永磁變剛度機構柔性機器人力學特性研究

張 明 房立金 孫 鳳 孫興偉

(1.東北大學機械工程與自動化學院， 沈陽 110819； 2.東北大學機器人科學與工程學院， 沈陽 110819；3.沈陽工業大學機械工程學院， 沈陽 110870)

0 引言

柔性變剛度機器人是不同于傳統剛性機器人的一類剛度可調的柔性機器人，由于自身剛度可調，可以很大程度提高人機安全性和環境適應性，已經成為未來機器人發展的重要方向。

基于并聯繩索對抗驅動的變剛度柔性機器人，在驅動方式上與人類肌肉骨骼系統最為接近，大都通過在繩索上串聯非線性彈性部件的方式來改變剛度，此種布置的好處除了實現機器人的柔性外，可以將驅動單元和變剛度模塊后置，特別是在構建多自由度柔性機器人時，可以極大地減輕操作臂的質量與慣量，從而解決傳統串聯模式質量與慣量逐級遞增引起的剛度變化能力不足的缺點，因此并聯繩索驅動的柔性機器人變剛度能力主要取決于非線性彈性部件性能的好壞。設計一款體積小、質量輕、變剛度能力強的彈性部件對于解決新一代機器人的人機安全、提高動態特性和軌跡跟蹤等關鍵問題具有重要意義。文獻[1-4]對國內外變剛度彈性部件的研究進行了綜述，闡述了各類變剛度部件的結構、變剛度原理和應用場合；文獻[5-14]對變剛度部件的變剛度原理和應用場合進行了進一步的研究，并根據實際需要進行了改進與優化；但以上文獻中所涉及的變剛度彈性部件的變剛度能力與電動機輸出力矩直接相關，在電動機提供的有效拉力范圍內，剛度變化范圍往往較小。本文在分析一對同向磁極相對布置環形永磁體及氣隙磁導的基礎上，結合滑輪繩索結構特性，提出一種在有效拉力范圍內，實現較大的剛度調整范圍的機械裝置。結合稀土永磁體的工作特性，用虛位移法得出變剛度機構的軸向磁力和繩索拉力的解析數學模型并計算剛度，分析永磁體間磁力、繩索拉力及剛度與永磁體長度、平均半徑、三角形結構底邊長度、滑輪半徑的關系，并通過實驗方式對解析計算結果進行驗證。

1 結構與工作原理

柔性變剛度機器人肘關節結構如圖1所示。采用并聯結構，相同的2個電動機各控制1組變剛度單元，當電動機以某種速度關系反向旋轉時可以實現關節位置不變，剛度改變。當電動機以某種速度關系同向旋轉時，可以實現關節位置改變，剛度不變。

圖1 柔性變剛度機器人肘關節結構示意圖Fig.1 Illustration of flexible variable-stiffness robot elbow joint

變剛度裝置的結構如圖2所示。該結構主要由磁彈簧單元和滑輪繩索單元構成。一對環形永磁體同軸，同磁極相對布置，由于滑道的限制，可移動永磁體只能沿軸向滑動，構成一組磁彈簧單元。磁彈簧軸向磁力和剛度隨著氣隙間距的減小呈非線性增加。可以根據力和剛度的要求，布置多組，一組是實現此功能的最少組數?；喞K索單元由一個動滑輪、2個定滑輪和繞在期間的繩索組成，動滑輪與定滑輪間呈等腰三角形布置。當在繩索上施加一定力時，動滑輪帶動滑臺向上移動，永磁體間氣隙減小，夾角θ增加，繩索拉力增加，繩索剛度變化范圍也進一步增加。在繩索拉力一定的情況下，永磁彈簧的非線性和繩索單元的非線性的組合使剛度的變化范圍得以增加。通過改變磁彈簧單元和繩索單元結構參數，可以改變拉力和剛度曲線的變化范圍和斜率，進而更好地應用到具體工況中[15-20]。

圖2 變剛度裝置示意圖Fig.2 Illustrations of variable-stiffness mechanism1.定滑輪 2.動滑輪 3.動永磁體 4.滑道 5.定永磁體 6.固定基座

2 數學模型

該機構由1組結構參數相同的環形永磁體和滑輪繩索單元構成。首先建立一組永磁體間磁力模型(圖2b)，再建立繩索拉力和剛度的解析計算模型。

2.1 磁導計算

參照極間距g、半徑r的異性圓柱磁極之間的磁導公式可以得到內徑R1、外徑R2、長度L的環形永磁體磁極氣隙磁導Gg

(1)

