談畢達哥拉斯學派“數”理音樂思想

管菲菲

摘 要：畢達哥拉斯是古希臘時期著名的哲學家、數學家和音樂理論家，以他的思想為中心形成了“畢達哥拉斯學派”。在音樂方面，畢達哥拉斯學派認為“音樂是數字，而宇宙是音樂”，這種關于“音樂與數學”的觀點一直影響著西方音樂的發展。本文將對畢達哥拉斯學派重要人物的“數”理音樂思想進行介紹，再結合現代音樂作品簡析“數”理音樂思想對音樂發展的影響。

關鍵詞：畢達哥拉斯學派 數學與音樂 數學比率

早在古希臘時期就有人提出了“數學”音樂思想，這個思想一直影響著西方音樂的發展。無論是在音樂理論方面還是在音樂創作方面，數學與音樂都有著千絲萬縷的聯系。

一、畢達哥拉斯學派重要代表人物的音樂思想

畢達哥拉斯、菲洛勞斯、阿契塔和柏拉圖都是畢達哥拉斯學派的重要代表人物，他們提出“數學與音樂”的觀點為西方音樂的發展做出巨大貢獻。筆者認為，要想了解畢達哥拉斯學派的音樂思想，應首先了解以下幾位代表人物的音樂觀點。

1.畢達哥拉斯

畢達哥拉斯不僅是古希臘時期著名的哲學家，他還是西方音樂史上第一位音樂理論家。畢達哥拉斯認為萬物的本源是“數”，用數學的原則可以推演一切事物。在音樂方面，他把“數”與音樂聯系在一起，提出“數”是音樂的根源，即“音樂是數字”。這種觀點是從“數學”的角度對音樂進行思考和研究，使音樂具有了理性的意識，從而開闊音樂領域的視野。畢達哥拉斯在音樂中滲透了“數學”邏輯的精準理念，把音樂和科學聯系在一起，超出了音樂感性的審美體驗。從畢達格拉斯提出“數學與音樂”的觀點開始，西方音樂史上就沒有停止過關于“數學與音樂”的研究。

2.菲洛勞斯

菲洛勞斯是古希臘時期的哲學家、天文學家、數學家和音樂家。《自然》是菲洛勞斯最具代表性的作品，也是畢達哥拉斯學派現存的第一本書。菲洛勞斯在《自然》中提到“世界上一切的事物都有數字，沒有數字的事物是不可以理解的。” 在音樂理論方面，他用數學的方法描述了三個協和音程的關系。如果一根長度為2X的琴弦和一根長度為X的琴弦同時發聲，產生的音響是八度，用數學比率表示為2：1；以此方法推出數學比率為3：2的音響是五度；數學比率為4：3的音響是四度。菲洛勞斯在這三個協和音程的基礎上計算出全音的比率是9：8，余數的比率是256：243。

菲洛勞斯認為音階是有限性和無限性的協和體，無限的、不同音高的音和有限的方式進行結合需要用一個適當的組合形式，而這個適當的組合形式就是“數學比率”。他提出在任何一個音上構成的八度都是由一個四度和一個五度構成，因此可以推算出這個音階由兩個不相同的四音列構成，音與音之間的關系可用數學比率表述為：9：8，9：8，256：243，9：8，9：8，9：8，256：243，這就是著名的古希臘自然音階。

3.阿契塔

阿契塔是畢達哥拉斯學派的代表人物，他是古希臘時期著名的科學家、音樂家和政治家。阿契塔在數學和音樂理論方面都具有突出的成就，他在數學理論的基礎上論證了音程劃分比率（n+1）：n是不能被劃分成兩個均等的部分。如比率關系為2：1的八度可看作（1+1）：1，因此八度不能被劃分成兩個均等的部分；以此推算四度和五度也不能被分成兩個均等部分。而十五度的比率是4：1，因此十五度可以平均劃分成兩個均等的八度。

