四色猜想能夠成立的證明

張爾光

【摘 要】本文依照“同一組的區域著同一色”的對等原理，將對四色猜想的四色區分的證明，置換為對“在相鄰區域不能搭配為同一組的原則下，能否做到將圖的區域合理搭配分為四組”的證明。筆者論證了“四色猜想的四色區分”的五種結果及其等式，創立了“設劃單元，合理搭配”的方法，通過實圖例證，對“相鄰區域不能搭配為同一組的原則下，能否做到將圖的區域合理搭配分為四組”之問題做出了證明，并得到了肯定的回答，從而證明四色猜想成立。

【關鍵詞】四色區分；圖；區域；單元；合理搭配；證明；成立

中圖分類號： O157.5 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）33-0155-005

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.33.071

筆者認為，依照“同一組的區域著同一色”的對等原理去推想，四色猜想的四色區分的證明，就是“在遵循相鄰區域不能搭配為同一組的原則下，能否做到將圖的區域合理搭配分為四組”的證明。這是因為，如對“能夠做到將圖的區域合理搭配分為四組”之問題做出了證明，就等于對“能夠做到四色區分”之問題做出了證明。

筆者研究結果表明，展現在平（球）體表面的圖，不論其區域是多少、整體結構多么復雜，均可通過“設劃單元，合理搭配”的方法，在相鄰區域不能搭配為同一組的原則下，做到將圖的區域合理搭配分為“四組”，因而，按“同一組的區域著同一色”的對等原理，在遵循相鄰區域不能著同一色的原則下，對圖的區域完全能夠做到四色區分，使四色猜想成立。

1 四色區分的著色結果及其等式

在論證“展現在平（球）體表面的圖的n（n≥4）個區域，在相鄰區域不能搭配為同一組的原則下，能否做到將圖的區域合理搭配分為四組”之問題之前，筆者覺得有必要把目光和思維轉到“n個蘋果分裝到四個籮筐的結果及其等式”這個證題上來。

1.1 論證n個蘋果隨意分為四筐的結果及其等式

我們知道，n（n≥2）個蘋果隨意分裝到若干籮筐，在每筐至少有一個蘋果的前提下，其分裝到各個籮筐的蘋果數的結果（不論是何種結果），均可以數學等式表達出來。

例證1 n（n≥2）個蘋果隨意分裝到兩個籮筐，那么，其分裝到兩個籮筐的蘋果數的結果只有兩種可能：

結果1 兩個筐的蘋果數相同，其等式可表達為：

m×2=n（m為每筐的蘋果數，n為蘋果總數，下同）

結果2 兩個筐的蘋果數各不相同，其等式可表達為：

（m1×1）+（m2×1）=n

“m×2=n”和“（m1×1）+（m2×1）=n”此兩個等式告訴我們，在每筐至少有一個蘋果的前提下，不論是多少（n≥2）個蘋果，如分裝到兩個籮筐，則完全可以做到，而且其分裝的結果，必定可以此兩個等式中之一個等式表達出來。

例證2 n（n≥3）個蘋果隨意分裝到3個籮筐，那么，其分裝到3個籮筐的蘋果數的結果只有三種可能：

結果1 3個筐的蘋果數均相同，其等式可表達為：

m×3=n

結果2 其中2個筐的蘋果數相同，另一個筐的蘋果數不相同，其等式可表達為：

（m1×2）+（m2×1）=n

結果3 3個筐的蘋果數各不相同，其等式可表達為：

（m1×1）+（m2×1）+（m3×1）=n

“m×2=n”、“（m1×2）+（m2×1）=n”和“（m1×1）+（m2×1）+（m3×1）=n”此3個等式告訴我們，在每筐至少有一個蘋果的前提下，不論是多少（n≥3）個蘋果，如分裝到3個籮筐，則完全可以做到，而且其分裝的結果，必定可以此3個等式中之一個等式表達出來。