其中

式中e——永磁體徑向間距z——軸向間距μ0——空氣磁導率

環形永磁體磁導可以表示為

(2)

式中μr——釹鐵硼永磁材料磁導率

根據極間距g、半徑r、長度L的圓柱體側面磁導公式Gc=4μ0L′r/(1+g),其中L′≤L/2，取L′=L/2，得到環形永磁體內外2個側面磁導Gc

(3)

根據圓柱形永磁體漏磁導公式可認為環形永磁體的漏磁導等于半徑為R1和R2的2個圓柱磁體漏磁的導和，環形永磁體的漏磁導GL為

(4)

雙環形永磁體構成的磁路系統總磁導Ga為

(5)

將式(1)～(4)代入式(5)可得

(6)

2.2 磁環間的磁通

根據磁通連續原理，對于永磁體和氣隙組成的磁路有

(7)

式中Kf——磁路漏磁系數Bm——永磁體工作點磁通密度Sm——永磁體中磁路截面積Bg——氣隙處磁通密度Sg——氣隙處磁路截面積Hm——永磁體工作點磁場強度Lm——磁化方向的有效長度Kr——磁路磁阻系數Hg——氣隙處磁場強度Lg——氣隙處磁路長度

NdFeB等永磁材料具有線性退磁曲線[5]。由式(7)得氣隙負載線方程為

(8)

(9)

式中Br——剩磁Hc——矯頑力α——氣隙負載線與(-H)軸夾角

將式(9)代入式(7)得到磁路總磁通Φg

(10)

2.3 磁力、拉力與剛度的數學模型

軸向磁導偏導為

(11)

其中

依電磁場理論，永磁環間氣隙磁能為W=Φ2/(2Gg),由虛位移法得到軸向磁力F為

(12)

(13)

式(13)為一組環形永磁體間軸向磁力的解析模型，可以發現，永磁環間磁力由永磁體結構參數和永磁間相對位置決定。

永磁體間磁力F與繩索拉力T關系可以表示為

2Tcos(π/2-α3)=F

(14)

(15)

式中r——三角結構底長d——三角結構高α3——繩索繞在動滑輪上角度的一半Z——環形永磁體間距

永磁體間軸向氣隙間距z與繞在動滑輪與定滑輪間繩索總長的一半s的關系可以表示為

(16)

其中

式中r′——滑輪半徑α5——繩索繞在定滑輪上的角度s2——動滑輪與定滑輪間公切線長

繩索剛度K可以表示為

(17)

式(13)、(15)、(17)為該變剛度機構永磁體間磁力、繩索拉力和剛度解析計算模型，為永磁體間氣隙間距z的復雜函數。通過改變變剛度機構的結構參數，可以進一步調整繩索拉力與剛度的變化。

3 變剛度機構參數特性分析

變剛度機構參數如表1所示。

表1 變剛度機構參數Tab.1 Parameters of variable-stiffness mechanism

根據式(13)、(15)、(17)以及表1中的參數，可以計算變剛度機構的磁力、繩索拉力與剛度，根據解析計算模型對磁力、拉力和剛度與變剛度機構的結構參數的關系進行分析。

將釹鐵硼N35H參數，以及表1中結構參數代入數學模型中，計算分析其力學和剛度特性。當軸向氣隙z從0.5 mm變化到14.5 mm，保持等腰三角形結構高不變，三角形結構底邊長r從16 mm變化到22 mm時，繩索拉力T的計算結果如圖3所示。由結果可知繩索拉力T隨著永磁體間軸向氣隙間距z的減小而增大，且呈非線性變化，剛度變化規律與繩索拉力變化規律基本一致。這是由于在拉動繩索的過程中，永磁體間氣隙減小，同級相對的環形永磁體間的氣隙磁阻隨軸向氣隙位移z減小而減小，磁場強度隨之增加，永磁體間磁力和剛度呈非線性增加，進而繩索拉力和剛度增加。繩索拉力T隨著等腰三角形結構底邊長r的增加而增加，這是由于三角形結構夾角θ隨著底邊長的增加而增加，永磁間磁力沒有發生變化，繩索拉力增加。在拉動繩索的過程中，夾角θ隨著永磁體間氣隙的減小而增加，從而進一步增加了繩索拉力與剛度的變化范圍。

圖3 拉力理論計算與實驗測量對比圖Fig.3 Comparison of theoretical calculation and experimental measurement

