最近鄰移動模式下的Lanchester作戰動力學研究

崔怡望，田寶國，王 棟

(海軍航空工程學院 a.研究生管理大隊； b.基礎部， 山東 煙臺 264001)

Lanchester方程于1914年被提出[1]，是描述空戰的數學模型，國內外研究者在該模型基礎上進行了大量研究[2-4]，研究者普遍認為Lanchester作戰法則——線性律和平方律已經過時，不能用來解釋說明現代戰爭，原因在于現代戰爭的進程和結果很大程度上依賴于復雜的環境、士兵能力以及戰術策略等綜合因素，于是有些學者在原有常微分方程的基礎上進一步深入研究，引入了空間因素。Lauren等使用元胞自動機模型對Lanchester作戰的時空動力學[5-13]進行了研究，他們通過建立有分形特征的作戰方程解釋特定環境下作戰兵力采用分散式、游擊戰式或群集式策略的有效性。Ilachinski對早期的智能體作戰模型進行了研究[14-16]，隨著21世紀的到來，無人機、機器人以及網絡通訊技術、傳感器的迅速推廣和使用，智能體模型在經濟、社會、軍事等領域的研究呈爆發式發展[17-22]，并具有巨大的應用價值與發展前景。Protopopescu等人解決了軍隊通過戰斗空間的運動模擬問題[23-24]，將Lanchester常微分方程形式擴展到了偏微分方程形式，對部隊行進過程中的擴散效應和作戰雙方之間不同的相互作用等造成的影響進行了研究。后來Gonzalez、Spradlin、Keane等人用偏微分方程分別研究了作戰雙方在整個戰斗區域里的運動或者擴散效應以及更為復雜的時空演化動力學[25-32]，已成為Lanchester作戰模型研究的新發展方向。

已有研究中的Lanchester作戰模型都沒有考慮作戰個體的移動模式，為了能更好地解釋上述問題，本文運用隨機點陣模擬方法，研究了最近鄰移動模式下的Lanchester作戰時空動力學。

1 模型

首先建立模型，模擬環境為規模100×100的平面網格，采用周期邊界條件。二維平面網格上中的每一個位置由紅、藍雙方個體A、B占有，規定每一位置最多有一個個體，若某位置上沒有紅、藍個體，則用空位置φ表示。作戰雙方個體A、B以及空位置φ之間的關系如下：

(1)

(2)

式(1)、式(2)中：e為交換速率，表示雙方個體的宏觀流動性；μ為消滅增援速率，體現的是雙方個體的戰斗力與增援能力。為簡明起見，規定所有作戰個體的移動模式均為最近鄰移動模式，此模式指的是作戰個體每次僅能移動到與其最近鄰的空間位置，如在本文工作中，每個個體每次僅能移動到與其最近鄰的上、下、左、右4個空位置處；進一步假定所有作戰個體使用武器的平均有效殺傷范圍也是最近鄰模式，例如使用某種輕武器的步兵大致具有這兩個特點。

上述模型所描述的是平面網格上大量個體按照式(1)、式(2)發生相互作用的隨機過程，根據Durrett[33]、Reichenbach[34]等學者運用隨機模擬方法對平面網格上隨機的循環博弈過程等所進行的卓有成效研究，本文采用相同的隨機模擬方法進行Monte Carlo模擬，具體步驟為：首先隨機選擇某一個位置的個體，再從其上、下、左、右最近鄰4個位置處的個體中隨機選擇一個，隨之發生式(1)、式(2)所表示的相互作用。紅、藍個體間的相互作用行為如圖1 (a)～圖1(e)所示。

圖1 紅、藍方相互作用行為示意圖

2 隨機模擬

2.1 消滅增援率——交換率臨界曲線

在隨機點陣模擬過程中，紅方A、藍方B與空位置φ的初始分布比例大致為3∶3∶4，且為均勻隨機分布。消滅增援率μ和交換率e為可調參量。調整交換率和消滅增援率等參量，觀察紅、藍雙方的動態戰斗與斑圖演化過程。在隨機點陣模擬過程中，當模擬代數等于10 000時，若紅、藍雙方均存在，定義為穩定共存狀態；若紅、藍雙方中的其中一方被消滅，定義為非穩定共存狀態。