例證3 n（n≥4）個蘋果隨意分裝到4個籮筐，那么，其分裝到4個籮筐的蘋果數的結果只有五種可能：

結果1 4個筐的蘋果數均相同，其等式可表達為：

m×4=n

結果2 其中3個筐的蘋果數相同，另一個筐的蘋果數不相同，其等式可表達為：

（m1×3）+（m2×1）=n

結果3 其中2個筐的蘋果數相同，另2個筐的蘋果數為同另一個數，其等式可表達為：

（m1×2）+（m2×2）=n

結果4 其中2個筐的蘋果數相同，另2個筐的蘋果數各不相同，其等式可表達為：

（m1×2）+（m2×1）+（m3×1）=n

結果5 4個筐的蘋果數各不相同，其等式可表達為：

（m1×1）+（m2×1）+（m3×1）+（m4×1）=n

“m×4=n”、“（m1×3）+（m2×1）=n”、“（m1×2）+（m2×2）”、“（m1×2）+（m2×1）+（m3×1）=n”和“（m1×1）+（m2×1）+（m3×1）+（m4×1）=n”此5個等式告訴我們，在每筐至少有一個蘋果的前提下，不論是多少（n≥4）個蘋果，如分裝到4個籮筐，則完全可以做到，而且其分裝的結果，必定可以此5個等式中之一個等式表達出來。

上文已對“n（n≥4）個蘋果隨意分裝到4個籮筐的結果及其等式”進行了論證。現在我們把目光和思維轉到“圖的n個區域隨意分為四組的結果及其等式”這個證題上來。

1.2 論證圖的n個區域隨意分為四組的結果及其等式

事實告訴我們，一個由n（n≥4）個區域組成的圖，如隨意分為4組，那么，其分為4組的區域數的結果只有五種可能：

結果1 4組的區域數均相同，其等式可表達為：

m×4=n（m為組的區域數，n為區域總數，下同）

結果2 其中3組的區域數相同，另一組的區域數不相同，其等式可表達為：

（m1×3）+（m2×1）=n

結果3 其中2組的區域數相同，另2組的區域數為同另一個數，其等式可表達為：

（m1×2）+（m2×2）=n

結果4 其中2組的區域數相同，另2組的區域數各不相同，其等式可表達為：

（m1×2）+（m2×1）+（m3×1）=n

結果5 4組的區域數各不相同，其等式可表達為：

（m1×1）+（m2×1）+（m3×1）+（m4×1）=n

由此可見，（1）圖的n個區域隨意分為四組的結果及其等式與n個蘋果隨意分為四筐的結果及其等式相同，其分為四組的結果，必定可以此5個等式中之一個等式表達出來；（2）既然n個區域可以做到隨意分為四組，那么，依照“同一組的區域著同一色”的對等原理，證明n個區域可以做到隨意分為四色。圖的n個區域隨意分為四組的結果及其等式，也即是圖的n個區域隨意分為四色的結果及其等式。

1.3 在遵循相鄰區域不能著同一組的原則下，圖的n個區域分為四組的結果及其等式

筆者研究結果表明，一個由n（n≥4）個區域組成的圖，在遵循相鄰區域不能著同一組的原則下，不僅可合理搭配分為4組，而且其分為4組的區域數的結果也只有五種可能，其五種結果及其等式與隨意分為四組的結果及其等式相同。同時也證明，其分為四組的結果，必定可以此5個等式中之一等式表達出來。

實圖例證詳見后文。

1.4 四色區分的五種著色結果及其等式在實踐中出現的情況歸納

筆者現將上文求證到的五種結果等式稱之為“四色區分的五種著色結果等式”。為著后文敘述的方便，筆者將此五種著色結果等式分別以A1、A2、A3、A4、A5等式來表示，即：

A1等式是表示“m×4=n”

A2等式是表示“（m1×3）+（m2×1）=n”

A3等式是表示“（m1×2）+（m2×2）=n”

A4等式是表示“（m1×2）+（m2×1）+（m3×1）=n”

A5等式是表示“（m1×1）+（m2×1）+（m3×1）+（m4×1）=n”

上述“四色區分的五種著色結果等式”，給我們證明“在相鄰區域不能搭配為同一組的原則下，平（球）體表面的圖的n（n≥4）個區域，能否做到合理搭配分為四組”之問題，提供了一個已知依據。根據這個依據和數學的加減乘除法則，又可知道：（1）奇數不能被2和4整除，所以，如該圖的區域數是奇數的，其可合理搭配分為“四組”的結果等式，只存在A2、A4、A5此3種等式，不可能存在A1等式和A3等式；（2）如該圖的區域數是不能被4整除的偶數，其可合理搭配分為“四組”的結果等式，只存在A2、A3、A4、A5此4種等式，不可能存在A1等式；（3）如該圖的區域數可被4整除的偶數，其可合理搭配分為“四組”的結果等式，均可能存在A1、A2、A3、A4、A5此5種等式。

