“極限思想”解決導數問題

孫文淼

（江蘇省常州市第二中學）

數學教育家G·波利亞指出：“對于任何一門學科，我們要掌握兩方面的東西——知識和技巧。”對于數學學科而言，知識是書本上的概念、定義等，技巧是書本的內容所反映的數學思想與方法。隨著課程改革進程的不斷推進，中學教學任務也逐步由傳授學科知識向培養核心素養轉變，而數學思想的滲透就顯得尤為關鍵。

高中數學的諸多思想中，極限思想是非常重要的一種，它能讓我們從有限發展到無限、在相似中掌握準確、從特殊認識一般。它在中學的數學課本和練習題中都有體現出來。在中學的數學教學過程中滲透極限思想，可以有效地幫助學生解決多種數學問題，包括函數問題、不等式問題、立體幾何問題、平面解析問題、數列問題等等。

而導數在高考時是常考知識點，經常作為壓軸題出現。但這類抽象性的問題學生往往覺得難以理解，不知該如何去應用解決，遇到導數題，常常望而卻步，無從下手。其實，導數作為研究切線及函數單調性的有力工具，許多與直線、與曲線位置有關的交點個數問題，不等式恒成立問題，由零點求參數的問題便可以用導數去求解。如果我們仍然拘泥于《考試大綱》中的要求，忽視相應能力的提高，便無法適應高考的要求，也無法實現學生素養的提升。下面筆者主要談談極限畫圖——利用導數定性定形，以形找數，數形結合。根據無限趨向情況來研究圖象，可以避免很多繁瑣的數學計算，利用數形結合的思想能夠幫助我們較快地獲得解題思路，分解解題難度，達到事半功倍的效果。

一、預備知識

極限定義：設函數f（x）在點x0附近（但可能除掉x0點本身）有定義，又設A是一個定數，如果對任意給定的ε＞0，一定存在δ＞0，使得當 0＜＜δ時，總有我們就稱A是函數f（x）在x0點的極限，記為f（x）→A（x→x0），也可記為A.+∞叫正無窮，－∞叫負無窮；左極限：從一個地方的左側無限靠近這個地方時所取到的極限值，如0-，叫負無窮小，表示從0的左邊無限靠近0；右極限：從一個地方的右側無限靠近這個地方時所取到的極限值，如0+，叫正無窮小，表示從0的右邊無限靠近0。

二、幾個常見函數的圖象和性質

表1

注：定義域中去掉的1在圖象中是它的漸近線.

（1）若函數 （fx）在x=2處的切線方程為 y=x+b，求 a，b的值；

（2）若函數（fx）在（1，+∞）為增函數，求a的取值范圍；

（3）討論方程（fx）=0解的個數，并說明理由。

解：（1）a=2，b=-2ln2

（2）a≤1

圖1

（3）法一:當a=0時，f（x）在定義域（0，+∞）上恒大于0，此時方程無解；當a＜0時，f（′x）=x-＞0在（0，+∞）上恒成立，所以 （fx）在定義域（0，+∞）上為增函數。

當2a=2e或2a＜0時，1個解；

當 2a＞2e 時，2 個解.即當 0≤a＜e 時，無解；

a=e或 a＜0時，1個解；當 a＞e時，2個解。

由兩種做法對比發現，引導學生進行數形結合，利用極限思想作出函數圖象，轉化為直觀易懂的問題，學生就容易理解，進而解決問題并獲得成功的體驗。

例2（2017屆蘇錫常鎮高三二模19）

已知函數 f（x）=alnx-bx3，a，b 為實數，b≠0，e 為自然對數的底數。

（1）當 a＜0，b=-1 時，設函數 f（x）的最小值為 g（a），求 g（a）的最大值。

（2）若關于x的方程f（x）=0在區間（1，e］上有兩個不同實數解，求的取值范圍。

（2）f（x）在區間（1，e］上有兩個不同實數解等價轉化為=的圖象在區間（1，e］有兩個交點。由上可知，即n=3時，通過圖象易知

表2

圖2

例3 2013年普通高等學校統一考試試題20（江蘇卷）

設函數f（x）=lnx-ax，g（a）=ex-ax，其中a為實數。

（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調減函數，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求 a的取值范圍；（2）若 g（x）在（-1，+∞）上是單調增函數，試求f（x）的零點個數，并證明你的結論。

解：（1）a＞e。

（2）因為 g（x）在（-1，+∞）上是單調增函數，所以 g（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）恒成立，故 a≤，求（fx）的零點個數等價轉化為，即 y=a與的交點個數。由上可知，即n=1時，通過函數圖像易知，當a=或a≤0時，（fx）有1個零點；當0＜a＜，（fx）有兩個零點。

3.f（x）=（x-a）·ex的性質和圖象

定義域R，f（′x）=（2x-a）·ex，令f（′x）=0

表3

圖3

例4（a=0）已知函數（fx）=x·ex，若關于的方程［（fx）+］·［（fx）-λ］=0有僅有3個不同的實數解，求實數λ的取值范圍。

筆者挑選了在習題中出現頻次最高的三類函數，根據導數，通過極限思想作出了函數圖象，函數的恒成立問題、有解問題，函數的零點個數問題，函數圖象的交點問題這些復雜的問題可以簡單化，為一開始無從下手的問題提供解題思路。

狄德羅說過：“數學中所謂美的問題則指一個難以解決的問題；而所謂美的解答，則是指對于困難和復雜問題的簡單回答。”極限思想是運動變化中的思想法則和規律，有助于解題思路的展開，更有利于簡化解體結構，所以我們要重視極限思想在導數方面的應用，體會極限思想給我們解題帶來的無限奇妙之處。

［1］姚久德.極限思想在解題中的應用［J］.中學數學教學參考，2017（4）.

［2］張學均.極限思想在數學導數中的應用［J］.科學咨詢，2016（27）.

［3］黃克方.中學數學解題中極限思想的滲透［J］.職教天地，2012（5）.