調整消滅增援速率μ、交換速率e的值，分別進行隨機模擬，通過模擬得到穩定共存與非穩定共存的臨界曲線，如圖2所示，兩臨界曲線及其中間所夾區域為紅、藍雙方非穩定共存的參量區域，其他參量區域對應于紅、藍雙方穩定共存狀態。

圖2 最近鄰移動模式下的消滅增援率——交換率臨界曲線

2.2 消滅增援速率自左向右呈梯度變化

圖3(a)～圖3(d)分別為消滅增援速率呈梯度變化時，隨機點陣模擬到5 000代、7 000代、9 000代、11 000代時的斑圖。

圖3 消滅增援速率呈梯度變化時的斑圖

然后，改變消滅增援速率為無梯度變化，其他條件保持不變，選取隨機模擬到相同代數下的斑圖與之進行對比。相同條件下，消滅增援速率無梯度變化時斑圖演化如下：

觀察圖3和圖4，對比消滅增援速率有無梯度變化時的斑圖演化過程，發現：交換速率等參數均相同的條件下，當消滅增援速率呈梯度變化情況時，二維網格中右邊位置的個體更容易消滅其左邊位置的個體，特別是在形成穩定的斑圖之后，觀察效果更加明顯，斑圖中呈現右邊斑塊逐漸吞蝕左邊斑塊的趨勢，即右邊斑塊呈逐漸向左擴散趨勢；而當消滅增援速率無梯度變化時，斑塊有擴散現象，但其擴散方向無明顯趨勢，沒有發現上述規律。

分析造成上述現象的原因：消滅增援速率呈梯度變化時，二維網格自左向右消滅增援速率逐漸增大，而消滅增援速率代表個體間戰斗力的強弱，當左、右兩個體相遇時，右邊個體戰斗力更強，更易消滅左邊個體，所以當形成穩定斑塊之后，右邊斑塊更易消滅左邊斑塊，相反，左邊斑塊更易被吞蝕，斑塊整體上呈向左擴散趨勢；而當消滅增援速率無梯度變化時，二維網格中每個位置上的消滅增援速率是相等的，即每個個體戰斗力相同，消滅對方的概率也相同，所以，當斑圖形成穩定斑塊之后，每個斑塊向上、下、左、右4個方向擴散的概率是均等的，擴散方向無明顯趨勢。

對應上述斑圖中參數，隨機點陣模擬每隔100代計算一次雙方密度，統計前50 000代內雙方密度，得到消滅增援速率有無梯度變化情況下的雙方密度時間序列曲線如圖5、圖6所示。

圖4 消滅增援速率無梯度變化時的斑圖

圖5 消滅增援速率呈梯度變化時密度時間曲線

圖6 消滅增援速率無梯度變化時密度時間曲線

觀察圖5和圖6，兩種情況下雙方均能保持穩定共存狀態，但穩定共存代數有差別，發現消滅增援速率呈梯度變化時，雙方穩定共存時間較短。為了排除實驗的隨機性，兩種情況對應參數下，各隨機模擬100次，記錄雙方穩定共存代數，并取平均值，得到結果：消滅增援速率無梯度變化情況下，當其值取最小基礎值μ=1，交換速率取e=0.000 1時，穩定共存代數為60 698代；當其值取其梯度變化過程中的最大值μ=2時，穩定共存代數為54 341代。而當消滅增援速率呈梯度變化時，穩定共存代數為73 766代。對結果進行分析，消滅增援速率呈梯度變化時反而影響了雙方個體間的相互作用，延長了雙方共存時間，呈梯度變化造成雙方穩定共存時間更長。