現將圖的區域可合理搭配分為四組的結果等式在實踐中有可能出現的情況做出歸納，見表1。

由此得出結論：展現在平（球）體表面的圖，不論其區域是多少、整體結構多么復雜，均可通過“設劃單元，合理搭配”的方法，在相鄰區域不能搭配為同一組的原則下，做到將圖的區域合理搭配分為“四組”。因而，四色猜想成立。

2 將圖的區域合理搭配分為“四組”的方法和步驟

四色猜想的四色區分之證明，實質就是將圖的區域合理搭配分為“四組”的證明。在實踐中，在遵循相鄰區域不能搭配為同一組的原則下，如何使圖的區域合理搭配分為四組得以實現，這就得講究科學的方法。對此，筆者經過多年的探索，已探索出一套可靠的科學方法。此方法就是“設劃單元，合理搭配”的方法。具體有四個步驟：

第一步 設劃“單元”。就是從整體的角度，對圖的區域與區域彼此之間相鄰和非相鄰的情況進行分析，在此基礎上，根據其中若干區域在圖的整體中所處的位置及作用，設劃為若干“單元”。一個“單元”，可以是幾個區域，也可以是單個區域。總之，視圖的整體結構而定。

第二步 同一“單元”區域組合（叫做“首次組合”）。就是將同一“單元”中的無相鄰關系的區域組合為同一個組，叫做“同單元區域小組”（此是小的組）。在不違背相鄰區域不能組合為同一個組的原則下，一個區域可參加多個組的組合。

第三步 單元與單元之間的區域（區域小組）組合（叫做“二次組合”）。就是遵循無相鄰區域可著同一色的原理，對第二步組合的組（包括單個區域、“同單元區域小組”）進行再次合理組合，將組的區域數再擴大，使之成為可著同一色的“定型組”。在同一個“定型組”中，絕不能存在相鄰區域。

第四步 確定“四組”搭配方案。就是遵循四色猜想的原則，依照同一個組的區域可著同一色的原理，對第三步組合形成的“定型組”進行合理搭配，設“四組”為一個搭配方案，每一個搭配方案即為對圖的n個區域進行四色區分的一個可成立方案。搭配過程中必須遵循四項原則，即：（1）同一個方案中的各個區域只能出現一次，不能有重復出現；（2）同一個方案中的區域數及區域編號必須與圖的區域數及區域編號相同，不能有被遺漏的區域；（3）同一個“定型組”（即可著同一色）的區域，不能有相鄰區域；（4）已確定的搭配方案必須符合四色區分的原則。

最后，“四組”搭配方案完成后，必須依照上述四項原則對各個方案進行逐項檢查驗證。

現進行實圖作證。

例證1

如圖1，是一個由12個區域組成的圖。此圖是《轟動全球的四色問題》一文用于證明“四色定理”的例證圖。

第一步，設劃單元。根據圖1的12個區域彼此之間的相鄰、非相鄰關系以及所形成的結構模式，可設劃為四個單元，即“1”為第一單元；“2，3，4，5，6”此五個區域為第二單元；“7，8，9，10，11”此五個區域為第三單元；“12”為第四單元。

第二步，同一單元區域組合。第一單元只有“1”一個區域，單個區域為一組。第二單元的“2，3，4，5，6”此五個區域，根據其區域彼此之間的相鄰和非相鄰的情況，可組合為兩個區域為一組的五個小組，即：“2”與“4”為一組；“2”與“5”為一組；“3”與“5”為一組；“3”與“6”為一組；“4”與“6”為一組。第三單元的“7，8，9，10，11”此五個區域，根據其區域彼此之間的相鄰和非相鄰的情況，可組合為兩個區域為一組的五個小組，即：“7”與“9”為一組；“7”與“10”為一組；“8”與“10”為一組；“8”與“11”為一組；“9”與“11”為一組。第四單元只有“12”一個區域，單個區域為一組。

第三步，單元與單元之間的區域（區域小組）組合。根據第二步已完成的各單元的區域組合情況，依照非相鄰的區域或區域小組可組合為同一組的要求，單元與單元之間的區域（區域小組）的組合結果詳見表2。

從表2可看出，經單元與單元之間的區域（區域小組）組合，共產生21組“定型組”，其中3個區域為一組的“定型組”有20組，2個區域為一組的“定型組”有1組（即是“1”與“12”）。

