題，我們要注意旋轉(zhuǎn)角問(wèn)題。對(duì)于三角形和四邊形的旋轉(zhuǎn)，在進(jìn)行角度計(jì)算的時(shí)候，我們需要關(guān)注原來(lái)角度的條件。因?yàn)樵谛D(zhuǎn)過(guò)程中，非常容易出現(xiàn)等腰三角形、等邊三角形或者直角三角形。因而在圖形變換下求點(diǎn)坐標(biāo)，我們需要考慮特殊圖形對(duì)于角度的制約作用，比如，如果一條線段繞一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°就可以形成等邊三角形，如果旋轉(zhuǎn)90°就會(huì)變成等腰直角三角形。當(dāng)然我們也需要非常熟悉45°和60°兩塊特殊三角板邊與角之間的關(guān)系。面對(duì)圖形變換中折疊求點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，我們需要考慮軸對(duì)稱(chēng)，把對(duì)應(yīng)關(guān)系搞清楚，然后分析圖形中出現(xiàn)的特殊三角形，在接下來(lái)的計(jì)算中，我們經(jīng)常會(huì)借助方程思想，通過(guò)勾股定理得出結(jié)論。

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