2.3 交換速率自左向右呈梯度變化

圖7(a)～圖7(d)分別是交換速率呈梯度變化時，隨機點陣模擬到24 010代、24 020代、24 030代、24 040代的斑圖。

圖7 交換速率呈梯度變化時的斑圖

然后，改變交換速率為無梯度變化，其他條件保持不變(μ=1、e=0.01)，選取隨機模擬到相同代數下的斑圖與之進行對比。相同條件下，交換速率無梯度變化時斑圖演化如下：

隨機模擬過程中，選取模擬代數間隔為10代，主要是考慮到交換速率對雙方個體的流動性影響較大，不同交換速率情況下，斑圖變化較快，如果模擬代數間隔較大，不易觀察到斑圖的細微變化，遂將隨機模擬代數間隔取為10代。觀察圖7和圖8，對比消滅增援速率有無梯度變化時的斑圖演化過程，發現：當交換速率呈梯度變化時，紅、藍作戰雙方發生相互作用并形成穩定斑塊之后，紅、藍交界處發生相互擴散現象，造成紅、藍斑塊交界處零散混亂，小斑點較多，斑塊邊緣模糊；而當交換速率無梯度變化時，穩定斑塊形成后，紅、藍邊界清晰、整齊，無斑點散亂現象出現。

圖8 交換速率無梯度變化時密度時間曲線

分析造成上述現象的原因：當交換速率呈梯度變化時，二維平面網格中，按照位置自左向右交換速率依次增大，造成的結果是右邊個體流動性較強，雖然斑塊內部個體發生移動對斑塊影響不明顯，斑塊內部觀察不到明顯變化，但是斑塊邊界處即紅藍斑塊交界處右邊紅方或者是藍方個體更易與左邊的空格發生交換，同理，右邊的空格也會與左邊紅方或藍方個體發生交換，從而導致雙方個體擴散到敵方斑塊當中，由于雙方個體消滅增援速率相同，各個位置上的消滅增援速率也相同，當斑點擴散到斑塊當中后，被周圍敵方消滅或者擴散侵蝕敵方個體形成較大斑塊，最終導致的結果就是紅藍斑塊邊界模糊，交界處斑點混亂；當交換速率無梯度變化時，二維網格中各個位置交換速率相同，邊界處界線明顯，無散亂斑點出現。

在隨機點陣模擬過程中，還發現：交換速率呈梯度變化時，基本上不能形成較大的穩定斑塊，即使形成，也會很快被敵方個體的擴散破壞，從而變為較為松散零碎的小斑塊，紅、藍雙方個體分布較為混亂。分析其原因：各個位置交換速率的不同造成對斑圖的整體流動性影響較大，從而造成斑圖不穩定，極易改變。

對應上面斑圖中的參量，隨機點陣模擬每隔100代計算一次雙方密度，統計前50 000代雙方密度，得到交換速率有無梯度變化情況下，雙方密度時間序列曲線如圖9、圖10所示。

圖9 交換速率呈梯度變化時密度時間曲線

圖10 交換速率無梯度變化時密度時間曲線

3 戰術組合

考慮到人為因素的影響，對最近鄰移動模式下，紅、藍雙方有戰術組合“二對一”，均無戰術組合以及僅一方有戰術組合“二對一”3種情況進行了研究。

3.1 紅、藍雙方均有戰術組合

紅、藍雙方均有戰術組合的情況：紅、藍雙方個體A、B和空格φ之間的關系如下：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

式(3)、式(4)是“一對一”的情況，紅、藍個體的消滅增援速率均為k1，交換速率為e；式(5)、式(6)、式(7)是兩個紅方個體對一個藍方個體的情況，藍方個體被消滅，且在原藍方個體位置增援一個紅方個體的速率為k2，兩個紅方個體中有一個個體被消滅，且在被消滅紅方個體位置增援一個藍方個體的速率為k3，兩個紅方個體均被消滅，且在被消滅位置上增援兩個藍方個體的速率為k4，同理，式(8)、式(9)、式(10)是兩個藍方個體對一個紅方個體的情況。