第四步，確定“四組”搭配方案。根據21組“定型組”的實際情況，依照四色猜想的四色區分的原則和“四組”搭配過程中應遵循的四項原則，確定可成立的合理搭配方案共有10個，詳見表3。

在此，需說清楚的，（1）圖1的區域數為12個，屬于可被4整除的偶數，四色區分的五種結果等式均有可能存在。但是，由于圖1的21組“定型組”中只存在區域數為3個的“定型組”和區域數為2個的“定型組”，只具備A1等式（即“m×4=n”等式）合理搭配“四組”的區域數的“定型組”，卻不具備A2、A3、A4、A5此4種等式合理搭配“四組”的區域數的“定型組”。因此，圖1的10個“四組”搭配方案的著色結果等式均為“m×4=n”（3×4=12）等式。（2）關于“1，12”此組“定型組”，因其區域數為2個，只能使用在A2、A3、A4、A5此4種等式的“四組”搭配上，但是，A2、A3、A4、A5此4種等式的四組“定型組”中，必須要有區域數為4個的“定型組”來搭配。因圖1的21組“定型組”中不存在區域數為4個的“定型組”，所以，“1，12”此組“定型組”搭配使用不上。再是，從圖1的12個區域彼此之間相鄰、非相鄰情況來看，如“1”與“12”同著一色，必然致使圖1的12個區域須五色區分。這就違背了四色區分的原則。

從表3可知，圖1的合理的“四組”搭配方案共有10個。此10個“四組”搭配方案，按四色區分均能成立。又每一個“四組”搭配方案的著色方案按“4！”計，圖1的著色方案共有240種，并不是《轟動全球的四色問題》一文所說的12種。雖然其著色方案為240種，但其著色結果等式只有一個，為“m×4=n”（3×4=12）等式，其四色每一色的區域數為3個。由此得出結論，在遵循相鄰區域不能搭配為同一組的原則下，圖1的12個區域完全可以合理搭配分為“四組”，從中證明在遵循相鄰區域不能著同一色的原則下可以做到四色區分，四色猜想成立。此證。

例證2

如圖2，是一個由17個區域組成的圖。經“設劃單元”（設劃為五個單元）、“同一單元區域組合”、“單元與單元之間的區域（區域小組）組合”（前三步過程略）之后，產生“定型組”共40組，其中區域數為3個的有20組，區域數為4個的有15組，區域數為5個的有5組。詳見表4。

第四步，確定“四組”搭配方案。依照四色猜想的四色區分的原則和“四組”搭配過程中應遵循的四項原則，經對此40組“定型組”進行合理搭配，確定可成立的“四組”搭配方案共有20個（需說清楚的，有10組區域數為3個的“定型組”不能搭配使用），其中其著色結果等式屬于A2等式“（m1×3）+（m2×1）=n”（即是“4×3+5×1=17”）有10個，屬于A4等式“（m1×2）+（m2×1）+（m3×1）=n”（即是“5×2+3×1+4×1=17”）有10個。詳見表5。

從表5可知，圖2的20個“四組”搭配方案，按四色區分均能成立。由此得出結論，在遵循相鄰區域不能搭配為同一組的原則下，圖2的17個區域完全可以合理搭配分為“四組”，從中證明在遵循相鄰區域不能著同一色的原則下可以做到四色區分，四色猜想成立。此證。

例證3

圖3是一個由18個區域組成的圖。從該圖可看出，比之圖1、圖2，其圖的結構模式比較復雜，區域與區域彼此之間的相鄰、非相鄰關系比較繁雜。筆者實踐表明，類似于圖3的圖，設劃單元時應注意兩點：第一，以均存在相鄰關系的四個區域設劃為第一單元；第二，其他單元也要以密切相鄰（包括區域編號）的區域來設劃。依照此兩點，筆者將圖3的18個區域設劃為四個單元，具體是：“4，10，11，12”此4個均相鄰區域為第一單元；“7，8，9，14”此4個區域為第二單元；“1，2，3，5，6”此5個區域為第三單元；“13，15，16，17，18”此5個區域為第四單元。在此，需指出的，因圖3的區域與區域彼此之間的相鄰、非相鄰關系比較繁雜，故其“單元與單元之間的區域（區域小組）組合”的靈活性較大。經“設劃單元”、“同一單元區域組合”、“單元與單元之間的區域（區域小組）組合”之后，產生“定型組”共574組，其中區域數為3個的有96組，區域數為4個的有110組，區域數為5個的有116組，區域數為6個的有168組，區域數為7個的有72組，區域數為8個的有12組。