圖4 測量實驗臺照片Fig.4 Measurement test-bed photo1.z向單自由度微動平臺 2.鋁合金型材搭建的龍門框架 3.力傳感器(Load Cell CXZ-114型，精度0.01 N) 4.固定于力傳感器上環形永磁體 5.固定于x、y方向微動平臺上環形永磁體 6.x、y方向兩自由度微動平臺 7.力值顯示控制儀(XSB-I型)8.電渦流位移傳感器 9.凱夫拉繩索 10.力傳感器 11.滑輪繩索單元 12.磁彈簧單元 13.千分尺 14.大量程單自由度微動平臺 15.軸向滑動軸承 16.單自由度微動平臺

3.1 實驗臺搭建與實驗測量

永磁變剛度機構實驗臺如圖4所示，該機構由磁彈簧單元和滑輪繩索單元構成。一對環形永磁體同軸，同磁極相對布置，由于滑道和軸向滑動軸承的限制，可動環形永磁體在滑桿的帶動下只能做上下往復運動。繩索一端固定于力傳感器上，一端固定于大量程單自由度滑臺上，并穿過位于滑桿末端動滑輪和位于單自由度移動滑臺上的定滑輪，動滑輪與定滑輪呈等腰三角形布置。通過移動大量程單自由度移動滑臺拉動繩索，進而帶動動滑輪、滑桿和可動環形永磁體向上移動。通過左右對稱布置的單自由度微動平臺調整三角滑輪繩索結構的底邊長r。通過千分尺調整三角滑輪繩索結構的高d。電渦流位移傳感器檢測氣隙位移的改變量。在拉動繩索的過程中，力值顯示控制儀讀出繩索的拉力值。

永磁體間軸向氣隙間距z從14.5 mm減小到0.5 mm，保持三角形結構高d不變，底邊長r從16 mm增加到22 mm的過程中，繩索拉力的變化趨勢如圖3所示，其中半透明曲面為理論計算值，不透明曲面為實驗測量值。從圖中可以看出，理論計算與實驗測量的繩索拉力變化趨勢保持一致，但是理論計算值高于實驗測量值，平均誤差在6.76%以內，其原因在于數學模型沒有考慮其他部分磁阻對磁路的影響，而實際情況永磁體間漏磁較嚴重，測試系統存在摩擦等。

3.2 永磁體間磁力與結構參數間關系

永磁體磁力測量平臺如圖4a所示，將一組參數相同的環形永磁體，同軸心、同級相對布置，分別固定于力傳感器的測量頭上和x、y方向兩自由度微動平臺的鋁制凸臺上。通過x、y方向兩自由度微動平臺和z向單自由度微動平臺，可以對磁環間相對位置進行調整，并讀出軸向氣隙間距z，從力傳感器顯示儀讀出軸向磁力F。

圖5為環形永磁體的軸向磁力與軸向氣隙間距關系的理論計算與實驗測量對比。軸向氣隙間距z從11.5 mm減小到1 mm的過程中，軸向磁力F隨永磁體間軸向氣隙間距z的減小，呈先平緩增加然后急劇增加的非線性變化趨勢。理論計算與仿真結果的平均誤差為1.6 N以內。其原因在于數學模型中沒有考慮其他部分磁阻對磁路影響，以及實際情況永磁體間漏磁較嚴重等。

圖6為環形永磁體軸向磁力與永磁體長度關系。保持環形永磁體軸向氣隙間距z為3 mm，永磁體長度L從2 mm變化到9 mm過程中，軸向磁力F隨永磁體軸向長度L的增加呈拋物線趨勢先急劇增加，然后緩慢增加的趨勢，這是由于隨著永磁體長度的增加，退磁效應減弱引起的。

圖5 軸向磁力與軸向氣隙間距關系Fig.5 Relationship curve of axial magnetic force and axial air-gap

圖6 軸向磁力與永磁體長度關系Fig.6 Relationship curve of axial magnetic force and magnet annular length

圖7 軸向磁力與永磁體平均半徑關系Fig.7 Relationship curve of axial magnetic force and magnetic annular coverage radius

圖7為環形永磁體軸向磁力與永磁體平均半徑關系。保持環形永磁體軸向位移z為3 mm和(R1-R2)為6 mm不變，永磁體平均半徑R(R=(R1+R2)/2)，軸向磁力F隨永磁體平均半徑的增加近似呈正比例線性規律增加。

通過實驗測量與理論計算對比分析，發現該理論計算模型可以較直觀地表達軸向磁力與永磁體參數的關系，進而表達永磁體參數對繩索拉力的影響。該模型是代數模型，計算簡單且滿足工程要求，具有較好的理論意義與工程應用價值。

