不等式恒成立問(wèn)題的求解方法和誤區(qū)

徐 健（湖南省永州市江華縣第一中學(xué)，湖南 永州）

高中數(shù)學(xué)中的恒成立問(wèn)題，考查了學(xué)生學(xué)習(xí)的綜合解題能力，并培養(yǎng)和提升學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。而且近年來(lái)高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題也涉及恒成立問(wèn)題。在恒成立問(wèn)題的解題中，一般需要用到函數(shù)的單調(diào)性、不等式、方程、函數(shù)最值的求法等知識(shí)，一般所用到的充要條件如下：定理：設(shè)函數(shù)f（x）的最大值是M，最小值是m.（1）不等式f（x）≥k恒成立的充要條件是m≥k；（2）不等式f（x）≤k恒成立的充要條件是M≤k。通過(guò)這個(gè)定理可把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值的問(wèn)題。

一、反參為主的求解法

恒成立問(wèn)題通常是變量的取值范圍是已知的，求解出參數(shù)的取值范圍。與此同時(shí)還有一些比較特殊的問(wèn)題是參數(shù)的取值范圍已知，要求解出變量的取值范圍。實(shí)際上，這類(lèi)題型是一般題型的相反問(wèn)題，因而可進(jìn)行換位思考，將參數(shù)變?yōu)橹髟褑?wèn)題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的恒成立問(wèn)題，這樣即可通過(guò)一次函數(shù)的圖象解答出問(wèn)題的答案。因此，若恒成立問(wèn)題已有了參數(shù)范圍，通常將參數(shù)看作是主元，將主元當(dāng)作是已知數(shù)，具體也即是將原題看作是參數(shù)的函數(shù)，從而進(jìn)行函數(shù)的解答。

例1：對(duì)于滿(mǎn)足0≤p≤4的所有實(shí)數(shù)，求使不等式x2+px＞4x+p-3都成立的x的范圍。對(duì)于這道題，可作如下分析：題目中已有了參數(shù)的范圍，可將p看作是主元，得到一個(gè)有關(guān)字母p的一次函數(shù)。那么即可這樣解題：整理不等式得出（x-1）p+x2-4x+3＞0。令f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，要使不等式f（p）＞0在0≤p≤4時(shí)恒成立，則只要不等式組成立，解得 x＞3或 x＜-1。

綜上，對(duì)于部分含參不等式的恒成立問(wèn)題，在進(jìn)行參數(shù)分離的過(guò)程中，如果遇到一定的障礙，或者是在完成參數(shù)與變量的分離后但求最值遇到障礙時(shí)，可把變?cè)蛥?shù)進(jìn)行換位，然后通過(guò)與其他知識(shí)的融合滲透，從而解答出來(lái)。如，在以上的例題中把參數(shù)看作是主元，那么可引導(dǎo)學(xué)生在草稿紙上將一次函數(shù)的圖象畫(huà)出來(lái)，使一次函數(shù)在區(qū)間［0，4］恒大于0，觀察圖象要求必須滿(mǎn)足不等式組f（0）=x2-4x+3＞0，f（4）=x2-1＞0。

二、數(shù)形結(jié)合的求解法

數(shù)的本質(zhì)特征是形，而形的表述形式是數(shù)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)解題，可以達(dá)到事半功倍的效果。但由于圖形的呈現(xiàn)非常直觀，所以依然還是要通過(guò)數(shù)來(lái)完成精確的計(jì)算。

例2：若關(guān)于x的不等式x2-logax＜0在區(qū)間恒成立，求解出實(shí)數(shù)a的取值范圍。對(duì)于這道題，可引導(dǎo)學(xué)生作如下分析：因不等式的左邊不僅有二次式，而且還有對(duì)數(shù)式，所以分離參數(shù)時(shí)很難找到其突破口，那么經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)可將其轉(zhuǎn)換成不等式x2＜logax在區(qū)間上恒成立。那么此時(shí)可設(shè)f（x）=x2，g（x）=logax，那么此時(shí)則僅僅使得f（x）和g（x）在區(qū)間（的圖象上，并觀察a是什么值時(shí)，f（x）的圖象恒在g（x）的下方。這樣即可容易得出：0＜a＜1，且在區(qū)間上時(shí)，g（x）為減函數(shù)，所以從而解答出

三、求導(dǎo)數(shù)分析法

通過(guò)導(dǎo)數(shù)分析法來(lái)對(duì)恒成立問(wèn)題進(jìn)行求解，需通過(guò)使用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，探討函數(shù)的單調(diào)性。所以，在解答恒成立問(wèn)題時(shí)，通常需要將函數(shù)的導(dǎo)數(shù)先求出來(lái)，并對(duì)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行判斷，這樣才能確定函數(shù)在所給定區(qū)間的最值，并在指定區(qū)間上找到函數(shù)的變化趨勢(shì)，結(jié)合函數(shù)值的這種變化趨勢(shì)，再結(jié)合區(qū)間的端點(diǎn)值、函數(shù)的極值，對(duì)參數(shù)所滿(mǎn)足的不等式或不等式組予以確定，然后求解的過(guò)程中采用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想。

例3：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），如果曲線(xiàn)y=f（x）和曲線(xiàn) y=g（x）都過(guò)點(diǎn) P（0，2），同時(shí)在點(diǎn) P 處有相同的切線(xiàn) y=4x+2.求a、b、c、d的值。對(duì)于這道題，首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生明白此題的解題思路是進(jìn)行參數(shù)分離，接著通過(guò)導(dǎo)數(shù)采用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的區(qū)間最值。那么具體首先分離參數(shù)k，此時(shí)注意必須考慮極值點(diǎn)是否在定義域所在的區(qū)間上。

解：從題意已知，得f（0）=g（0）=2，f′（x）=g′（x）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=ex（cx+d+c），得出a=4，b=c=d=2。

綜上所述，通過(guò)上文對(duì)不等式恒成立問(wèn)題的幾種求解方法的介紹，可以總結(jié)出這些解題思路及方法有著很強(qiáng)的知識(shí)綜合性，要求學(xué)生必須思路保持靈活，而且意識(shí)到這些解題方法都可轉(zhuǎn)化為函數(shù)求出最值進(jìn)行解答，這實(shí)際上也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科最本質(zhì)的思想。