無調性音高空間中的轉換模式
2018-02-24 16:46:24高暢
音樂探索 2018年1期
摘 要：對“無調性音高空間中的轉換模式”的研究，是在廣泛地對列文以及其他眾多理論家的相關研究成果進行譯解、思考、梳理和綜合歸納這一基礎上完成的。研究一方面完全忠實于列文的作為轉換理論的綱領性文獻GMIT中的理論闡述，對其中的與無調性空間相關的GIS模型及轉換方式進行了充分的解讀和高度的歸納，一方面又對其他理論家的最新相關研究成果進行梳理，對其中的極具典范意義的“K網”理論和“關聯轉換”理論從宗旨和技術等方面進行了闡述。
關鍵詞：無調性音高空間；轉換理論；GIS模型；音集轉換；K網；非音程轉換；關聯轉換
中圖分類號：J614 文獻標識碼：A
文章編號： 1004 - 2172（2018）01 - 0075 - 22
DOI：10.15929/j.cnki.1004 - 2172.2018.01.011
引 言
美國著名音樂理論家、評論家和作曲家大衛·列文（David Lewin，1933—2003）于20世紀80年代創立的轉換理論（transformational theory），是20世紀以來繼申克分析理論、音級集合理論之后的最為體系化的，影響也最為廣泛的音樂分析理論。[1]由于該理論針對每一部個性各異的音樂作品實體而言往往都具有獨特的觀察視角和強力的分析效能，因此其影響范圍已經從北美逐漸擴散到了世界更廣的范圍。
在我國的研究文獻中，直到21世紀才對該理論有所涉及。在涉及該領域的重要文獻中，甘芳萌的《大衛·勒溫“轉換網絡”理論研究》① 對該理論的形成背景和理論框架做了梳理，并從分析應用方面與其他理論進行了比較，《“轉換網絡理論”中的主題構成與發展路徑——以德彪西〈焰火〉為例》② 和《12音序列內部結構的多樣性及序列之間的發展邏輯——以達拉皮科拉〈獻給安娜莉貝拉的音樂札記〉為例》③ 則在解讀列文對這些作品所進行的分析的基礎上展示了“轉換網絡理論”的特征、構架和分析應用方法；楊月的《三音集合的轉換——對科恩文獻的解讀及引申研究》④ 通過對著名的新里曼理論家理查德·科恩（Richard Cohn）的部分文獻的解讀，詮釋了三音集合的轉換，并在此基礎上對多音集合的轉換作了探討；郭新的《自然音七和弦聲部進行的轉換——用新黎曼主義理論的觀點分析流行音樂中的和聲進行》{1}、鄭中的《轉換與抽象——新里曼主義音樂分析的理論與方法》{2}以及高暢的《新里曼理論三和弦轉換的基本模式及其擴展》{3} 和《三和弦的逆行倒影鏈和移位鏈操作及不同轉換模式的循環》{4} 則是對轉換理論之分支理論——新里曼理論中的相關主題進行研究的。概括而言，這些文獻中盡管有部分內容不同程度地涉及到了無調性音高空間中的轉換模式，但均沒有系統而深入地對該主題進行研究和闡述，因此本文以此為主題的研究無疑是非常必要的。
本文在此需要說明和明確的是，本文不擬也不可能在有限的篇幅內對轉換理論所包括的普通音程體系（GIS，generalized interval system）和轉換網（transformation network）體系進行系統的研究，本文的研究范圍僅限定于“無調性音高（及音級）空間”，研究內容則僅限定于無調性音高空間中的“轉換模式”。
對于第1個限定——“無調性音高空間”，從很大程度上來看是與勒達爾的“調性音高空間”相對應和相對立的，它是指十二平均律律制中由無調性功能（或無調性功能邏輯）的以半音距離來計數音程的音高和音級而組成的空間。也就是說，其組成元素是音高（或音級），而元素及其組成的空間的屬性或特征是無調性的。通常，具有象征性的音樂空間是通過具象的音程結構來體現的，而音程結構則由列文通過GIS將其模式化。因此，本文的無調性音高空間的音程結構模式，實際上是與列文在其經典著作《普通音程和轉換》{5} 的第2章“普通音程（1）：初步的例子和定義”所列“2.1.2 Example”（即第2類實例，半音音高領域）的GIS和“2.1.3 Example”（即第3類實例，12個音級組成的空間）的GIS相當的{6}。
對于第2個限定——無調性音高（及音級）空間中的“轉換模式”，也不囿于或不完全忠實于列文在GMIT（2007）一書中相關的純理論性論述，而是廣泛地聚焦于列文針對具體的音樂文本所作的經典分析文獻{7} 以及其他理論家對列文轉換理論的概括性和引申性研究所取得的前沿性成果，如“關聯轉換（contextual transformation）”{8} 和以克拉姆彭豪爾（Klumpenhouwer）命名的“K網”（即克拉姆彭豪爾網）{9}等。
一、GIS概述和無調性音高空間中的GIS模型
（一）GIS概述
本文所限定的無調性音高空間在前面已經作了簡要的說明。實際上，“空間（space）”一詞在音樂的想象和音樂理論的表述中有著廣泛的甚至是有些隨意的應用，比如莫里斯針對音高元素所定義的音高空間、輪廓空間和音級空間{1}，勒達爾針對調性屬性所定義的調性音高空間{2}，斯特勞斯針對集合族而使用的“集合族空間（set-class space）”{3} ，等等。
