數形結合思想在初中數學中解決最值問題的應用

杜 剛

（四川省廣元市利州區(qū)大東英才學校，四川 廣元）

我國著名數學家華羅庚說：“數形結合百般好，隔離分家萬事休?！痹跀祵W教學實踐中，將抽象的數學語言、數量關系與直觀形象的幾何圖形有機地結合起來，與具體的位置關系結合起來，使數學問題在認識和理解的實踐過程中，更加形象化和生動化，因而能夠有效地提高學生的學習效果。同時在具體的教學實踐過程中，通過數形結合的有效運用能夠使教學過程化繁雜抽象的學習實踐過程為簡單具體形象的生動認識體驗過程，在有效地調動學生認識和思維體驗的基礎上，有效地提高學生的學習效果。本文結合筆者的教學經驗，談談在具體的教學實踐中如何將最值問題與數形結合思想有機地結合起來，從而更加有利于提高學生的學習效果。

一、以數化形，數形結合，豐富認識

在具體的數學學習實踐中，有些數量關系比較抽象，通過簡單的數據分析和講解，學生在具體的認識實踐過程中很難形成對問題的有效理解和認識體驗過程，以數化形，將抽象的數量化為直觀明晰的“形”，學生通過視覺體驗的刺激帶動大腦思維的體驗認識過程，在頭腦中構建出形象具體的畫面感知過程，在有效的生活和知識經驗的基礎上，形成對數量關系形象的認識體驗過程，從而有效地提高學生的學習效果。

例如在“一次函數的增減性”問題的學習實踐中，一般一次函數y=kx+b（k≠0）的自變量x的取值范圍是全體實數，其所對應的直角坐標系圖象是一條直線，因而該問題不存在最大值或最小值的問題，但是在具體的數學學習實踐中，往往會將問題集中在圖象的某一個部分或某一小段，根據一次函數的性質來判斷其增減性，如例題“請分析下列函數的最值情況：y=2x+5（x≥3）

在具體的分析實踐中，我們若是通過單純地講解讓學生去理解y隨著x的增大而增大，很難使學生在具體的認識實踐中形成對問題形象生動的理解認識實踐過程，教師傳授式的教學過程給學生的學習帶來了很大的壓力，讓學生在學習實踐的過程中難以有效地調動自身的知識經驗，將思路集中到問題的思考體驗過程中去，因此學生的學習興趣難以得到有效的調動。這時候，我們以數化形，將單調、枯燥的數字化為生動形象的圖象分析過程，讓學生在形象化的認識體驗過程中，形成對圖象直觀性、具體性的認識實踐過程，在圖象的效果引導下，學生能夠自覺地感知到函數圖象的變化趨勢，y=2x+5，y隨著x的增大而增大，在題干中給出了x的取值范圍x≥3，因此，y的值隨著x的增大而無限增大，沒有最大值，但是x的最小值給出了定位，只要在圖象的基礎上稍加分析，就能夠使學生在學習實踐的過程中形成對問題的有效認識和理解過程，促使學生的學習效果得到有效提高。

二、以形換數，數形結合，豐富體驗

圖形具有直觀性、形象性等優(yōu)勢，但是光有圖形，沒有涉及定量，我們很難在具體的學習實踐中將問題有效解決。特別是較為復雜的“形”，我們在具體的教學實踐過程中不但要把圖形數字化，同時還要認真地分析題目中的隱含條件，挖掘題目背后的意義，使“形”能夠在具體的認識實踐過程中得到有效的展現。

例如，在學習“平面幾何中的最值問題”的實踐中，給出具體的圖示，一個半圓與矩形結合而成的窗戶，如果窗戶的長是8米，怎么才能得出最大面積，使窗戶的透光最好，根據圖形分析題意，使透光效果最好的做法就是使開口面積最大化，我們通過題干能夠找到相對應的數量關系2x+2y+πx=8，由此列出相應的函數式y(tǒng)=8-πx-2x

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，由關系式畫出相應的函數圖象，找到最大值，使學生在系統(tǒng)的數據分析實踐中形成對最值問題的有效理解過程。

三、數形結合，數形互變，強化體驗

在數學學習實踐中，利用數學圖象的直觀性、生動性等特點能夠有效地調動學生在學習體驗過程中的積極性和主動性，數字具有嚴密性和系統(tǒng)性，在具體的學習實踐中，我們利用數形結合，以數換形，數形互變，使學生的學習過程更具形象性，使學生在具體的學習實踐過程中更加注重對數形的有效分析和理解實踐的過程，因而能夠使學生學習數形的思維能力得到有效的發(fā)展和提升。

例如，在解答實數、代數、不等式、不等式組等純數類的知識實踐中，或者是在解答平面幾何、立體幾何等問題的實踐中，將兩者之間在具體的問題條件的基礎上，展開具體的圖形互變過程，能夠使學生在學習實踐中參與豐富的理解體驗的過程，使學生的學習效果得到有效的強化。

總之，在初中數學教學實踐中，利用數形結合思想，在解決函數問題、實數問題以及幾何問題等問題的學習實踐中將之有效地結合起來，能夠有效地調動學生的認識和思維體驗，激發(fā)學生的學習興趣，提高學生的問題分析能力，使學生在具體學習情境的帶動下，學習效果得到有效的提高。