3.3 剛度變化范圍增加機理分析

永磁變剛度彈簧的工作范圍是動滑輪上升高度不超過定滑輪的位置(z≤d)。當動滑輪上升高度超過定滑輪的位置(d

本文提出的永磁變剛度機構，采用磁彈簧單元與滑輪繩索單元組合。一對同軸同磁極相對布置環形永磁體間氣隙減小時，永磁體間斥力呈非線性增加，剛度系數增加。同時在拉動繩索的過程中，繩索拉力方向與永磁間斥力方向夾角θ隨著永磁體間氣隙的減小而增加，繩索上的拉力會進一步增加，剛度變化范圍也會進一步增加，實現較大剛度調整范圍。

將變剛度機構參數代入計算模型，保持三角形結構底r為22 mm、高d為16 mm不變，環形永磁體軸向氣隙改變量Z-z從0.5 mm變化為14.5 mm的過程中，軸向磁力、繩索拉力和剛度如圖8和圖9所示?？梢钥闯隼K索拉力和剛度相對永磁體間磁力和剛度變化范圍都有所增加。改變滑輪半徑，滑輪半徑3 mm和4.5 mm分別代入計算模型?；啺霃綖?.5 mm的繩索拉力比永磁體磁力增加了5.67%，繩索剛度變化范圍比永磁體剛度變化范圍增加了22.08%；滑輪半徑為3 mm的繩索拉力比永磁體磁力增加了47.39%，剛度變化范圍比永磁體剛度變化范圍增加了74.46%。繩索的剛度變化范圍增加要比繩索拉力增加大得多，可以在不增加電動機力矩的同時實現更大的剛度調整范圍。

圖8 拉力變化關系對比曲線Fig.8 Changing curves of force and axial air-gap

4 結論

(1)提出了一種柔性機器人用永磁變剛度機構，在繩索拉力一定的前提下，增加了剛度的調整范圍。

圖9 剛度變化關系對比曲線Fig.9 Changing curves of axial stiffness and axial air-gap

(2)利用虛位移法建立繩索拉力與剛度的解析數學模型。進行了理論計算與實驗測量，計算和測量結果基本吻合，結果表明：繩索拉力隨著永磁體軸向氣隙間距減小而增加，繩索拉力和剛度隨著永磁體長度和平均半徑的增大而增加；保持等腰三角形結構高不變，底邊長增加，也可以增加繩索拉力與剛度；減小滑輪半徑可以進一步增加剛度變化范圍。

(3)永磁變剛度彈簧的工作范圍是動滑輪上升高度不超過定滑輪的位置(z≤d)，在電動機力矩滿足要求情況下，也可以采用d

(4)永磁變剛度彈簧的非線性剛度特性，可調拉力和剛度范圍特性，非常適合仿生柔性機器人的動力傳輸部件。其非接觸和變剛度的特性也非常適用于高速及超潔凈等工業應用領域。

1 李淵, 余躍慶. 并聯機器人中柔順關節代替傳統關節可行性分析[J/OL].農業機械學報, 2016, 47(4): 343-348. http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?file_no=20160445&flag=1.DOI: 10.6041/j.issn.1000-1298.2016.04.045. LI Yuan, YU Yueqing. Feasibility analysis of compliant joints insteaded of traditional joints in parallel robot[J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2016, 47(4): 343-348.(in Chinese)

2 王顏, 房立金. 機械式仿骨骼肌肉變剛度機構原理及設計[J]. 機器人, 2015,37(4): 507-511. WANG Yan, FANG Lijin. Principle and design of mechanically musculoskeletal variable-stiffness mechanism[J]. Robot, 2015, 37(4): 507-511.(in Chinese)

3 王偉, 劉立冬, 魏來,等. 柔性齒條式變剛度關節驅動器設計與研究[J].機械工程學報, 2016, 52(1): 26-32. WANG Wei, LIU Lidong, WEI Lai, et al. Design and research of rack-based variable stiffness actuator[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2016, 52(1): 26-32. (in Chinese)

4 AMIR J, NIKOS G T, DARWIN G C. A novel intrinsically energy efficient actuator with adjustable stiffness[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 2013, 18(1): 355-365.

5 OSADA M, ITO N, NAKANISHI Y, et al. Realization of flexible motion by musculoskeletal humanoid “Kojiro” with add-on nonlinear spring units[C]∥IEEE/RAS International Conference on Humanoid Robots, 2010: 174-179.

6 NAKANISHI Y, ITO N, SHIRAI T, et al. Design of powerful and flexible musculoskeletal arm by using nonlinear spring unit and electromagnetic clutch opening mechanism[C]∥IEEE/RAS International Conference on Humanoid Robots, 2011: 377-382.