列文在GMIT中將音樂設想成一種空間形態，并將音樂空間中各音之間的運動從音程（即音之間的旅程）和運動態勢兩方面抽象出了GIS和轉換網體系。在GIS中，列文用下圖來表示象征性的音樂空間中的s和t兩個點，以及從s點到t點的音程i，見圖1。
音程的表示法[2]xxix
史蒂文·林斯（Steven Rings）則用帶標注的數學方式來概括地對GIS進行表述，見圖2。
數學表達式[3]
其中，s和t是集合的成員，也就是列文所稱的GIS的空間的元素，既可由音高構成，也可由音級、時間點、音色頻譜等組成。這里的音程i不僅僅是針對我們通常所理解的音高元素的，而是廣義而概括的。需要注意的是，（s， t）是有序對，意味著是從s到t，因此s和t兩個點之間的的音程也是有向的。如果從s到t的音程為i，那么從t到s的音程則為i-1（意思為i的倒轉或倒影），用數學方式則可表示為int（t，s）=int（s，t）-1。
按照列文的表述，GIS是一個有序的三元組（S，IVLS，int），其中S表示GIS的空間，是元素的聚合（family），IVLS為GIS的音程群（group），int是笛卡爾積S×S（即S與自身的笛卡爾積）映射到IVLS中的函數（function）[2]26。說得通俗一點，S是所有有序對的集合，IVLS是所有有序對之間的音程的集合，函數int則使每一有序對以一個音程元素傳遞到IVLS中。對于GIS及其音程的感知，列文常常提到直覺和感悟，因而對建立在音程基礎上的GIS的透析和表述法常常是多樣的。就這一點來看，勛伯格的無調性作品與貝多芬的調性作品是明顯不同的，即使是勛伯格的無調性作品中也是各不相同的。比如，列文在第3章“一般性音程（2）：組成特征”中曾經將2.1.2的“半音階（chromatic scale）”GIS表示為GIS1=（S1，IVLS1，int1）；將2.1.3的“十二音（twelve-tone）”GIS表示為GIS2=（S2，IVLS2，int2）{4} ；將2.1.3的“十二音（twelve-tone）”GIS[設為GIS1=（S1，IVLS1，int1）]與2.2.1的“時間點（time points）”GIS[設為GIS2=（S2，IVLS2，int2）]的直積構建為GIS3，即GIS3=GIS1？茚GIS2，等等。{5}
實際上，在GIS結構中，音樂元素的空間S和音程的IVLS群在含義上都與集合類似，它們無疑是GIS結構中的兩個最基本的組成部分，但是在很多音樂理論陳述和音樂文本分析中這兩者又常常是分離的和各自獨立的，int則僅僅起著將兩者連接起來的作用。
（二）無調性音高空間的GIS及其音程表述模式
盡管列文的GIS體系中對GIS模式的定義是非常數學化的，但從本質上來講又是開放的或可以靈活定義的，特別是在具體的音樂文本分析中更是如此。
就音高元素構成的空間而言，還可根據音高（音級）是否具有調性屬性或它們之間是否具有傾向關系而分為調性空間和無調性空間。對于本文所限定的“無調性音高空間”，還可以細分為狹義上的無調性音高空間和無調性音級空間。
1. 音高空間的GIS及其音程表述模式
此處所說的無調性音高空間是狹義的和有所特指的，也就是列文所定義的“半音音高領域”空間{1} 。從理論上來說，這種結構的GIS中的S之音高元素和IVLS中的音高音程元素是無限的，但是從人的聽覺范圍和應用范圍來看又是有限的。以鋼琴樂器為例，S的元素為88個（A2—c5），IVLS的元素值域則為{-87， …， 0， …， +87}。在這種GIS中，從音高s到音高t的距離（即音高音程）i為int（s，t），如int（c1，d2）=14，int（g1，e）=-15等。
在譜例1中，十二音序列的2個特型（I10和P8）的前5個音以卡農的形式按時間順序依次陳述。盡管如此，但每個音級都有特定的音區位置。也就是說，從無調性音高領域的GIS結構模型才能更進一步地透析其特征。即使在這樣同一種GIS結構模型中，音程感知和音程的透析方式也可能是多樣化的，圖3是以時間順序這一維度來對相繼發聲的音高之間的音高音程進行透析的，而圖4則是遵循作品中以卡農方式呈示的序列結構之兩種形態（此處未完整例舉）來對音高音程進行透析的。從圖4可以明顯看出，序列兩個特型的前5個音是以音高對稱的方式來呈現的，對應的音高音程為倒置（倒影）的關系，如（int（■g， a1））-1 = 13-1 = int（■b2， a1）。
2. 音級空間的GIS及其音程表述模式
此處所說的無調性音級空間，實際上也就是列文所定義的“12個音級組成的空間”{1}。在這種GIS中，由于等音和八度等同，因此S的元素只有12個音級{0，1， …， 11}，且由于音對之間只有順序關系，因此IVLS的元素也僅為12個，即{0，1， …， 11}（也等同于和可記寫為{0，-11， …， -1}）。在這種GIS中，從音級s到音級t的距離（即音級音程）i為int（s，t），如int（C，D）=2，int（D，C）=10等。