隨機點陣模擬過程中，對應各個參量值為：k1=e=1，k2=k5=2.2，k3=k6=0.4，k4=k7=0.2，模擬過程中選取如下斑圖進行觀察和分析。

圖11(a)和圖11(b)分別為雙方均有戰術組合情況下，隨機點陣模擬到10 500代、17 500代時所得斑圖，觀察整個斑圖演化過程，發現：斑圖中斑塊形成速度較快，當模擬到500代時已經形成了較為穩定的大斑塊，且紅、藍斑塊中間分界線清晰，無混亂小斑點，隨機點陣模擬到4 000代時，整個斑圖分為紅、藍兩個大斑塊，紅、藍雙方個體完全分離，整個模擬過程中，斑圖在形成穩定斑塊后，隨時間整體上變化較慢，藍方個體通過紅、藍斑塊的分界線緩慢向紅方斑塊擴散，造成藍方數量逐漸增加，紅方數量逐漸減小，藍方斑塊吞蝕紅方斑塊的過程中，紅、藍斑塊邊界明顯，無混亂小斑點出現。

圖11 雙方均有戰術組合時的斑圖

相同參數下，重復模擬多次，發現紅、藍勝負各半，斑圖演化過程規律相同，結論一致。模擬過程中統計前100 000代內雙方的密度，得到雙方密度時間序列曲線如圖12。

然后，保持k1、e、k3、k4、k6、k7的取值不變，增大k2、k5的值，依然保持k2=k5，調整k2=k5=3，單獨研究參數k2、k5對斑圖演化的影響，模擬過程中選取如下斑圖進行分析。

圖12中，(1)和(2)分別是當k2=k5=3時，隨機點陣模擬到4 000代、11 000代時所得的斑圖，斑圖中斑塊規模對應的是雙方數量，(3)和(4)代數間隔為7 000代，紅、藍斑塊大小變化大，而圖11中，(1)和(2)代數間隔同樣為7 000代，紅、藍斑塊大小變化并不明顯，雙方數量變化小，說明當穩定斑圖形成后，k2、k5的值越大，相同時間內斑圖中的斑塊變化越大，即雙方數量隨時間變化越快，從而造成雙方穩定共存時間越來越短。圖14對應上面斑圖參數下的雙方密度時間序列曲線，與圖12相比，明顯觀察到雙方穩定共存時間縮短。改變對應參數的取值，對多組不同參數情況進行相同操作，隨機模擬結果均與上述結論一致。

圖12 雙方均有戰術組合時的密度時間序列曲線

圖13 雙方均有戰術組合時的斑圖(k2=k5=3)

圖14 雙方均有戰術組合時的密度時間序列曲線(k2=k5=3)

調整參數，對不同參數下的各種情況進行隨機模擬，分別單獨研究了參數k3、k6和k4、k7對斑圖演化的影響，總結如下：保持k1、e、k2、k5的取值不變，分別單獨增大k3、k6和k4、k7的值，但依然保持k3=k6，k4=k7，發現k3、k6和k4、k7值的增大會改變斑圖中斑塊的形狀和規模大小，影響雙方穩定共存時間；其值越大，穩定共存時間越長。

3.2 紅、藍雙方均無戰術組合

為了與有戰術組合情況形成對比，令消滅增援速率為μ=1，交換速率為e=1，選取相同參數下無戰術組合時的斑圖如下：

圖15(a)和圖15(b)分別為雙方均無戰術組合情況下，隨機點陣模擬到500代、1 000代時所得斑圖，通過觀察斑圖演化過程，與有戰術組合情況相比：當模擬到500代時，雖然斑圖中斑塊已經形成，但極不穩定，隨時間變化大，間隔500代，當模擬到1 000代時，斑圖又變為另外一種情況，且紅、藍斑塊分界處小斑點較多，斑圖整體上較為混亂，且紅、藍雙方個體擴散方向不固定，向各個方向均有擴散，大斑塊中夾雜著敵方小斑點，與相同參數下的有戰術組合情況下的斑圖相比，整個斑圖中斑塊不集中；而有戰術組合時，整個斑圖分為紅、藍兩個大斑塊，紅、藍雙方個體完全分離，整個模擬過程中，斑圖在形成穩定斑塊后，隨時間整體上變化較慢，藍方個體通過紅、藍斑塊的分界線緩慢向紅方斑塊擴散，造成藍方數量逐漸增加，紅方數量逐漸減小。相同參數下，重復模擬多次，發現紅、藍勝負各半，斑圖演化過程規律相同，結論一致，雙方密度時間序列曲線如圖15、圖16。

