兩水平修理策略的k/n(G)表決系統可靠性分析

吳文青,唐應輝,張元元

(1.西南科技大學理學院,四川綿陽 621010；2.四川師范大學數學與軟件科學學院,四川成都 610066)

1 引 言

k/n(G)表決系統由n個部件組成,當n個部件中至少有k個部件同時正常工作時,系統才正常運轉(1≤k≤n),即當故障的部件數等于n-k+1時系統就故障.關于k/n(G)表決系統的基本理論及相關研究成果可見文獻[1,2].在k/n(G)表決系統中,若k=1,則系統退化成n部件并聯系統,此時系統故障當且僅當n個部件全部處于故障狀態.若k=n,則系統退化成n部件串聯系統,此時系統故障當且僅當n個工作部件中有一個部件發生故障.關于其特例的研究可見文獻[3—5].k/n(G)表決系統作為可靠性數學理論中的一類非常重要的基本模型,被廣泛應用于金融系統、航空航天系統、通信系統、核安全系統等.比如,在核電站系統中,反應堆保護系統由n個保護裝置組成,只要有任意的k個及以上的保護裝置符合保護觸發條件,系統便發出保護動作以保護三大核安全屏障(燃料包殼、一回路壓力邊界和安全殼)的完整性.這里的反應堆保護系統可看作是一個k/n(G)表決系統.

一些對經典的k/n(G)表決可修系統的研究可見文獻[6—9].這些文獻使用隨機過程理論與方法討論了系統的可用度、系統的故障頻度、系統首次故障前的平均時間等可靠性指標.Zhang等[10]研究了馬爾可夫型k/n(F)表決可修系統,即(n-k+1)/n(G)表決可修系統,其中部件修復如新,修理設備修復不如新.作者利用幾何過程理論、排隊論方法和向量馬爾可夫過程理論給出了系統的可用度、故障部件的平均等待修理時間、修理設備空閑的概率等相關指標以及數值結果.另外,Krishnamoorthy等[11-13]又將各種維修策略,如D—策略,T—策略或者N—策略引入到k/n(G)表決系統的研究中,并給出了相關可靠性指標的表達式和數值結果.在文獻[13]中,作者考慮的N—策略維修規則是這樣的:當系統中故障部件數累積到預先設定的N值時,修理工才開始修理故障的部件,一直持續到系統中沒有故障部件為止.然后,修理工轉入空閑狀態直到下一次系統中累積故障部件數達到N值時才又開始轉入修理狀態.隨后,Wu等[14]研究了N策略,修理工多重休假和修理設備可更換的k/n(G)表決可修系統.利用馬爾可夫過程理論和矩陣分析方法,作者得到了一系列系統可靠性指標的表達式.在此基礎上建立了系統長時間運行下的利潤函數,并數值給出了最優解.更多關于k/n(G)表決系統的工作可見文獻[15—19].最近,付永紅等人[20]研究了一個具有兩水平修理策略的機器維修模型,即1/n(G)表決系統.使用補充變量法,作者獲得了穩態下系統中故障機器數的概率分布,以及相關指標的表達式和數值結果.

受文獻[13,20]的啟發,本文考慮具有兩水平(r,s)修理策略的k/n(G)表決可修系統.這種修理策略的本質在于通過對閾值的事先設定來合理有效地指派普通修理工或者熟練修理工對故障部件進行修理.與之前的k/n(G)表決可修系統模型相比較,這種修理策略的特點是:工作部件故障后并不立即對其進行任何修理,而是等到故障部件累積到事先設定的低閾值r時,才指派普通修理工進行修理.如果普通修理工在修理過程中進展不順利,故障部件數持續增加到高閾值s時,系統性能受到嚴重影響時,將立即指派熟練修理工去接替普通修理工對故障部件進行修理,以盡快恢復系統的性能.利用馬爾可夫過程理論和分析方法,討論了系統可用度、故障頻度以及系統首次故障前的平均時間等可靠性指標,并給出了相關指標的表達式和數值結果.