如果與譜例1對應來看，那么譜例2則是十二音序列R8的12個音級的完整呈示。在樂譜上用曲線箭頭標記的是無調性音級空間的GIS的有序音級音程，下方則附上了列文所作的GIS3的相關分析。列文針對該例構建的GIS模型為GIS3=GIS1？茚GIS2，其中GIS1是12個音級構成的，而GIS2則是由時間點（time point）組成的，因此GIS3中的成分S3是S1和S2的笛卡爾積，即S3=S1×S2，S3是S1中的音級p和S2中時間點s的有序對（p，s）的集合。[2]37-44
就該例的音樂構成來看，即使拋開本文不擬作更多涉及的節奏或時間要素之外，用12個音級的GIS模型及其音級音程透析法似乎更能反映出其特點來。非常明顯的是，“半音關系”的有序音級音程11及其倒影1無疑是該片段的旋律構成和伴奏音型的核心構建材料。
二、轉換網和轉換圖
如果說我們上面闡述的int（s，t）=i是GIS理論的最普遍的正式表述方式，那么轉換理論中關于轉換方式的最普遍的正式表述方式則為轉換網（transformational network）和轉換圖（transformational graph）。
構成轉換網和轉換圖的最基本要素是節點和箭頭，故也可以將這樣的轉換網和轉換圖簡稱為節點/箭頭體系（node/arrow system）。其中，節點由S的元素組成，箭頭及其附帶的標記則表示S的元素之間的不同轉換方式。節點既可以是一個音（音高或音級），也可以是和弦、音集或序列等。實際上，我們之前所例舉的圖3、圖4均為轉換網，只不過圖3的節點均為單個的音高，而圖4中直線（實線和虛線）單箭頭相連的節點為單個音高，曲線雙箭頭相連的節點I10和P8則為十二音序列。
轉換圖則是對同構的轉換網的抽象的概括。與具體的轉換網不同的是，轉換圖的節點是空的，實際上它可指代不同的元素。
對于譜例3所例舉的作品片斷，除了左手的持續音以外，我們在這里將觀察的焦點集中在右手的和弦及連接上。圖5.1是對和弦連接及其聲部進行概括而得到的轉換圖，圖5.2則是對和弦構成及聲部之間關系概括而得到的轉換圖，它們的節點都是空的。圖6.1顯示的是右手3個聲部進行的轉換網，其節點為單個的音級，圖6.2為右手和弦連接的轉換網，其節點為和弦（其他集合與此類似），圖6.3為右手各和弦構成的轉換網，其節點為單個的音級，圖6.4為3個聲部之間關系的轉換網，其節點為單個聲部（序列或有序的截斷與此類似）。很明顯，轉換網中的節點都是具體的。
圖5.1所示的轉換圖是圖6.1、圖6.2所示的轉換網的概括，圖5.2所示的轉換圖則是圖6.3、圖6.4所示的轉換網的概括。當然，也可以反過來理解為圖6.1、圖6.2是圖5.1的演繹，圖6.3、圖6.4是圖5.2的演繹。
圖5、圖6所列是主要以音程和移位的方式來標注的轉換圖和轉換網，通常也稱為音程/移位圖（intervallic/transpositional graph）和音程/移位網（intervallic/transpositional network）。這樣的轉換圖和轉換網在無調性音樂的分析中有著廣泛的應用，也是列文最為習慣使用的，是列文網（Lewin network， L-net）與后面將要涉及的克拉姆彭豪爾網（Klumpenhouwer network， K-net）的關鍵區別所在。當然，列文有時也使用倒影箭頭（inversional arrow）來替換音程/移位箭頭（intervallic/transpositional arrow）或與其交叉使用。
從本質上來說，轉換網或轉換圖僅僅是分析音樂文本時所使用的一種分析圖示而已。但是，由于轉換網和轉換圖是GIS理論和轉換理論中相關技術的最為基本和最普遍的表達方式，故而在轉換理論的闡述中以及相關的音樂分析中有著極為廣泛的應用，甚至在很大程度上也可看作是轉換理論本身所包含的一種技術。
三、音集的轉換
我們知道，在通用的集合理論中，集合的元素是無序的。而在列文構建的GIS體系和轉換理論中，列文對音的運動以及元素的有序性給予了特別的重視。也許是為了其理論的廣泛適應性，故列文在GMIT的第5章和第6章圍繞著通用的集合理論（generalized set theory）對相關的轉換關系或轉換類型進行了專門的闡述{1} 。
（一）典范等同和嵌入函數
對于同基數的集合，列文的典范等同（canonical equivalence）、典范等同集族（canonical equivalence-class）和典型群組（canonical group）在原理上是與艾倫·福特（Allen Forte）的移位和倒影等同（Tn / TnI equivalence）以及集合族（set class）相類似的；對于不同基數的集合，列文的嵌入函數（embedding function）與福特的包含關系在功能上又是相類似的。
對于以上這些集合關系或轉換方式，又往往能從音程函數（interval function）方面反映出來。但是，列文的音程函數是針對兩個互相映射的集合而言的，這與福特的單個集合的音程級含量或音程級向量又是不完全相同的。
1. 音程函數
在通用的轉換（generalized transformation）理論中，列文對音程概念以及保持音程的運動給予了特別的重視和關照，而音程函數又是其中的一個核心概念。
