數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中解決最值問題的應(yīng)用

杜 剛

（四川省廣元市利州區(qū)大東英才學(xué)校，四川 廣元）

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，將抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀形象的幾何圖形有機地結(jié)合起來，與具體的位置關(guān)系結(jié)合起來，使數(shù)學(xué)問題在認(rèn)識和理解的實踐過程中，更加形象化和生動化，因而能夠有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。同時在具體的教學(xué)實踐過程中，通過數(shù)形結(jié)合的有效運用能夠使教學(xué)過程化繁雜抽象的學(xué)習(xí)實踐過程為簡單具體形象的生動認(rèn)識體驗過程，在有效地調(diào)動學(xué)生認(rèn)識和思維體驗的基礎(chǔ)上，有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。本文結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗，談?wù)勗诰唧w的教學(xué)實踐中如何將最值問題與數(shù)形結(jié)合思想有機地結(jié)合起來，從而更加有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

一、以數(shù)化形，數(shù)形結(jié)合，豐富認(rèn)識

在具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐中，有些數(shù)量關(guān)系比較抽象，通過簡單的數(shù)據(jù)分析和講解，學(xué)生在具體的認(rèn)識實踐過程中很難形成對問題的有效理解和認(rèn)識體驗過程，以數(shù)化形，將抽象的數(shù)量化為直觀明晰的“形”，學(xué)生通過視覺體驗的刺激帶動大腦思維的體驗認(rèn)識過程，在頭腦中構(gòu)建出形象具體的畫面感知過程，在有效的生活和知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，形成對數(shù)量關(guān)系形象的認(rèn)識體驗過程，從而有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

例如在“一次函數(shù)的增減性”問題的學(xué)習(xí)實踐中，一般一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，其所對應(yīng)的直角坐標(biāo)系圖象是一條直線，因而該問題不存在最大值或最小值的問題，但是在具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐中，往往會將問題集中在圖象的某一個部分或某一小段，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)來判斷其增減性，如例題“請分析下列函數(shù)的最值情況：y=2x+5（x≥3）

在具體的分析實踐中，我們?nèi)羰峭ㄟ^單純地講解讓學(xué)生去理解y隨著x的增大而增大，很難使學(xué)生在具體的認(rèn)識實踐中形成對問題形象生動的理解認(rèn)識實踐過程，教師傳授式的教學(xué)過程給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了很大的壓力，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)實踐的過程中難以有效地調(diào)動自身的知識經(jīng)驗，將思路集中到問題的思考體驗過程中去，因此學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣難以得到有效的調(diào)動。這時候，我們以數(shù)化形，將單調(diào)、枯燥的數(shù)字化為生動形象的圖象分析過程，讓學(xué)生在形象化的認(rèn)識體驗過程中，形成對圖象直觀性、具體性的認(rèn)識實踐過程，在圖象的效果引導(dǎo)下，學(xué)生能夠自覺地感知到函數(shù)圖象的變化趨勢，y=2x+5，y隨著x的增大而增大，在題干中給出了x的取值范圍x≥3，因此，y的值隨著x的增大而無限增大，沒有最大值，但是x的最小值給出了定位，只要在圖象的基礎(chǔ)上稍加分析，就能夠使學(xué)生在學(xué)習(xí)實踐的過程中形成對問題的有效認(rèn)識和理解過程，促使學(xué)生的學(xué)習(xí)效果得到有效提高。

二、以形換數(shù)，數(shù)形結(jié)合，豐富體驗

圖形具有直觀性、形象性等優(yōu)勢，但是光有圖形，沒有涉及定量，我們很難在具體的學(xué)習(xí)實踐中將問題有效解決。特別是較為復(fù)雜的“形”，我們在具體的教學(xué)實踐過程中不但要把圖形數(shù)字化，同時還要認(rèn)真地分析題目中的隱含條件，挖掘題目背后的意義，使“形”能夠在具體的認(rèn)識實踐過程中得到有效的展現(xiàn)。

例如，在學(xué)習(xí)“平面幾何中的最值問題”的實踐中，給出具體的圖示，一個半圓與矩形結(jié)合而成的窗戶，如果窗戶的長是8米，怎么才能得出最大面積，使窗戶的透光最好，根據(jù)圖形分析題意，使透光效果最好的做法就是使開口面積最大化，我們通過題干能夠找到相對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系2x+2y+πx=8，由此列出相應(yīng)的函數(shù)式y(tǒng)=8-πx-2x

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，由關(guān)系式畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，找到最大值，使學(xué)生在系統(tǒng)的數(shù)據(jù)分析實踐中形成對最值問題的有效理解過程。

三、數(shù)形結(jié)合，數(shù)形互變，強化體驗

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐中，利用數(shù)學(xué)圖象的直觀性、生動性等特點能夠有效地調(diào)動學(xué)生在學(xué)習(xí)體驗過程中的積極性和主動性，數(shù)字具有嚴(yán)密性和系統(tǒng)性，在具體的學(xué)習(xí)實踐中，我們利用數(shù)形結(jié)合，以數(shù)換形，數(shù)形互變，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程更具形象性，使學(xué)生在具體的學(xué)習(xí)實踐過程中更加注重對數(shù)形的有效分析和理解實踐的過程，因而能夠使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)形的思維能力得到有效的發(fā)展和提升。

例如，在解答實數(shù)、代數(shù)、不等式、不等式組等純數(shù)類的知識實踐中，或者是在解答平面幾何、立體幾何等問題的實踐中，將兩者之間在具體的問題條件的基礎(chǔ)上，展開具體的圖形互變過程，能夠使學(xué)生在學(xué)習(xí)實踐中參與豐富的理解體驗的過程，使學(xué)生的學(xué)習(xí)效果得到有效的強化。

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，利用數(shù)形結(jié)合思想，在解決函數(shù)問題、實數(shù)問題以及幾何問題等問題的學(xué)習(xí)實踐中將之有效地結(jié)合起來，能夠有效地調(diào)動學(xué)生的認(rèn)識和思維體驗，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的問題分析能力，使學(xué)生在具體學(xué)習(xí)情境的帶動下，學(xué)習(xí)效果得到有效的提高。