圖15 雙方無戰術組合時的斑圖

觀察圖15和圖16，雙方個體有無戰術組合這兩種情況下，雙方均能保持穩定共存狀態，但穩定共存代數有所差異，對有無戰術組合兩種情況進行隨機模擬100次，得到結果：有戰術組合時，雙方穩定共存代數為46388代；無戰術組合時，穩定共存代數為41 387代。由此可見，相同條件下，戰術組合影響雙方相互作用時間，戰場上可以通過添加控制條件，改變戰術，從而得到對自己有利的結果。

圖16 雙方無戰術組合時的密度時間序列曲線

3.3 僅紅方有戰術組合

僅紅方有戰術組合情況下，紅、藍雙方個體A、B和空格φ之間的關系僅滿足式(3)、式(4)、式(5)、式(6)、式(7)，令參數k5=k6=k7=0，對應有戰術組合情況下的參數，其他參數保持不變，通過觀察模擬過程中的斑圖演化，發現雙方共存時間大約為100代左右，紅方很快就將藍方完全消滅了。具體選取如下斑圖進行分析。

圖17(a)和圖17(b)分別是僅紅方有戰術組合情況下，隨機點陣模擬到10代、20代時所得斑圖，觀察斑圖發現，紅、藍雙方數量變化速度快，僅僅間隔10代，紅方數量劇增，藍方數量劇減，直到藍方被完全消滅。對應上面斑圖中的參量，雙方密度時間序列曲線如圖18，圖18中清楚地觀察隨機點陣模擬到100代左右，藍方被全部消滅。隨機模擬100次，得到僅紅方有戰術組合情況下，k5=k6=k7=0，k2=2.2，k3=0.4，k4=0.2時，雙方共存代數為109代。

圖17 僅紅方有戰術組合時的斑圖

圖18 僅紅方有戰術組合時的密度時間序列曲線

選取多組不同的參數，對各種不同情況進行隨機點陣模擬，發現：當參數k5=k6=k7=0且保持不變的情況下，控制參數k2的值適當減小，k3和k4的值適當增大時，造成紅方消滅藍方的時間越長，相反，參數k2的值越大，控制k3和k4的值適當減小時，造成紅方消滅藍方的時間越短，但當參數k2的值小到一定的程度且k3和k4的值增大到一定程度后，原本“占絕對優勢”的紅方反而被無戰術組合的藍方消滅。

4 結論

本研究運用隨機點陣模擬方法，對最近鄰移動模式下的Lanchester作戰模型進行了研究，得到了穩定共存與非穩定共存的參量條件與臨界曲線，并研究了兩個重要參量有無梯度變化情況下的斑圖演化與雙方密度時間序列曲線。研究發現，消滅增援速率呈梯度變化時影響雙方個體間的相互作用，使得雙方穩定共存時間延長，而交換速率呈梯度變化時，使總體流動性增強，整體作戰效率提高，縮短了雙方共存時間，促進了戰斗進程。本文還研究了戰術組合對雙方作戰的動力學影響，斑圖演化過程中，雙方均有戰術組合情況下，雙方自組織性強，易形成穩定的大斑塊，相反，雙方沒有戰術組合時，雙方自組織性弱，斑圖中零碎小斑塊多，大斑塊少，僅一方有戰術組合時，有戰術組合的一方數量逐漸增多，最終獲勝。

由上述結果，可以看出本文所做的研究具有新意，為解釋實際作戰過程提供了新的理論基礎。

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