對于X和Y兩個集合，其音程函數可表示為IFUNC（X，Y）。如果s是X的成員，t是Y的成員，那么將兩個集合相互映射的不同有序對（s，t）的函數即int（s，t）=i統計出來，便為X/Y的函數值（value of the function）即IFUNC（X，Y）（i）。
以列文曾經分析過的韋伯恩《四首為小提琴與鋼琴而作的小曲》（Op.7）第3首的片段為例（見譜例4）。例中已經標記出了我們將重點觀察和分析的4個集合，第1個旋律樂句（鋼琴右手第3～5小節）陳述的集合為X：{■A-■B-■E}，第2個旋律樂句（鋼琴右手第6～8小節）陳述的集合為Y：{B-F-E-■C-■E-D-■F}，小提琴作為伴奏而反復出現的音型則陳述的是集合Z0：{A-D-■E-■A}和Z3：{C-F-■F-B}。本文在這里仍然沿用列文的集合標記，其中Z3是Z0的T3移位。{1}
譜例5.1為集合X和Y的音程函數（X/Y interval function）樂譜示例，樂譜中標記出了X的任何一個成員與Y的任何一個成員可能構成的有序音級音程；譜例5.2則列舉了Z0 / Z3的音程函數，樂譜中同樣全部列舉出了Z0的任何一個成員與Z3的任何一個成員可能構成的有序音級音程。
將譜例5中所有音程種類和數量對應地統計出來即可得到X / Y和Z0 / Z3的音程函數值，即IFUNC（X，Y）（i）和IFUNC（Z0 ， Z3）（i）。在IFUNC（X，Y）（i）中，IFUNC（X，Y）（3）=3和IFUNC（X，Y）（8）=3的數值是最大的，這意味著當X作T3和T8移位時可以完全包含于或嵌入于Y中，也可以理解為T3（X）或T8（X）是Y的具象子集；同理，X作其他音程的移位時則只有兩個音級或一個音級能夠保持。在IFUNC（Z0 ， Z3）（i）中，IFUNC（Z0 ， Z3）（3）和IFUNC（Z0 ， Z3）（9）的數值是最大的，均為4。這意味著Z0作T3和T9移位時與Z3是完全相同的，其余移位要么保持兩個共同音，要么所有音都是不同的。
2. 典范等同
對于集合X，其典范等同的形式可表示為X，列文特指的“典范等同（canonical equivalence）”常常僅指“移位等同”，也就是保持音程的操作（interval-preserving operation）。對于集合X，其典范等同集族（canonical equivalence-class）則表示為/X/，也就是指X的集合族（set class）或與X移位和倒影等同的所有成員。[2]104-105
在前面例舉的譜例4中，由于T3（Z0）=Z3和T9（Z0）=Z3或T3（Z3）=Z0和T9（Z3）=Z0，因此Z0和Z3是典范等同的。
列文將典型群組（canonical group）表示為CANON。在強調材料關聯度的無調性理論或集合理論中，CANON既可能指移位操作群組，那么對于集合如X：[C，E，G]而言，/X/即為X的移位群組，也就是只包括大三和弦；CANON也可指移位和倒影操作群組，那么/X/即為X的移位和倒影群組，也就是包括所有大三和弦和小三和弦。
3. 嵌入函數
對于X和Y兩個集合，Y中的X嵌入數（embedding number）表示為EMB（X，Y），也就是Y中所包含的/X/的成員的數量（也就是X的移位和倒影形式的數量）。[2]105-106如X為大三和弦，Y為大調音階，那么CANON僅包括移位操作時，則EMB（X，Y）=3，CANON包括移位操作和倒影操作時，則EMB（X，Y）=6。
再比如，設Z=[A，B，C，D]，那么該四音集合中的全部六個二音集合的嵌入數則如下：
EMB（sc2-1，Z）=1
EMB（sc2-2，Z）=2
EMB（sc2-3，Z）=2
EMB（sc2-4，Z）=0
EMB（sc2-5，Z）=1
EMB（sc2-6，Z）=0
在我們前面例舉的譜例4中，集合Y：{B-F-E-■C-■E-D-■F}中X：{■A-■B-■E}的嵌入數則為EMB（X，Y）=2。從集合的角度來理解，X的T3和T8共兩個移位形式實際上為Y的具象子集，這從圖7中列舉的X/Y的音程函數值IFUNC（X，Y）（i）中也很容易觀察到，因為IFUNC（X，Y）（3）=3和IFUNC（X，Y）（9）=3。
與福特的音程向量相比較，福特的音程向量在于表述單個集合的音程內含，而列文的音程函數在于表述兩個集合之間相互映射的不同元素對的音程內涵。
（二）注入函數
如果X和Y是空間S中的兩個有限子集，且f是使S映射自身的某種轉換，那么X通過f映射到Y的成員的數量即為X/Y通過f的注入函數（injection function），可表示為INJ（X，Y）（f）。[2]124這里的f轉換通常是針對楔形進行（wedged advance）或倒影對稱或而言的。
譜例6中標記的Z1～Z4的4個集合，楔形到E（wedging-to-E）的WE進行（見圖8.1）是基于該例音樂背景的且聚焦于“漸進的（progressive）”一種轉換，可概括和表示為：INJ（Zn， Zn+1）（WE）=2，其中n為1、2和3。具體地，INJ（Z1， Z2）（WE）=2，即Z1的C和■A兩個音分別楔形進行到Z2的■C和G；INJ（Z2， Z3）（WE）=2，即Z2的■C和G兩個音分別楔形進行到Z3的D和■F；INJ（Z3， Z4）（WE）=2，即Z3的D楔形進行到■E，Z3的■B楔形進行到Z4的■B（兩者在音區上是圍繞著E而對稱的）。
