例談指向數學核心素養發展的數學教學

□李紅梅

教育部于2014年發布了 《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》，明確要求 “研究制定學生發展核心素養體系和學業質量標準”。[1]2016年9月13日，教育部成立的一個由北京師范大學牽頭的研究小組公布了研究結果，將學生核心素養定義為 “學生應具備的，能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力”。[2]數學核心素養的本質是描述一個人經過數學教育后應當具有的數學特質，大體上可歸結為：會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界。[3]因此，指向數學核心素養的數學教學是數學學科教育的要求，培養創新型人才的需要。本文針對指向數學核心素養發展的數學教學進行探究。

一、指向數學核心素養的數學教學

1.指向數學核心素養的數學教學的價值。數學核心素養產生于具體的數學內容，其內涵又超越于具體數學內容；數學核心素養源于數學學科，其價值又超越于數學學科。數學不應該被想象為一種費解、難懂而又違背常識的東西。實際上，數學正是常識的精微化。[4]數學知識是以聯結的方式存在的。數學以其內在的結構性、邏輯性、靈活性和創造性成為培養和發展學生思維的有效載體。[5]從教學過程上說，數學教學應是從感知走向理解，走向思考，走向質疑，最終走向實踐。從內容上說，數學教學從數學事實走向數學方法，走向數學思想，走向數學精神，最終走向數學素養。

2.指向數學核心素養的數學教學的基本操作思路。指向數學核心素養的數學教學的基本操作思路是建立數學核心素養與數學教學內容的關聯，從數學知識結構、學生的數學認知結構和學生已有的經驗 （生活的或是數學的經驗）出發，以啟發式講解、探究（自主或合作）的方式，完善和發展學生原有的數學認知結構，形成和發展學生的數學核心素養。

3.指向數學核心素養的數學教學實施途徑。指向數學核心素養的數學教學實施途徑是把握數學本質，創設合適的教學情境，提出合適的數學問題，設計合適的數學活動，編制合適的鞏固練習題，設計合適的變式拓展題，積累數學活動經驗，通過這一系列數學活動感悟、形成和發展數學核心素養。在整個教學活動中注重數學知識技能化，注重數學思想方法的感悟與運用；注重啟發學生獨立思考，鼓勵與他人交流，促進學生在獨立思考與交流的相互作用下進行深度學習，從而積累數學思維和實踐經驗，促進學生形成和發展數學核心素養。

二、指向數學核心素養的數學教學原則

指向數學核心素養的數學教學總的原則是啟發性原則、過程性原則、情意性原則、活動化原則、知識技能化原則、數學化原則。數學關鍵能力和必備品格的獲得不是靠反復訓練得來的個別化的技巧，而是依靠舉一反三具有較強遷移性的技能，依靠數學活動經驗的積累，依靠積極的數學情感態度的體驗，依靠正確合理的數學價值觀的引領。數學知識是人通過對現實物理世界和思維世界進行觀察、猜想、證明、批判、反駁、對話、交流，不斷地改進推理過程和結論得到的思想實驗的結果，是人對世界的一種認識，一種描述。因此，數學教學需要注重知識向技能轉化。

數學教學應該遵從數學知識的發生發展特性和學生認知發展規律，尋找知識的發生起點和學生相應的認知起點，通過合適的活動展現知識的發生過程，重視師生多邊互動，用適合學生水平的話語體系交流對話，激活學生的動力系統，啟發學生思考、質疑、批判、反思，引導學生學會學習。學生通過積極參與數學教學活動，經歷數學知識的建構過程，體會數學知識的發生過程，在獲得基本知識、基本技能的同時領會數學基本思想方法，積累數學基本活動經驗。數學基本活動經驗包括數學學習經驗，合作交流經驗，非數學式向數學式表達的經驗，實際問題數學化的經驗，數學問題進一步數學化的經驗；獲取數學研究對象的經驗，研究數學對象的經驗，拓展與重組認知結構的經驗，欣賞、繼承與發揚數學文化的經驗等。

三、指向數學核心素養的數學教學設計

指向數學核心素養的數學教學設計的基本思路是整理出基本知識和基本技能及其所蘊含的基本思想方法，把一些具有內在聯系的知識點關聯起來進行整體設計，基于知識的本質與學生的認知規律，考慮如何讓學習者參與到數學活動中，啟發學生獨立思考。