因可供四組搭配的“定型組”有五百多組，可以肯定，可成立的四組搭配方案數在60種以上。對此，本人無法將其詳盡列出（其實，從“證明能否做到四色區分”這個角度來說，也沒有必要詳盡列出“四組搭配方案”，因為列出的可成立的部分“四組搭配方案”，足可對“能否做到四色區分”之問題做出肯定的證明），只好將其中“某類型”的16種“四組搭配方案”列出，見表6。

從表6可知，表中的16種“四組搭配方案”，是局限于“第一組‘定型組四個區域不變，其他三組‘定型組的區域略有變動”的情況下的16種方案。此16種“四組搭配方案”，按四色區分均能成立。由此得出結論，在遵循相鄰區域不能搭配為同一組的原則下，圖3的18個區域完全可以合理搭配分為“四組”，從中證明在遵循相鄰區域不能著同一色的原則下可做到四色區分，四色猜想成立。此證。

3 “四組搭配方案”的簡捷方法

筆者從四色猜想命題只是證明能否做到四色區分，而不是求證“四組搭配方案”數多少這個證明點出發，避開對“四組搭配方案”數的求證，創立了“四組搭配方案”的簡捷方法，即是“設劃單元+表中搭配”的方法。

第一步，“設劃單元”。要求及做法沒有變。但有一點要予以注意的，就是類似于圖3的圖，一定要以均存在相鄰關系的四個區域設劃為第一單元。因為，本人研究結果表明，展現在平（球）體表面的圖最多只能做到使“四個區域全相鄰”，第一單元的均相鄰的四個區域是四組區域搭配時“看齊”的“基準區域”。

第二步，“制表搭配”。先編制好表格，表格內容有四個欄目（1）四組序號；（2）各單元合理搭配的區域；（3）四組搭配方案結果；（4）著色結果等式。編制好表格后就進入合理搭配程序。

在搭配過程中，必須遵循四色猜想的四色區分的原則和“四組”搭配過程中應遵循的四項原則。搭配完成后，必須對照“四項原則”進行檢查。

現以實圖進行證明。

例證1 以上文圖3為例。

第一步，“設劃單元”。從該圖看出，均存在相鄰關系的四個區域共有五組，即：“4，10，11，12”、“4，7，10，15”、“7，9，10，14”、“7，10，14，15”、“10，13，14，15”。現設“4，7，10，15”此四個區域為第一單元；“8，9，13，14”此四個區域為第二單元；“11，12”此兩個區域為第三單元；“1，2，3，5，6”此五個區域為第四單元；“16，17，18”此三個區域為第五單元。

第二步，“制表搭配”。

經驗證，表中四種“四組搭配方案”，不存在相鄰區域同一組的現象，也不存在某個區域重復出現或被遺漏的情況，均可成立。從中證明，在遵循相鄰區域不能著同一色的原則下，圖3的18個區域可做到四色區分。因此，四色猜想成立。此證。

例證2 以上文圖2為例。

第一步，“設劃單元”。從該圖看出，圖的區域與區域彼此之間形成的規律有序、層次分明。據此，設區域“1”為第一單元；內一環的“2，3，4，5，6”此五個區域為第二單元；內二環的“7，8，9，10，11”此五個區域為第三單元；外環的“12，13，14，15，16”此五個區域為第四單元；區域“17”為第五單元。

第二步，“制表搭配”。

經驗證，表中兩種“四組搭配方案”，不存在相鄰區域同一組的現象，也不存在某個區域重復出現或被遺漏的情況，均可成立。從中證明，在遵循相鄰區域不能著同一色的原則下，圖2的17個區域可做到四色區分。因此，四色猜想成立。此證。

4 結論

綜上證明，得出結論：展現在平（球）體表面的圖，不論其區域是多少、整體結構多么復雜，均可通過“設劃單元，合理搭配”的方法，在遵循相鄰區域不能搭配為同一組的原則下，做到“四組”合理搭配，而且其可成立的方案數有多個。因而，依照“同一組區域著同一色”的對等原理，在遵循相鄰區域不能著同一色的原則下，對圖的區域完全可做到四色區分，使四色猜想得以成立。

證畢。

2018年10月28日