譜例6 勛伯格《空中花園篇》（Op.15），No.7，第14小節鋼琴伴奏{1}
如果從倒影（I）即一種單個集合“內在的（internal）”轉換來看（圖8.2），則可概括如下：INJ（Zn， Zn）（I）=2，其中n=1和2，也就是針對集合Z1和Z2而言的，即Z1的C和■A的兩個音互相倒影，Z2的■C和G兩個音互相倒影；INJ（Z3， Z3）（I）=3，即Z3的D和■F兩個音互相倒影，而■B一個音則自身倒影；INJ（Z4， Z4）（I）=1，即集合Z4中只有■B一個音自身倒影。
從本質上來講，注入函數INJ是在音程函數IFUNC和嵌入函數EMB基礎上衍生出來的，但與IFUNC和EMB相比，INJ顯得更為抽象一些。
四、K網模型及其關系
“K網（K-nets）”是克拉姆彭豪爾網（Klumpen-
houwer network）的簡稱，是大衛·列文（David Lewin）于20世紀90年代初以克拉姆彭豪爾的名字命名的{2} 。K網及其理論是在列文的集合轉換理論（或無調性轉換理論）基礎上發展起來的，K網理論還常常被看作是轉換理論的一個分支。
（一）集合的K網模型
“K網”模式可以從更深的層面來剖析一個集合內部的“分子結構”，進而可以透析各種不同集合之間的（轉換）關系。
“K網”模型作為表示集合內部結構的一種方式，實際上是將集合內的各音級之間以各種可能的操作映射方式（包括移位和倒影）表示出來。一個集合的K網表示法（即一個集合內部的不同操作映射方式）在數量上是非常多的，如三音集合有27種，四音集合有729種，五音集合有59049種，六音集合以及基數大于6的集合的內部構成方式從數量上來講就更加龐大了。[4]
盡管一個集合內部的分子結構方式是非常多樣的，但仍然可以對其進行必要的分類。我們以三音集合為例，其內部的操作映射方式可分為四類：只包含Tn箭頭的（相當于一般意義上的“L網”即“列文網”）；包含一個In箭頭和兩個Tn箭頭的；包含一個Tn箭頭和兩個In箭頭的；全部使用In箭頭的。
下面以勛伯格《鋼琴小品六首》（Op.19）第6首開頭的三音和弦[■F， A， B]為例，將其可能的4類K網模型列于圖9中，其中每一類僅例舉一個。
在圖9列舉的4類K網模型中，每一類僅例舉了一個模型。實際上，第1類有8個不同的模型，第2類有12個不同的模型，第3類有6個不同的模型，第4類則只有1個模型。我們以第3類為例，將其6個不同的模型列于圖10中。
（二）K網類組
在圖9例舉的4類K網模型中，由于第3類最為典型，因此下面以第3類為例，并將該圖表中所例舉的該類模型中的那個模型作為一個K網類組（K-class）{1} 來對待，來看看與其呈等值關系的該類組中的各成員情況，見圖11、圖12。
圖11是同一K網類組的各成員的k網模型圖（graph）{1}，對于該K網類組的任何成員都是適用的。從圖12可以看出，與集合[■F， A， B]的K網模型■相同的集合中，既有與其為同一集合族的成員，也有且更多的是其他不同集合族的成員。
（三）K網關系
1. 呈完全摹繪關系的K網
呈完全摹繪關系的k網實際上是同一K網類組的成員，其關系可表示為
在圖13中，高音部與中音部保持音程i4作半音下行（均作T11移位），低音部則反向作半音上行（T1移位或理解為T-11+0）。實際上，低音部與上方兩個聲部為倒影的關系。
從3個K網的關系來看，①到②時，除了對應的T箭頭及數值相同以外，兩個I箭頭及其數值也完全相同，因此我們可以說①以超移位
2. 呈不完全摹繪關系的K網
如果兩個K網中僅有部分T箭頭及其數值或I箭頭及其數值是相同的，那么它們就是不完全摹繪的。
作為集合來看待時，圖14中的和弦①與和弦②分屬于不同的集合族，和弦②與③則是同一集合族4-16（0157）的兩個成員，但它們是互為倒影關系的。在3個和弦的K網模型中，和弦②根據與其前后和弦的K網關系而構建了“K網②1”和“K網②2”兩個K網模型。
從摹繪關系的角度來看，K網①與K網②1、K網②2與K網③均為不完全摹繪的關系。和弦①的K網①到和弦②的K網②1時，對應的T箭頭及其數值是相同的，但對應的I箭頭的數值則是不同的，但對應的數值差均為2，因此K網①到K網②1為超移位
對于不完全摹繪關系的兩個K網而言，內含的摹繪程度或非摹繪程度的差異往往會很大。但無論如何，即使對應的箭頭及其數值中只有一個是相同的，或對應的箭頭及其數值中有一個是不同的，我們均將其劃歸為不完全的摹繪關系的。為此，我們再來看一個實例。
在圖15中，除了
3. 呈非摹繪關系的K網
如果兩個K網中所對應箭頭的數值都是不同的，那么它們便是非摹繪關系的。比如勛伯格《空中花園篇》（Op.15）第7首中結束時的最后兩個和弦，不管構建成哪種K網模型，兩者都為非摹繪的關系，見圖16。
在圖16中，除了K網①與K網②1、K網②2與K網③、K網③與K網④為不完全摹繪關系以外，最后兩個和弦的K網即K網④和K網⑤為非摹繪的關系，因為兩者中所對應箭頭的數值都是不同的。
