機器人機構方位特征集自動生成算法

葉梅燕 石志新 羅玉峰 楊廷力

(1.南昌大學機電工程學院， 南昌 330031； 2.南昌大學理學院， 南昌 330031； 3.中國金陵石化公司， 南京 210037)

0 引言

拓撲結構分析與綜合是機構學的核心問題之一。對于平面機構而言，其拓撲結構自動分析與綜合方法，國內外學者已作了大量研究[1-5]。然而，空間機構的拓撲結構分析與綜合方法大多局限于理論研究，主要采用手工枚舉方式，效率較低，而且難以得到完備結果。為減少相關技術人員的工作量，與現代計算機技術相結合，研究機器人拓撲結構自動分析與綜合理論和方法，并開發相應的計算機輔助設計軟件，是一項具有重要理論和應用價值的課題。

機器人拓撲結構分析與綜合主要存在如下3種方法：基于螺旋理論的方法[6-8]、基于位移子群的方法[9-10]、基于方位特征集的方法[11-16]。其中，位移子群方法由于運算規則過多(達107種)，不利于編程實現，目前尚無基于該理論的自動分析與綜合方法的文獻報道。曹文熬[17]基于螺旋理論研究了空間多環耦合機構的拓撲結構自動分析與綜合方法，但約束螺旋具有瞬時性，因此需要進行全周性(非瞬時性)判定[18]。廖明等[19-20]基于方位特征集理論研究了并聯機構的符號化描述，并提出了方位特征集的自動推導方法，但未能給出相應的算法流程。

本文擬將機器人機構學理論與現代計算機技術相結合，提出機器人拓撲結構的數字建模方法，然后基于該數字模型，研究方位特征集的有關運算規則，進而給出相應的自動生成算法和流程，最后結合具體實例對該方法的有效性進行驗證。

1 機器人拓撲結構的數字建模方法

對拓撲結構特征的數學描述(數字建模)是機器人拓撲結構自動分析與綜合程序化實現的前提和關鍵。理想的數字模型應具有下述優點：①能夠準確、完整表達機器人機構的拓撲結構特征。②便于計算機存儲、檢索、計算等操作。

1.1 機器人拓撲結構的數字描述

機器人機構的拓撲結構包括如下3要素：①運動副類型，如轉動副、移動副、圓柱副、球副、胡克鉸等。②尺度約束類型，即構件為其所連接的運動副軸線之間的相對位置和方向提供幾何約束類型，按方位關系可歸納為：平行、垂直、共點、共面以及其他等。③各支鏈在動靜平臺之間的方位配置關系。

下面給出上述拓撲結構3要素的描述方法以及它們在計算機中的數據存儲結構。

機器人機構的運動副類型較多，可采運動副等效替換的方法將它們簡化為只含轉動副和移動副2種。例如，球副等效為3個軸線匯交于1點的轉動副，胡克鉸等效為2個軸線垂直正交的轉動副，圓柱副等效為共軸的轉動副和移動副。因此，運動副類型可采用字符串(由R和P組成)的形式進行記錄。

尺度約束類型和各支鏈在動靜平臺之間的方位配置關系按如下規則進行記錄：若兩運動副軸線保持平行記為1；軸線垂直記為2；軸線相交記為3；軸線共面記為4；其他恒定關系記為5；若兩運動副軸線方位關系不恒定則記為6。

各運動副兩兩之間的方位關系用鄰接矩陣C來表示。各支鏈在靜、動平臺間的裝配關系分別用矩陣J1和J2表示。若多個(3個以上)運動副軸線保持恒定的關系，則用字符串做輔助說明。例如，多個運動副的軸線匯交于1點記為(R1, R2,…,Ri)=3; 多個運動副軸線平行于同一平面記為(R1, R2,…,Ri)=4。有關符號說明詳見例1。

