不等式

弓月

在大自然面前，“神馬”都是浮云，只有自然法則和刻畫自然法則的數學是永恒的.在數學里，相等是短暫的，是瞬間的綻放，不等才是永恒的.刻畫不等關系的數學模型不等式是數學中研究這種永恒的極具魅力的瑰寶，有人對它如癡如醉，流連忘返；有人對它心懷畏懼、望而卻步.無論是喜歡還是畏懼，如同相等一樣，不等在數學中無所不在，《必修5》中不等式一章，讓不等式終于有了一次集中展示的機會.

在古代數學的研究中，人們對不等關系并未給予足夠重視，很少有人專門去研究它.不等式的研究首先從歐洲國家興起，東歐國家有一個較大的研究群體，特別是原南斯拉夫國家.目前，對不等式理論感興趣的數學工作者遍布世界各個國家.在數學不等式理論發展史上，有兩個具有分水嶺意義的作品，分別是1882年Chebycheff發表的論文與1928年Hardy任倫敦數學會主席屆滿時的演講.自1934年起，不等式理論及其應用的研究正式粉墨登場，成為一門新興的數學分支，從此不等式不再是一些零星散亂的、孤立的式子的綜合，它已發展成為一套系統的科學理論.

有許多不等式與人名結合在一起，如柯西不等式、貝努里不等式等，表明了它們是由一些外國數學家發現或提出的.歷史上，華人數學家在不等式領域也做出過重要貢獻，包括華羅庚、樊畿、林東坡、徐利治、王忠烈、王興華等老一代數學家，近年我國有許多數學工作者活躍在國際數學不等式理論及其應用領域，他們在相關方面做出了獨特的貢獻，引起國內外同行的重視.

由于不等式研究的是不等關系，所以同學們常覺得它抽象、不可捉摸，覺得難學，在解決問題時更是無章可循，其實，對不等關系的研究不能與相等割裂開來，不等與相等是對立的統一，可以通過相等來把握不等.結合到具體的數學模型上，也就是通過函數與方程來了解不等式.這樣，就可以用熟悉的函數來統領不等式，使之有一個堅實的附著點.

當然，事物間的關系是相對的，雖然我們之前深入研究了許多相等關系，因而習慣于通過相等來看不等，但在有些情況下也可反過來，透過不等關系來認識了解相等關系.想一想必修1中用二分法求方程的近似解，不就是這么做的嗎？當然，在我們較多地掌握不等式的知識后，這樣的運用可能會更多.

從哲學的角度看，不等關系反映了對“度”的刻畫.度是事物保持其質的量的界限、幅度和范圍，關鍵點是度的兩端，是一定的質所能容納的量的活動范圍的最高界限和最低界限.度是關鍵點范圍內的幅度，在這個范圍內，事物的質保持不變；突破關鍵點，事物的質就要發生變化.這正是上面所說的不等與相等間的統一與相互轉化.

跳出具體不等式的框框看不等式，可能會對不等式有更新的認識.endprint