對于像④和⑤這樣的為非摹繪關系的和弦，用K網的方式似乎不能直接地反映出它們之間的關系或關聯。究其原因，是因為從和弦的倒影對稱排列或聲部之間的倒影進行來看，和弦⑤中的音級■F“應該”是F，見譜例7。當然，和弦⑤中出現的畢竟是■F而不是F，這或許是勛伯格為了表現所“期望”的竟是那樣的無影無蹤，也或許是因為勛伯格更喜歡使用3-5（016）即“維也納三音和弦”而不是3-9（027）的緣故。
譜例7 和弦⑤中的■F從理論上來說“應該”為■F
五、音序的轉換
對于多個音的組合，如果有特定的順序或我們對其順序給予特別的關注時，我們則將其統稱為音序（音級序列或音高序列的簡稱）。對于音序的轉換，不管是列文還是其他理論家，也不管這些理論家是居于什么角度還是采用什么樣的表述方式，這種轉換的普遍特征都是在轉換時保持某些共同音。當然，在實際的表述中，保持的音級也常常用它們之間所保持的音程來替換而表示之，互為轉換關系的音序也常常從音級集合的角度而將其作為音集來對待。
（一）非音程的轉換
列文在GMIT的第8章專門論述了“非音程的轉換（non-intervallic transformation）”{1}。這樣的轉換是與“音程和移位轉換（intervallic/transpositional transformation）”{2} 相對應的，在觀察的角度和具體的轉換方式上也是不同的。非音程轉換的關注點是在音序之間的音級上，且轉換的方式也更多地聚焦在倒影（inversion）上。
列文在GMIT的第8章關于非音程轉換的論述中，除了調性轉換或“新里曼理論”的三和弦轉換外，更多地涉及到了無調性音樂的轉換或適用于分析無調性音樂的轉換。
1. RICH和TCH
RICH為倒影逆行鏈操作（RI-chaining operation）的縮寫。對于一個由音高或音級s1， s2 … sn構成的序列s，其倒影逆行鏈RICH（s）是s的倒影逆行，其中RICH（s）的前兩個音為sn-1和sn[2]180-181。也就是說，序列s的后兩個音在其倒影逆行鏈中變為了前兩個音。如勛伯格《夜》（《月迷皮埃羅》第8首）中開頭的三音動機為s=E-G-■E，那么RICH（s）=G-■E-■G，更多的RICH操作實例見譜例8。
TCH為移位鏈操作（T-chaining operation）的英文縮寫。實際上，對于任何一個序列，如果對其倒影逆行鏈再進行倒影逆行操作，那么結果則為該序列的移位形式，即RICH（RICH（s））=TCH（s）[2]181。再以s=E-G-■E為例，RICH（s）為G-■E-■G，RICH（RICH（s））則為■E-■G-D，故■E-■G-D為E-G-■E的T11移位。在實際的分析中，移位鏈操作常常用通用的集合理論中的Tn方式來標記，如T11（E-G-■E）=■E-■G-D，更多的TCH或Tn操作見譜例8。
2. BIND和MUCH
對于BIND（綁定）轉換，列文并沒有在GMIT的“非音程的轉換”一章中論述，而是在第九章才涉及到{1}，但由于它與本節所述的其他轉換方式有著密切的關聯，因此在此處一并將其進行列舉。BIND（綁定）轉換是指兩個RI等同（RI-equivalent）的且其首尾兩音保持不變的序列之間的轉換。再以音序E-G-■■E為例，其BIND為E-C-■E，兩者的首尾兩音（E和■E）保持不變，見譜例8。
MUCH（多音重疊轉換）是指兩個序列的成員最大可能地重疊的一種RI鏈（RI chaining）操作。列文是這樣定義的：對于音序s，其多音重疊轉換MUCH（s）的開頭與s的結尾構成最大可能的重疊[2]183-184，他以巴赫《二部創意曲》第1首的片斷為例對MUCH進行了說明，見譜例9。
圖18中的各種轉換中涉及到的倒影操作（I）均是在調性內的，如果從無調性的半音空間來看并不是嚴格的，但其原理同樣適用于無調性空間。例中，列文將MUCH在前和RICH在后的轉換標記為OP，將RICH在前和MUCH在后的轉換標記為OP′。
3. TFIRST和TLAST
TFIRST（首音程移位轉換）是指以音序的第一個音程作為移位音程而作的移位操作，TLAST（末音程移位轉換）則是指以音序的最末一個音程作為移位音程的移位操作。如果以音序的第一個音程的補體（補音程）作為移位音程而作的移位操作則標記為TFIRST-1，同理，如果以音序的最后一個音程的補體（補音程）作為移位音程而作的移位操作則標記為TLAST-1。[2]188-189
圖19中位于下方的一個音序（即譜例10的第2個音型）的最后一個音程為i3，以此為移位音程作T3移位，移位到位于中間的音序（即譜例10的第3個音型），故此為TLAST轉換。圖19位于上方的一個音序（即譜例10的第1個音型）的第一個音程為i4，以其補體i8作為移位音程作T8移位而移位到位于中間的那個音序，故此為TFIRST-1操作。
4. FLIPSTART和FLIPEND