2 兩水平修理策略的k/n(G)表決可修系統

本文研究的兩水平修理策略的k/n(G)表決可修系統的模型描述如下:

1)系統由n個同型部件組成,當至少有k(1≤k≤n)個部件同時工作時,系統才正常工作.當故障部件數等于n-k+1時系統就故障,在系統故障期間,剩余的k-1個正常部件不再發生故障.

2)系統中每個部件的工作壽命X服從負指數分布F(t)=1-e-λt,0＜λ＜∞,t≥0.當工作部件發生故障時,系統將根據兩水平(r,s),0≤r≤s≤n-k+1,修理策略指派相應的修理工對其進行修理.如果系統中故障的部件數小于r值時,系統暫不指派修理工修理故障部件.如果系統中故障的部件數達到r值時,立即指派普通修理工對故障部件進行修理.若普通修理工的修理工作順利,r個故障部件及其后的故障部件修理完畢,則普通修理工撤出系統.若普通修理工的修理工作不順利,系統中故障部件數持續增加到s值時,系統則立即指派熟練修理工對故障部件進行修理.當系統性能好轉,故障部件數小于s時,熟練修理工撤出系統,原先的普通修理工進入系統繼續修理,直到所有的故障部件修理完畢.如果在此期間,系統累積的故障部件數又一次達到閾值s時,則熟練修理工再次接替普通修理工進入系統開展修理工作.

3)普通修理工的修理時間Y1服從負指數分布G1(t)=1-e-μ1t,0≤μ1＜∞,t≥0.熟練修理工的修理時間Y服從負指數分布G(t)=1-e-μt,0≤μ＜∞,t≥0.

4)系統涉及到的隨機變量彼此獨立.

下面建立系統狀態概率滿足的穩態方程組.令L(t)=i,i=0,1,...,n-k+1,表示時刻t系統中有i個部件處于故障狀態(包括正在修理的部件).設

由模型描述和負指數分布的“無記憶性”可知,隨機過程{L(t),J(t)|t≥0}是連續時間擬生滅過程,其狀態空間為

為了后面討論的方便,記λi=(n-i)λ,i=0,1,...,n-k.進一步,系統的狀態轉移圖如圖1所示.

圖1 系統狀態轉移圖Fig.1 State transition diagram of the system

下面給出圖1中有序數對的簡單說明,其中(i,0)表示系統中有i個故障部件,i=0,1,...,r-1,系統未指派修理工修理故障部件.(i,1)表示系統中有i個故障部件,i=1,2,...,s-1,普通修理工正在修理故障部件.(i,2)表示系統中有i個故障部件,i=s,s+1,...,n-k+1,熟練修理工正在修理故障部件.

定義系統的穩態概率

根據馬爾可夫過程理論和系統狀態轉移圖,系統穩態概率滿足如下方程組

下面推導穩態概率pi,0,i=0,1,...,r-1,pi,1,i=1,2,...,s-1,pi,2,i=s,s+1,...,n-k+1的表達式.首先,由式(1)得

根據方程(2),有

由方程(3),得λ1p1,1-μ1p2,1=-μ1p1,1=-λ0p0,0.將其代入方程(4),整理后有如下遞推表達式

進一步,從式(13)可得

由方程(5)得

類似方程(5)的推導,由方程(6)得

將ps-1,1和ps-2,1代入式(7),得

同樣地,將ps,2和ps-1,1代入式(8),得

類似于方程(4)和方程(6)的處理,由式(9)得

由正則性條件,所有的概率加起來為1,即

將上述各表達式代入式(20),解得p0,0=Δ,其中

至此,得到系統穩態概率分別為

下面給出穩態下系統相關性能績效指標的表達式.

3 系統首次故障前的平均時間

定義1[21]概率分布H(x)稱為(0,+∞)上具有不可約表示(α,T)的m階位相型分布(簡稱PH分布),當且僅當它是一個狀態空間為{1,2,...,m+1}的馬氏過程的吸收時間分布,其中狀態1,2,...,m都是非常返的,狀態m+1為過程的吸收狀態.記該過程的狀態轉移速率矩陣為

過程的初始狀態概率向量為(α1×m,01×1),其中0表示初始時刻過程處于吸收態的概率為0.這里,分布函數為H(x)=1-αexp(Tx)e,x≥0,數學期望E[χ]=-αT-1e.