阿契塔創造了9：8，8：7，28：27比率關系的四音列結構，通過實踐他還進一步研究出等音音階和半音音階。阿契塔在前輩研究成果的基礎上對“數學與音樂”進行深入的探究， 更加表明了“數學與音樂”具有密不可分的聯系。

4.柏拉圖

柏拉圖是畢達哥拉斯學派的重要人物，他有很多具有重要意義的音樂觀點。在尼可麥丘？譹？訛《音樂手冊》的第八章和第九章中講述了“1 2 4 8和1 3 9 27是柏拉圖提出對音樂理論研究具有重要意義的兩組數字序列。”如果把這兩組數字序列合并則變成1 2 3 4 8 9 27，它們可以有規律地表示出音程的比率，即八度（2：1）、五度（3：2）、四度（4：3）、全音（9：8）、1+2+3+4+8+9=27。雖然這兩組數字序列在現代音樂發展中沒有被廣泛應用，但是在古希臘時期這已經是超前的音樂思想。從柏拉圖提出的這兩組數學序列可以證明音樂和“數學”是有聯系的，這種有規律可循的“數學與音樂”思想一直影響著西方音樂理論的發展。

雖然在古希臘時期這種關于“數學與音樂”的思想還不夠成熟，但是已經受到音樂家的關注，影響到音樂家的思維。西方音樂創作技術的四大件和聲、復調、曲式和配器都是通過長時間的研究、整理和總結得出的具有理性依據的理論體系。數學使音樂創作成為建立在理性基礎上的感性產物，它潛移默化地影響了西方音樂創作的研究方向，這對西方音樂的發展的起到至關重要的作用。

二、畢達哥拉斯學派提出的“數”理音樂思想在音樂中的體現

畢達哥拉斯學派提出“音樂是數字，而宇宙是音樂”的觀點，啟發后人對“音樂與社會科學”進行探究。20世紀著名的音樂理論家保羅.欣德米特認為“數的和諧是音樂美的表現”，在音高、泛音比例、節奏等方面都體現了音樂需要“數”的和諧。數學與音樂的結合已經成為當代作曲家研究、創作的熱門課題。以下兩點是“數”理音樂思想在音樂中運用的典型實例。

1.“黃金比例”在音樂中的運用

“黃金比例”是一種具有美感、和諧的非對稱平衡結構關系，它的分割點被稱為“黃金分割點”。“黃金分割點”是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，其比值是無理數，約為0.618。

音樂作品是以聲音為基本材料在時間中展開的藝術形式，作品結構高潮的布局要與人們最自然的情緒發展規律相吻合，它需要聲音的高低、長短、強弱等要素在數量關系上的和諧統一。通過分析一些經典音樂作品會發現音樂高潮部分一般出現在全曲的四分之三處，而這個四分之三處比較接近“黃金分割點”。

例1是著名的《義勇軍進行曲》，全曲共31小節。這首作品的高潮是17—21小節那三聲振奮人心、催人向前的“起來”。19小節是17-21小節的中心點，而19/31約為0.613，這個恰好同“黃金分割點”相吻合。用“黃金比例”對音樂結構進行布局使音樂具有理智的控制力，能更好地與人類自然情感相融合。“黃金比例”不僅體現在音樂結構上，在音樂的速度變化、強弱變化等方面都可以用“黃金比例”進行劃分。

2.“數字序列”在音樂中的運用

“數字序列”是指在滿足一定條件下，對字母、數字、圖片進行排序的手法。

無調性音樂是20世紀音樂創作的典型手法，可分為無序列音樂和序列音樂。無調性音樂不是毫無規律、隨意創作的，它是具有組織性、邏輯性的創作手法。20世紀的無調性音樂是西方音樂發展的成果，它的產生離不開古希臘羅馬時期畢達哥拉斯學派“數”理音樂思想的影響。無調性音樂充分利用數學邏輯思維，使音樂在脫離了調性的同時，仍具有獨特的整體性。無調性音樂一般是通過某種新動機循環使用行成一種確定的整體，而這個動機在無調性音樂中有個新詞匯-音級集合。音級集合是用數字序列表達音與音之間關系的音樂創作技術，在脫離調性的基礎上把音樂高度統一起來。本文主要是通過對音級集合的分析證明“數學和音樂”之間具有一定的聯系，例2是一組典型的音級集合。

