基本不等式的歷史背景及幾何意義
2018-03-04 17:22:24楊志文
新高考·高一數學 2017年5期
楊志文
1.趙爽的“弦圖”
我們先來看一張圖片，2002年第24屆國際數學家大會在我國召開，圖1是大會會標，是根據我國古代數學家趙爽的“弦圖”設計的.
公元3世紀，中國數學家趙爽“負薪余日，聊觀《周髀》”，他在給<周髀算經》“勾股網方圖”作注時，給出圖2所示的“大方圖”.趙爽寫道：
“以圖考之，倍弦實，滿外大方，而多黃實.黃實之多，即勾股差實.以差實減之，開其余，得外大方.大方之面，即勾股并也.”
用數學符號語言表達，即：若直角三角形兩直角邊為為a，b，a≥0，b≥0，則
（a+b）2=4ab+（b-a）2，（a+b）2=2c2-（b-a）2=2（a2+b2）-（b-a）2，
因此，可得不等式4ab≤（a+b）2≤2（a2+b2）.
2.歐幾里得的矩形之變
古希臘數學家似乎并沒有對各類中項的大小進行比較，但他們已經研究過部分中項的幾何作圖法以及它們之間的數量關系，歐幾里得在《幾何原本>卷六命題13中給出了兩條已知線段之間的幾何中項的作圖法.如圖3，以AB為直徑作半圓ADB，則CD即為AC和CB之間的幾何中項.
3.芝諾多魯斯的等周問題
在歐幾里得之后，獲得與均值不等式等價結果的數學家是芝諾多魯斯（Zenodorus，約公元前2世紀）.他寫了一本名為《論等周圖形》的書，專門研究等周問題.在書中，他給出了許多命題，其中一個是：“在邊數相同、周長相等的所有多邊形中，等邊且等角的多邊形的面積最大.”
這些歷史材料，再現了基本不等式的“源頭”，通過挖掘數學歷史文化背景，揭示了基本不等式的幾何意義，值得我們細細品味.endprint