在由3個音高或音級構成的音序的彈跳（flip）轉換中，FLIPSTART（首音彈跳）是指音序s1-s2-s3到a-s1-s3（其中a為s2圍繞著s1的倒影，即a=■（s2））的轉換，如音序E-F-■B的FLIPSTART轉換為■D-E-■B（譜例11a），FLIPEND（末音彈跳）是指音序s1到s1-s3-a（其中a為s2圍繞著s3的倒影，即a=■（s2））的轉換，如音序E-F-■B的FLIPEND轉換為E-■B-■E（譜例11b）。[2]189
在譜例11a中，音序E-F-■B到■D-E-■B為FLIPSTART轉換，其中■D為F圍繞著E倒影而得到的結果。在譜例11b中，音序E-F-■B到E-■B-■E為FLIPEND轉換，其中■E為F圍繞著■B的倒影結果。
（二）關聯轉換
“關聯轉換”來自于英語“contextual transformation”{1}，其原意為“上下文”或“前后關系”的轉換，主要是指依賴于特定的音樂文本背景（musical context）的，保持某些共同音（音高或音級）的音序之間的轉換。實際上，關聯轉換是菲利普·蘭伯特（Philip Lambert）等眾多理論家對列文的相關思想和相關理論而作的概括和發展，我們上面所述的列文的“非音程的轉換”往往都可以作為“關聯轉換”來對待。
同樣，我們還可以將關聯轉換概括地分為“關聯倒影（contextual inversion）”和關聯移位（contextual transposition）”兩種方式。
1. 關聯倒影
關聯倒影的原意為上下文關聯倒影（contextual inversion），它是指一個音序圍繞著它的一個或多個音進行倒影而變成另外一個音序的一種轉換方式。與一般的倒影操作（TnI方式或■ 模式）相比較，關聯倒影是在特定的上下文背景中的，通常是有共同音相關聯的。
在具體的音樂分析包括列文的相關分析（典型的如MFT中的4篇分析文章{1}）中，關聯倒影的不同方式往往可以根據特定的文本背景來靈活地進行界定和定義，并常常用J、K、L等英語字母來表示。下面以約瑟夫·N.斯特勞斯（Joseph N. Straus）對斯特拉文斯基《我為音樂而癡狂》（Music to hear）第一個段落的相關分析為例來對此作一個簡要的概述。{2}
譜例12中所標注的音序采用固定的標記法，如P11表示從音級11（即B）開始的原型，I8為從音級8（即■A）開始的倒影，等等。
圖20是斯特勞斯根據特定的音樂背景，針對第9～11小節中人聲陳述的音序P11：B-G-A-■B而定義的3種關聯倒影的方式，其中J是音序圍繞著其最后兩個音的翻轉，因此J關系音序末尾的二音集合或音對（dyad）是相同的，K是音序圍繞著其第一個音的翻轉，因此K關系音序的第一個音是相同的，L是音序圍繞著其第一和最后一個音的翻轉，因此L關系的音序首末兩音是互換位置的。
圖21匯集了斯特拉文斯基所使用的序列特型（另外增加了幾個）所構成的上下文關聯倒影空間。該倒影空間模型中的每一個節點都是一個特型，這些特型之間是通過上下文關聯倒影J、K和L相連接的。斯特拉文斯基有限制地使用這個空間中外圈的循環，并且沿著逆時針方向逐步操作。伴奏中的最后一個序列特型P8，完成了外圈的循環。因此，第21小節到達純五度的C～G而產生的終止效果得到了強化。
2. 關聯移位
從嚴格意義上講，關聯移位（contextual transposition）是指一個音序圍繞著它的一個或多個音進行移位而變成另外一個音序的一種轉換方式。我們之前所述的列文的非音程轉換中的移位鏈操作即TCH本質上也為關聯移位，如圖17中的E-G-■E和G-■B-■G之間等。不過，在實際的文本背景和具體的音樂分析中，關聯移位并不總是有共同音相關聯的，此時的關聯則主要是體現在音序的音程內含或音序結構方面。而且，不管是TCH操作還是關聯移位，在具體的分析中都常常用Tn這樣的通用集合理論中的表示方式來進行標記。
盡管列文的TCH是針對音序的，本節所述的關聯移位也主要是針對音序的，但是這些技術對于音集（無序的音級集合）也是適用的。對于某些作品（如“無主題”作品）的分析而言，則更是如此。而且，對于倒影對稱的音集而言，關聯倒影和關聯移位的結果還是相同的，因此在這種情況下采用倒影標記（如J/K/L等關聯倒影，或TnI和）■或移位標記（Tn）都是可行的，也都是恰當的。下面以斯特勞斯對韋伯恩《三首大提琴和鋼琴小曲》（Op.11）第1首所作的分析為例來對此作一個簡單的說明，為了節省篇幅，這里僅摘取其中的一個分析圖式，讀者可對照著樂譜進行理解。
在圖22的分析圖式中，空心音符表示大提琴所奏的音高，實心音符則表示鋼琴所奏的音高。第一小節中鋼琴以和弦方式呈現的其中最高的4個音[E，F，■G，A]，無疑是該作品的核心材料，在這里是以無序的方式呈現的，盡管每個音都有特定的音區位置。如果從集合的角度來看，它是集合族（0145）的一個成員。從圖22的分析圖式可以看出，該作品是從[E，F，■G，A]出發，通過J/K/L等倒影操作或移位操作依次轉換到與其等同的、同屬于集合族（0145）的其他成員（分析圖式中用括號標注的是作品中沒有出現但卻是理論上所暗含的音級），最終到達[（F）， ■F，A，■B]。