拓撲結構3要素采用圖1所示的樹型數據結構表示，便于計算機存儲和操作。

圖1 并聯機構的樹模型Fig.1 Tree model of parallel mechanisms

如圖1所示，Pij和Rij表示并聯機器人的第i條支鏈上第j個運動副的類型；Ci表示第i條支鏈中運動副軸線的方位關系矩陣；Li中存儲第i條支鏈的方位特征集；J中存儲各支鏈在動靜平臺之間的方位配置關系；M中存儲動平臺的方位特征集。樹中的葉子作為并聯機器機構方位特征集自動生成算法的輸入，樹的根節點作為輸出，每一條支鏈是一個子樹。

圖2 并聯機構的結構簡圖(例1)Fig.2 Structure diagram of parallel mechanism(example 1)

1.2 拓撲結構數字模型實例

已知并聯機構(圖2)的4條支鏈結構均相同，各運動副軸線方位關系為：Ri1‖Ri2‖Ri3⊥Ri4且Ri4與Ri5共點，其中i=1,2,3,4。4條支鏈在靜平臺上的運動副軸線共面，4條支鏈在動平臺上的運動副軸線匯交于1點。

利用上述數字建模方法，該機構可描述為：①每條支鏈運動副類型為Ri1Ri2Ri3Ri4Ri5，且運動副兩兩之間的方位關系為

Ri1Ri2Ri3Ri4Ri5

②各支鏈在靜平臺裝配關系為

R11R21R31R41

(1)

且(R11,R21,R31,R41)=4。

③各支鏈在動平臺裝配關系為

R15R25R35R45

(2)

且(R14,R15,R24,R25,R34,R35,R44,R45)=3。

2 串聯機構的方位特征集

2.1 方位特征集的內涵

為了準確描述機器人執行構件的運動輸出特性，YANG等[12]首次提出方位特征集的概念，其表達式為

(3)

式中M——機構方位特征集r、t——轉動和移動S、T——轉動位移空間和移動位移空間p、q——對應位移空間的維數

位移空間為3維實向量空間的子空間,通常用它的一組生成基來表示，具體表示方法為：①由于1維位移空間是由1個向量生成，故其基向量可表示為{l}。②由于2維位移空間是由2個線性無關的向量生成的平面，故其基可由該平面的法向量n表示為{⊥n}。③由于0維位移空間(記為Φ)不存在有限位移，而3維位移空間的位移方向為任意，故無需記錄它們的基。

由式(3)可發現：分析方位特征集，本質上是確定位移空間的基的問題。

2.2 串聯機器人方位特征集自動生成算法

由于串聯機構是由若干個運動副依次串聯而成，因此串聯機構方位特征集是各運動副運動輸出空間的并集，即可表示為

(4)

式中Ms——串聯機構的方位特征集Mi——第i個運動副的輸出位移空間

值得注意的是：①移動副僅產生平移運動，因此它的運動輸出為沿其軸線方向的平移。②轉動副不僅能產生繞其軸線的運動，而且可衍生出垂直于軸線方向的平移運動，即其運動輸出具有二重性。可按如下規則選?。簝炏热⌒D運動作為運動輸出；若已有運動副產生了該方向旋轉，則取其衍生平移作為運動輸出。

現給出串聯機構方位特征集自動分析算法，其主要步驟如下：

(1)輸入。輸入運動副數目n，運動副類型(字符串)，運動副軸線方向關系矩陣C，并且將轉動空間和移動空間的基賦初值，即S=Φ，T=Φ。

(2)運動副輸出特性的選擇及位移空間的更新。①當第j運動副為移動副Pj時，判斷其滑軌方向向量Pj能否由移動位移空間的基線性表示。若否，則將Pj納入T，即T=T∪t1(‖Pj)，轉動位移空間不變，即S=S；若是，則移動副為冗余運動副，此時S和T均不變。②當第j運動副為轉動副Rj時，優先選擇繞其軸線的旋轉運動r1(‖Rj)作為輸出，判斷Rj能否由S的基線性表示。若否，則將Rj納入S，即S=S∪r1(‖Rj)，T保持不變；若是，則考慮衍生平移運動t1(⊥Rj)作為輸出，再判斷該衍生平移運動能否由T的基線性表示。若否，則更新T，即T=T∪t1(⊥Rj)，S保持不變；若是，則轉動副冗余，此時S和T均不變。