7 FRIEDL W, CHALON M, REINECKE J, et, al. Fas a flexible antag-onistic spring element for a high performance over actuated hang[C]∥IEEE/RAS International Conference on Robots and Systems, 2011: 1366-1372.

8 OSADA M, ITO N, NAKANISHI Y, et al. Stiffness readout in musculo-skeletal humanoid robot by using rotary potentiometer[C]∥IEEE Sensors Conference, 2010:2329-2333.

9 KUN X Q, PEI Z, WEI M R, et al. Novel magnetic spring and magnetic bearing[J]. IEEE Transactions on Magnetics,2003,39(1):559-561.

10 WILL R, BEN C, ANTHONY Z. A multipole array magnetic spring[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2005,41(10):3826-3828.

11 SUN Feng, ZHANG Ming, JIN Junjie, et al. Mechanical analysis of a three-degree of same-stiffness permanent magnetic spring [J]. International Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics, 2016,52:667-675.

12 高海波, 鄧宗全, 胡明,等. 行星輪式月球車移動系統的關鍵技術[J].機械工程學報, 2005,41(12): 156-161. GAO Haibo, DENG Zongquan, HU Ming, et al. Key technology of moving system of lunar rover with planetary wheel[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2005, 41(12): 156-161. (in Chinese)

13 張云鵬, 劉淑琴, 李紅偉,等. 基于磁路分析的軸向混合磁軸承徑向承載力解析計算[J].電工技術學報, 2012, 27(5): 137-142. ZHANG Yunpeng, LIU Shuqin, LI Hongwei, et al. Calculation of radial electromagnetic force of axial hybrid magnetic bearing based on magnetic circuit analysis[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2012, 27(5): 137-142. (in Chinese)

14 余躍慶,崔忠煒,趙鑫,等. 柔順關節并聯機器人設計與實驗[J/OL]. 農業機械學報, 2013, 44(7): 274-278. http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?file_no=20130747&flag=1. DOI: 10.6041/j.issn.1000-1298. 2013.07.047. YU Yueqing, CUI Zhongwei, ZHAO Xin, et al. Design and experiment of parallel robot with compliant joints[J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2013, 44(7): 274-278. (in Chinese)

15 孫鳳, 張明, 孫興偉,等. 三自由度等剛度永磁彈簧的力學特性研究[J].中國機械工程, 2015, 26(8): 1005-1009. SUN Feng, ZHANG Ming, SUN Xingwei, et al. Study on mechanics characteristics of 3-DOF same-stiffness permanent magnetic spring[J]. China Mechanical Engineering, 2015, 26(8): 1005-1009. (in Chinese)

16 陳偉海, 陳競圓, 崔翔,等. 繩驅動擬人臂機器人的剛度分析和優化[J].華中科技大學學報, 2013, 41(2): 12-16. CHEN Weihai, CHEN Jingyuan, CUI Xiang, et al. Stiffness analysis and optimization of a novel cabledriven anthropomorphic-arm manipulator[J]. Huazhong University of Science and Technology, 2013, 41(2): 12-16. (in Chinese)

17 楊紅, 趙韓. 稀土永磁彈簧的力學特性研究 [J]. 農業機械學報, 2003, 34(1): 111-117. YANG Hong, ZHAO Han. Study on dynamic characters of rare earth permanent magnetic spring[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2003, 34(1): 111-117. (in Chinese)

18 田錄林, 李言, 王山石, 等. 雙筒永磁向心軸承磁力工程化解析算法研究[J]. 中國電機工程學報, 2007, 27(6): 57-61. TIAN Lulin, LI Yan, WANG Shanshi, et al. Research on magnetism engineering analytical calculation method for bi-barrel-shaped radial permanent magnetic bearings[J]. Proceedings of the CSEE, 2007, 27(6): 57-61. (in Chinese)

19 孫立軍, 張濤, 趙兵. 永磁磁軸承數學模型的研究[J].機械工程學報, 2005, 41(4): 69-74. SUN Lijun, ZHANG Tao, ZHAO Bing. Study of mathematical model of permanent magnet bearings[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2005, 41(4): 69-74. (in Chinese)

20 田錄林, 李言,安源,等. 軸向放置軸向磁化的雙環永磁軸承徑向磁力研究[J].中國機械工程, 2007, 18(24): 2926-2929. TIAN Lulin, LI Yan, An Yuan, et al. Research on the radial magnetic force of axial placement and axial magnetization bi-annular-shaped PMB[J]. China Mechanical Engineering, 2007,18(24): 2926-2929. (in Chinese)