電基于零控脫靶量的大氣層外攔截彈最優中制導律研究

臧月進，李仁俊，安國琛

(1.上海機電工程研究所， 上海 201109; 2.上海航天技術研究院北京研發中心， 北京 100081)

大氣層外攔截,由于遠程變軌機動不可避免的誤差，造成攔截器的實際飛行狀態和理想飛行狀態之間存在很大誤差，很難直接進入末制導階段，因此在中段飛行需要引入制導過程[1]。中制導的作用是使攔截器在有限的時間內運行到中、末制導交班空域，使中制導結束后，目標處于攔截器導引頭的視場范圍內[2]，盡量減少燃料消耗，確保末制導順利進行。

大氣層外飛行的彈道導彈或衛星目標在地心引力場慣性飛行，其運動狀態可以精確預測[3,4]，因此攔截中制導的終端約束不需要使攔截器與目標之間的相對距離為零，而是以零控攔截流形為目的，攔截器在中制導發動機關機后，在無控狀態下擊中目標[5]，其優點是快速消除預測零控脫靶量。

預測制導方法需要實時預測脫靶時刻和零控脫靶量[6]，其精確值要用數值積分方法從當前制導時刻t0精確積分到脫靶時刻tf才能獲得，每個制導周期都需重復計算。在攔截器的GNC計算機沒有能力實時通過數值積分獲得高精度的脫靶時刻和零控脫靶量的情況下[7]，尋找高精度、快速的tf和ZEM預測方法是預測制導方法獲得實際應用的關鍵。

陸亞東等[2]利用預測命中點制導方式給出了發動機的定向策略，但計算量大不適合在線處理；胡正東等[5]基于預測制導方法獲得三維制導律，且指令解算快速但精度偏低。本文采用基于零控脫靶量尋求一種快速求解制導律的解析方式，并具備一定的精度。

1 零控脫靶量預測方法

對于大氣層外的非機動目標的攔截問題，可以忽略氣動力的影響，零控脫靶量可以表述為攔截器與目標在僅受引力場作用下被動飛行至脫靶時，兩飛行器之間的最小相對位置矢量[8]。

大氣層外攔截器與目標之間的被動段運動方程可以表示為[9]

(1)

式(1)中:rI表示攔截器地心位置矢量的模值；rT表示目標地心位置矢量的模值；μ表示地球引力常數。

目標與攔截器的相對運動方程可以表示為

(2)

式(2)右端表示兩飛行器之間的引力差，即

(3)

(4)

在兩飛行器之間的相對距離不是太大的情況下，可以假設RI≈RT，即假設被動飛行過程中兩飛行器受到相同的引力影響，即

ΔG(t)=GT(t)-GI(t)=0

(5)

(6)

式(6)中：R0為t0時刻目標相對于攔截器的相對位置矢量R0=R(t0)；V0為t0時刻目標相對于攔截器的相對速度矢量V0=V(t0)。

根據脫靶量的定義[10]，ZEM發生時刻應有

R(tf)·V(tf)=0

(7)

由此解出脫靶時刻和ZEM的預測值為

(8)

可看出零引力差模型預測脫靶時刻和零控脫靶量的計算公式是完全解析的。該零引力差模型雖然在開始階段精度不高，但隨著制導過程的進行，攔截器距目標越來越近，其模型準確度也隨之提高。

2 大氣層外攔截中制導律設計

大氣層外的被動飛行段，忽略氣動力對飛行軌跡的影響，在地心赤道慣性坐標系下目標與攔截器的運動方程為

(9)

式(9)中，aC示攔截器上的推力加速度。

假設在攔截過程中，兩飛行器受到的引力加速度近似相等，即GT(t)≈GI(t)，則目標與攔截器之間的相對運動方程表示為

(10)

設性能指標為

(11)

式中tbo表示發動機關機時刻。

把上式寫成狀態方程形式為

(12)

其中，

(13)

在攔截器發動機關機后的被動飛行階段，零引力差模型下

(14)

上兩式可寫成

X(tf)=P1X(tbo)

(15)

式(15)中：

經整理，中制導律設計問題可以表述為：對于線性系統，已知當前狀態X(to)，尋找控制量u(t)(t0≤t≤tb0)，使性能指標極小。

(16)