1.數學教學整體設計。“影響學習的唯一最重要的因素，就是學習者已經知道了什么。要探明這一點，并應據此進行教學。”[6]首先，分析學生的知識與技能水平、認知發展水平，確定本節內容學習的認知生長點。為促進學生深入思考、深度學習，需要對知識的本性有所認識。其次，需要深入研究教材，組織教學材料，把握數學知識的本質、知識之間的內在結構及邏輯關系，確定本節內容的邏輯生長點。再次，數學教學需要貫徹整體設計的理念。因為數學的任何一部分內容，幾乎都不能由一節課或一個知識點就把它的本質表述清楚，比如函數零點存在性定理。這里的整體可以是 “單元式”也可以是 “主題式”，相對完整地體現知識間的內在結構和邏輯關系，體現學習的認知規律，構建相對完善的認知結構，展示數學的思想方法以及數學的研究方法，從而把握數學的本質。最后，要吃透相關具體素材的實質和精神，才能更好地將隱性層面的價值觀資源在數學活動中顯性化。

2.數學教學情境與問題設計。要創設合適 （蘊含數學規律）的教學情境，提出合適 （體現數學本質）的問題。教學情境與問題的設計根基是數學內容的本質，其目的是啟發學生思考。

第一，明確思考的起點。根據所學知識各部分內容之間的邏輯順序弄清楚理解該內容需要從什么地方“想起”，由此確定思考的起點。思考起點具有多樣性，從不同的角度思考，思考的起點不同。思考起點具有個體性，認知水平與知識水平高的學習者，思考起點可以更高一些，更抽象一些。

第二，把握好思維展開的方向和思維過程實施的基本路徑。即根據內容的邏輯順序與認知順序，引導學生思維展開的方向，幫助他們確定思維過程的實施步驟，由此讓思維過程始終沿著正確的路徑展開。

函數零點存在性定理的教學，可以從函數零點的概念出發，提出函數零點的存在性問題；也可以根據函數零點與方程根的關系出發，設計求解無根式解的方程根的問題出發，提出方程根的存在問題轉化為函數零點存在性問題，激發認知沖突；還可以設計學生熟悉的、現實的情境——身高、溫度的連續不斷變化，啟發學生思考蘊含在其中的函數概念、連續概念。

3.數學內容理解設計。數學教學設計要有助于學生對數學內容的理解。對函數零點存在性定理的理解可分為工具性理解，即它為二分法求方程近似解提供理論依據；關系性理解，即定理是在方程的根、函數零點概念的基礎上提出來的，聯系了方程、函數與不等式，與二分法求方程近似解具有前后的邏輯關系；創造性理解，它是求解方程根的問題引發的，根據方程與函數的關系，轉化為函數零點的問題，是逼近思想在方程根問題上體現為二分法，進而創造出求方程近似解的其他方法，如拋物線法等。這個過程也反映了數學認知上的階段性、漸變性和突變性。

4.數學內容關節點設計。數學教學設計中要準確把握知識發展的關鍵點或關節點。如，函數零點存在性定理的教學設計中的關節點：（1）連續概念的感知。（2）連續概念的形象表達 （連續的函數曲線）。（3）閉區間上函數零點的探究。第一，（直觀）觀察分析有零點的函數圖像特征 （圖像是否穿過x軸），代數表達 （函數值的符號，與無零點的圖像特征作比較，歸結為區間端點函數值符號）；第二，觀察分析不同類型的有零點的圖像的共同特征，符號表達 （歸結為區間端點函數值乘積的符號）。（4）由具體到一般的抽象概括，即由溫度函數的零點問題拓展至一般函數零點問題，得出連續函數在閉區間上存在零點的充分條件。（5）直接應用，判斷給定區間上是否存在零點。（6）變式應用，深入反思。引導思考區間端點函數值乘積大于零時可能存在也可能不存在零點，得出定理的條件是充分不必要的。尋找存在零點的區間；改變閉區間，給出一個較大區間，判斷其上零點的個數，引出問題——要求一個閉區間零點唯一，問需要再增加什么條件。