音級集合是以半音為一個單位，例2最佳常態次序的第一個音C看做0，第二個音#C與第一個音相差一個半音所以記作1，第三個音D與第一個音C相差兩個半音記作2，第四個音G與第一個音C相差7個半音記作7。例2中P是指音級集合的原型，而將音級集合原型的音按照數學排列法可排列出24種。P加數字是指與音級集合原型相差幾個半音的摸進，一個音級集合原型可以摸進11次。例如P8就是音級集合原型上方8個半音的摸進，即：C-降A，#C-A，D-降B，G-降E。音級集合原型還可以通過倒影、逆行等手法進行發展變化。以此排序法可以排列出很多不同的音級集合，本文只取典型的音級集合進行講述。

所有經典的音樂都不是憑借一時的感性隨意創作，而是經過嚴密的邏輯思考才能創作。如巴伯的《夜曲》和朱踐耳的《第一交響曲》都是通過嚴密的數學序列得出音級集合，把音級集合做為音樂細胞進行發展創作，這樣就可以把音樂統一在一個整體。音級集合是比較典型的音樂與數學的結合，它運用數學序列排列出音列，使音樂的創作在表達情感的同時也不失理性。數學作為音樂創作的根源離不開時代的發展，更離不開歷史沉淀的文化基礎。古希臘時期的音樂理論發展還很抽象、不夠具體，考證資料收集難，但是畢達哥拉斯學派提出的數學音樂思想卻為西方音樂發展指明了方向，對現代音樂創作具有啟蒙的作用。數學與音樂世界的奇奧與美妙一直是作曲家探究的動力，他們關于“數學與音樂”研究的成果有很多，音級集合只是其中的一點。

三、“數”理音樂思想對音樂發展的重要性

大多數人認為數學與音樂是兩門毫不相關的學科，然而進一步探究就會發現二者的關系非常密切。普通的數學原理直接影響音樂的創作和表演，而深奧抽象的數學原理能探究到音樂的本質規律。畢達哥拉斯學派提出的“數學”音樂思想一直影響著西方音樂的發展，他們把音樂與哲學思想有機結合，把音樂與數學有機結合。并賦予音樂與數學鮮活的生命，使音樂成為一門學術性學科。21世紀是創新與發展的時代，音樂作為一門學術性的學科把它與社會科學相結合有利于音樂的創新和發展。和聲、曲式、復調、配器、樂理、視唱練耳等都存在數學的邏輯，只有認識到音樂存在的科學規律才能推動時代音樂的發展。

結語

數學是音樂的理性基礎，音樂是“數字化”的音樂符號。無論是在古希臘時期還是在21世紀，音樂的發展都離不開“數學”。對“數學”與音樂的研究一直都是熱門的課題，所以畢達哥拉斯學派提出的“數”理音樂思想對音樂發展的啟蒙作用是不可忽視的。我們應該重視音樂發展的精髓，從中取長補短、擴展思路，并創作出具有研究性和可聽性的音樂。

注釋：

①尼可麥丘是希臘人，他的生活、寫作年代在公元2世紀初，是畢達哥拉斯學派重要的代表人。在音樂理論方面，他的重要著作《音樂手冊》共包括了十二章，從歐幾里德到托勒密的幾百年中唯一幸存下來的關于音樂理論的著作。

②巴伯是美國作曲家，畢業于柯蒂斯音樂學院。

③朱踐耳生于1922年，中國作曲家。1985年被選為中國音樂家協會第四屆常務理事。

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