用龐特里雅金極小值原理求解，選取哈密爾頓函數為

(17)

協態方程為

(18)

控制方程為

(19)

終端條件表示為

(20)

把式(15)代入橫截方程公式中得到橫截條件為

(21)

可解得

(22)

式(22)中：

(23)

由式(19)解出最優控制為

(24)

代入到系統方程式(12)，得到

(25)

其解為

X(t)=Φx(t,t0)X(t0)-

(26)

令t=tbo，整理得到

Φx(tbo,t0)X(t0)

(27)

由式(27)解出X(tbo)，得到最優制導律u(t)?；喓蟮玫綌r截器制導推力加速度為

(28)

式(28)中，定義剩余關機時間tb和被動飛行時間為tδ

(29)

3 仿真算例

在軌道計算過程中，考慮地球非球形引力攝動J2項，其他攝動力暫不考慮。遠程軌道機動由Lambert算法規劃，由于導航誤差和推力器執行誤差，假設遠程變軌結束后的攔截彈和彈道導彈在J2000坐標系下初始位置和速度如表1所示。

表1 攔截彈和彈道導彈標稱初始軌道根數

根據以上初始條件，在不加制導律和增加本文制導律的情況下對比仿真如圖1所示。

圖1 無制導時彈目相對距離變化末端放大曲線

在不加中制導對遠程變軌誤差進行修正的情況下，產生的脫靶量約為18 km，圖1是彈目相對距離變化曲線的末端放大圖。

圖2和圖3分別為在J2000坐標系下的運動軌跡和攔截彈在 J2000坐標系下的相對位置分量。

圖2 兩飛行器在J2000坐標系下的運動軌跡

利用中制導對遠程變軌誤差進行修正的情況下，產生的脫靶量約為1 km，如圖4所示，可見中制導可以有效修正遠程變軌的誤差，保證中制導結束后目標處于攔截器導引頭的視場范圍。

圖3 攔截彈在 J2000坐標系下的相對位置分量

圖4 最優制導時彈目相對距離變化末端放大曲線

因此，基于預測零控脫靶量的最優制導方法具有很高的制導精度，能保證攔截器順利完成中、末制導交班。

針對本算例，分別采用文獻[5]的三維預測制導和本文最優中制導離線仿真，其脫靶量和燃料消耗對比如表2所示。

表2 制導策略對比

從表2可見，采用文獻[5]的解析預測制導方法，對應的零控脫靶量為5.4 km，明顯優于無制導情況下的脫靶量，但相比本文的最優制導精度差，且消耗燃料量略高于本文制導策略。

4 結論

本文基于預測零控脫靶量思想，提出了一種最優控制的中制導段制導方法。該制導方法對大氣層外攔截具有較高的制導精度，滿足了進入末制導段時的精度要求且具備在線計算的實時性，所設計的制導律有效。

[1] PAUL Z.Midcourse guidance strategies for exoatmospheric intercept[C]//Proceedings of AIAA/BMDO Interceptor Technology Conference.Colorado Springs,CO,1998.

[2] 陸亞東,楊明,王子才.基于預測零控脫靶量的攔截器中制導段導引[J].航天控制,2005(6):17-20.

[3] 劉世勇,吳瑞林,周伯昭.基于攔截點的大氣層外攔截彈中制導[J].航天控制,2005(2):54-58.

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[5] 楊洋.攔截彈中制導段性能分析[D].長沙：國防科學技術大學，2009.

[6] 鄭立偉.預測制導理論在飛行器再入與大氣層外攔截中的應用[D].哈爾濱：哈爾濱工業大學，2007.

[7] 胡正東,郭才發,蔡洪.天基對地打擊動能武器再入解析預測制導技術[J].宇航學報，2009(5):1039-1044.

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[9] NEWMAN B.Strategic intercept midcourse guidance using modified zero effort miss steering[J].Journal of Guidance,Control and Dynamics,1996,19(1):107-112.

[10] 吳啟星,劉世勇,張為華.大氣層外攔截彈末段修正能力分析[J].彈箭與制導學報,2007(4):178-184.