(3)循環。從j=1開始，重復(2)，直到j=n終止。

(4)結束。輸出S和T，得到M。

上述步驟中最關鍵的問題是，如何利用方位關系矩陣判斷運動副輸出向量能否由位移空間的基線性表示。各種情況下的判斷規則如表1～3所示，其中cij為關系矩陣C中第i行第j列對應的元素。

2.3 實例分析(例2)

已知串聯機構1(圖3a)的運動副軸線方位關系為：R1‖P2‖R3‖R4。利用上述算法，分析該機器人機構的方位特征集。

表1 轉動輸出對應的線性表示規則Tab.1 Rules of linear representation for rotation output

表2 移動輸出對應的線性表示規則Tab.2 Rules of linear representation for translation output

表3 轉動副衍生輸出對應的線性表示規則Tab.3 Rules of linear representation for derivative rotation output

圖3 3種串聯機構的結構簡圖Fig.3 Structure diagrams of three kinds of serial mechanisms

(1)輸入

運動副數目n=4；運動副類型為R1P2R3R4；方位關系矩陣C為

R1P2R3R4

且賦初值：S=Φ，T=Φ。

(2)方位特征集的更新

當j=1時，R1為轉動副，S的基為r0，故R1不能被S的基線性表示(表1)，因此S被更新為r1(‖R1)，T保持不變。

當j=2時，P2為移動副，T的基為t0，P2不能被T的基線性表示(表2)，故T被更新為t1(‖P2)，S保持不變。

當j=3時，R3為轉動副，S的基為{‖R1}，由于c13=1(即R1‖R3)，故R3能被S的基線性表示(表1)，因此S不變。再考慮運動副R3的衍生移動t1(⊥R3)，此時T的基為{‖P2}，該衍生移動必不能被T的基線性表示(表3)，故T被更新為t2(‖P2,⊥R3)，S保持不變。

當j=4時，R4為轉動副，S的基為{‖R1}，由于c14=1(即R1‖R4)，故R4能被S的基線性表示，因此S不變。再考慮R4的衍生移動t1(⊥R4)，此時T為(‖P2,⊥R3)，c23=1，c34=1，故不滿足表3中線性表示條件c34=1，c23=2，因此該衍生移動不能被T的基線性表示，故T更新為t3，S不變。

(3)結束

該機構方位特征集為

(5)

同理，圖3b和圖3c所示串聯機構的方位特征集分別為

(6)

(7)

3 并聯機構的方位特征集

3.1 并聯機構方位特征集自動生成算法

由于動平臺是在各支鏈共同作用下進行運動，因此并聯機器人機構的方位特征集Mpa是各支鏈方位特征集的交集，即可表示為

(8)

式中m——支鏈數目Mj——第j條支路末端構件的方位特征集Sj、Tj——支鏈方位特征集Mj中的轉動位移空間和移動位移空間

pj、qj——維數

由式(8)可發現：分析并聯機構方位特征集，本質上是尋找各支鏈位移空間中公共基的問題。

考慮到求交集運算滿足交換律和結合律，為了提高計算效率，特將式(8)按位移空間的維數進行分類求交，即

(9)

其中

式中Vi——i維位移空間的交集mi——組成并聯機構的m條支鏈中位移空間維數為i的支鏈數目

l——1維位移空間的基向量

n——2維位移空間基向量生成平面法向量

考慮mi的全部可能取值(共5種)，式(9)對應的求交集運算規則和結果如表4所示。

表4 位移空間求交集運算規則Tab.4 Operation rules of intersection of displacement spaces

注：①表中◇表示n1,n2,…,nm生成的平面。②表中的幾何條件可根據支鏈在動靜平臺間的配置關系查詢得到。③表中僅列出移動空間求交運算規則，轉動空間求交與其類似。