在斯特勞斯所定義的3種關聯倒影轉換方式中，J是圍繞著一對半音（1s）的翻轉，如集合{6}[■E，E，G， ■G]移動到集合{8}[B，C，■E，E]時是G-■G圍繞著■E-E這對半音翻轉到B-C而形成的結果，此時的J是與T-4（或T8）移位完全等同的；K是圍繞著相距四個半音（4s）的一對音的翻轉，如集合{7}[■G，A，C，■C]移動到集合{9}[A，■B，■C，D]時是■G-C圍繞著A-■C這對音翻轉到■B-D而形成的結果，此時的K是與T1移位完全相同的；L是圍繞著一個邊界音（boundary tone）即第一個音或最后一個音的翻轉，如集合{2}[■C，D，F，■F]移動到集合{4}[■F，G，■B，B]時是■C-D-F圍繞著■F音翻轉到G-■B-B而形成的結果，此時的L是與T5移位完全相同的。
該例的分析之所以更多地從無序音集的角度來著手，這取決于作品本身的結構特點，或者說是與作品本身的構成特征相適應的。透過該例的分析我們可以看到，作品中動機的轉換或主題材料之間的關系，無論是從有序的角度還是從無序的角度來觀察都是可行的。同樣，關聯倒影和關聯移位不僅是針對音序典范的轉換技術，對于無序的音級集合也是適用的。
結 語
轉換理論自20世紀80年代由列文創立以來，在西方學界特別是北美音樂理論界一直受到了持續的關注并得到了深入的研究，但在國內卻較少涉及，因此對該理論進行研究甚至是解讀對于國內業界來說無疑是必要的和迫切的。本文居于無調性領域轉換模式的研究，作為筆者之前的居于調性領域的“新里曼理論三和弦轉換的模式及其循環類型研究”{1} 的呼應篇，一方面是希望盡可能地將轉換理論以完整的面貌向國內業界推介以引起廣泛的關注和深入的研究，另一方面更是希望能夠對國內關于無調性音樂的研究增加更多的視角。
誠然，對于無調性音樂的分析和研究，音級集合理論是最為國內業界廣泛認知和廣泛普遍應用的一種分析理論。常被視為針對無調性音樂而“量身定做”的音級集合理論，自然在闡述音樂材料的抽象的關系時有其明顯的優勢，但是也往往由于不能直觀地反映出作品中具體的動機發展方式或和聲的運動形態而體現出一定的不足。盡管轉換理論并沒有完全與音級集合理論割裂開來，甚至轉換理論中廣泛采用了音級集合的表達方式，但轉換理論對于作品中動機或和聲的運動給予了足夠的重視，因此轉換理論無論是在作品中更為深層的、更為抽象的結構關系上還是在更為具體的、更加形態化的動機、和弦的構成及其運動上能夠更有效地進行表述。因此，對于無調性音樂的分析而言，轉換理論不僅在觀察視角和分析方法上對音級集合理論構成了不同程度的補充，而且在某種層面上還可看作是音級集合理論的一種提升或升華。從這層意義上來講，無調性音高空間中轉換模式的梳理和研究，不僅是必要的和迫切的，更是有待持續深入下去的。
本文所分類闡述的無調性音高空間中的轉換模式，不管是列文所定義的音級集合的轉換和序列的非音程轉換，還是其他理論家概括或引申出的K網模型和關聯轉換方式等，嚴格說來并不是互相割裂的和毫無關系的。這些轉換方式既有交叉的關系，也有些是互為因果的關系。另外，本文闡述的轉換對象也不是完全割裂開來的，比如音序的某些轉換方式是適用于音集的，而音集的某些轉換方式則是適用于音序的。總之，本文在論述過程中對無調性轉換模式的分類，從很大程度上來說僅僅是為了表述的方便和讀者的容易理解而已。
最后還需說明，本文所闡述的無調性音高空間中的轉換模式，無疑是對已有相關理論文獻和分析文獻中出現的、為業界普遍認可和廣泛應用的轉換方式的概括，但這遠遠不是無調性轉換方式的全部。無調性音樂中轉換方式的更深入的研究，還待人們繼續進行下去。
本篇責任編輯 張放
參考文獻：
[1]高暢.后調性音樂分析中三大理論的應用比較及一些思考——以勛伯格《鋼琴小品六首》（Op.19）之6的分析為例[J].音樂探索，2016（2）：109.
[2]David Lewin. Generalized Musical Intervals and Transformations[M]. Oxford：Oxford University Press， 2007.
[3]Steven Rings. Tonality and Transformation[M]. New York： Oxford University Press， 2011： 11.
[4]Shaugn ODonnell. Klumpenhouwer Networks， Isography， and the Molecular Metaphor[J]. Intégral， 1998 （12）：60.
[5]Philip Lambert.On Contextual Transformations[J]. Perspectives of New Music， 2000 （38/1）： 52.
收稿日期：2017-05-08
基金項目：2015年四川省社會科學研究“十二五”規劃課題“無調性音高空間中的轉換模式研究”（SC15B074）；2016年四川省教育廳重點科研項目“‘K-網在集合分析及聲部寫作中的效能研究”（16SA0129）。
作者簡介：高暢（1964— ），男，四川音樂學院作曲系教授（四川成都 610021）。