利用以上規則，根據支鏈在動靜平臺間的配置關系，可得并聯機構方位特征集自動生成算法，其主要步驟如下：

(1)輸入。輸入支鏈數目m，各支鏈方位特征集Mj(已由串聯機構方位特征集自動分析算法獲得)，各支鏈在動靜平臺間的配置關系矩陣J。

(2)分類。將m條支鏈的位移空間按維數進行分類。

(3)求交運算。根據mi的取值情況和裝配關系矩陣，利用求交運算規則(表4)得到位移空間。

(4)結束。輸出并聯機器人機構的方位特征集。

3.2 實例分析(例3)

利用上述算法，分析圖2所示并聯機器人機構的方位特征集。

(1)輸入

支鏈數目m=4，由式(6)可知4條支鏈的方位特征集為

各條支鏈在靜、動平臺間的方位配置關系分別為：J1(式(1))且(R11,R21,R31,R41)=4和J2(式(2))且(R14,R15,R24,R25,R34,R35,R44,R45)=3。

(2)分類

4條支鏈的轉動位移空間均為3維空間，因此m3=m；4條支鏈的移動位移空間均為2維空間，因此m2=m。

(3)求交運算

對于轉動空間而言，由于m3=m，由表1可知，轉動空間S=r3；對于移動空間而言，由于m2=m且(R11,R21,R31,R41)=4(即R11、R21、R31、R41共面)，由表4可知，移動空間T=t1(⊥◇)。

(4)結束

輸出并聯機器人機構的方位特征集

值得注意的是，若R11、R21、R31、R41相互平行，則該機構為三轉動二平移并聯機構；若R11、R21、R31、R41不共面，則該機構為三轉動零平移并聯機構。

利用上述算法，分析圖4所示并聯機器人機構的方位特征集。

圖4 并聯機構的結構簡圖(例4)Fig.4 Structure diagram of parallel mechanism

(1)輸入

支鏈數目m=4，由式(5)可知，4條支鏈的方位特征集為

各條支鏈在靜平臺間的方位配置關系為

R11R21R31R41

各條支鏈在動平臺間的方位配置關系為

R14R24R34R44

(2)分類

4條支鏈的轉動位移空間均為1維空間，因此m1=m；4條支鏈的移動位移空間均為3維空間，因此m3=m。

(3)求交運算

對轉動空間而言，由于m1=m且R11、R21、R31、R41相互平行(由J1可知)，由表1可知，轉動空間S=r1(‖R11)；對移動空間而言，由于m3=m，由表4可知，移動空間T=t3。

(4)結束

輸出并聯機器人機構的方位特征集

值得注意的是，若R11、R21、R31、R41不全部相互平行，則該機構為零轉動三平移并聯機構。

利用上述算法，分析并聯機器人機構(圖5)的方位特征集，可以發現：

(1)若P11與R21、R31、R41均垂直，則該機構為三

轉動一平移機構，且方位特征集為

(2)若P11與R21、R31、R41不都垂直，則該機構為三轉動零平移機構，且方位特征集為

圖5 并聯機構的結構簡圖(例5)Fig.5 Structure diagram of parallel mechanism

4 應用

值得注意的是，機構分析與綜合是可以互相滲透和轉換的。因此本文提出的數字建模和自動分析方法可應用于結構類型自動綜合。理論上，將拓撲結構3要素的各種排列組合情況進行窮舉，然后利用本文提出的數字建模方法和自動生成算法對其進行逐一分析，即可篩選出滿足預定功能要求的結構類型集，從而完成機構結構類型綜合。

5 結論

(1)提出的鄰接矩陣與字符串相結合的描述方法可以準確、完整地描述機器人的拓撲結構，且便于計算機存儲、檢索。

(2)分析串聯機構方位特征集，本質上是確定各運動副運動輸出生成的位移空間的基的問題；分析并聯機構方位特征集，本質上是尋找各支鏈位移空間中公共基的問題。

(3)在分析并聯機構方位特征集的過程中，將各條支鏈的位移空間按維數進行分類求交集，可大幅提高計算效率。

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