利用馬氏鏈吸收時間理論來討論k/n(G)表決系統首次故障前的平均時間.首先,對系統的n-k+r+1個狀態按照如下的方式進行排列,即

狀態(0,0),(1,0),(1,1),...,(r-1,0),(r-1,1),(r,1)...,(s-1,1),(s,2),...,(n-k,2)都是非常返的,狀態(n-k+1,2)為過程的吸收狀態.根據PH分布的定義可得此過程的轉移速率矩陣為

因此,本文討論的k/n(G)表決可修系統首次故障前的平均時間

4 數值例子

算例1本算例以某地區的手機通信網絡為例來分析系統相關可靠性指標隨系統參數變化的情況.假設有5個傳輸塔就能基本滿足這一地區的手機通信,但管理者為了提高通信的質量和滿足不同顧客的需求,往往會多安裝幾個傳輸塔,比如18個.于是,這一地區的通信傳輸系統就是5/18(G)表決系統.在運行過程中,若故障的傳輸塔數量小于 4個時,由于對通信并不會造成實質性的影響,故暫不指派技術人員(即修理工)去修理故障傳輸塔.若故障的傳輸塔數量達到4個時,此時可能會引起通信不暢,這時管理者立即指派普通修理工對故障傳輸塔進行修理.在此期間,若故障的傳輸塔數量持續增加到12個時,通信將受到嚴重干擾,則立即指派熟練修理工對其進行修理.傳輸塔的工作壽命服從參數為λ的負指數分布,普通修理工和熟練修理工對故障傳輸塔的修理時間分布服從參數為μ1和μ的負指數分布.選取參數λ=0.4,μ1=2.5,μ=3.5.利用MATLAB編寫相應的數值計算程序,所得結果分別見表1,表2和圖2,相關數值結果保留到小數點后8位.

表1 5/18(G)表決系統穩態概率分布及相關指標的數值結果Table 1 Steady-state probabilities and performance measures of5/18(G)system

表2 不同初始條件下5/18(G)表決系統首次故障前的平均時間Table 2 MTTFF of 5/18(G)system under different initial conditions

表1給出了系統穩態概率分布及相關可靠性指標的數值結果.表2給出了在不同初始條件下系統首次故障前的平均時間的數值結果.從表中可看出開始時刻系統中故障部件數越多,其MTTFF的值就越小,這與實際情形相吻合.

圖2描繪了在不同的部件故障率λ和維修閾值s下,A,mf,E[L]和Pe的數值結果.從中可看出,隨著λ的增大,即工作部件越容易發生故障,系統可用度逐步減小,而故障頻度、平均故障部件數和熟練修理工繁忙概率逐漸增大.另一方面,當λ取值給定時,s值越小,熟練修理工越早進入系統修理故障部件,則系統可用度明顯增大,而故障頻度、平均故障部件數變小.正由于較早進入系統,故熟練修理工繁忙的概率相應地增大了.

圖2 不同參數λ和s下5/18(G)表決系統可靠性指標變化曲線Fig.2 System performance measures of 5/18(G)system versus(λ,s)

算例2令k=1,則k/n(G)表決系統退化為經典的機器維修模型.付永紅等[20]獲得了機器模型穩態下故障機器數的概率分布及相關指標的遞推表達式.為了驗證本文表達式的正確性,取文獻[20]的相關參數值:n=12,λ=0.1,μ1=0.5,μ=0.7,r=4,s=8.利用MATLAB編寫相應的數值計算程序,得到的具體結果見表3.從表中可看出,本文表達式的數值結果與文獻[20]的表達式的數值結果吻合.

表3 1/12(G)表決系統穩態概率分布及相關指標的數值結果Table 3 Steady-state probabilities and performance measures of 1/12(G)system

算例3令r=1,μ1=μ,則模型退化為經典的k/n(G)表決可修系統.曹晉華等[2]利用馬爾可夫分析方法得到了此系統穩態下的可靠性指標的表達式

為了說明本文所得表達式的正確性,選取k=3,λ=0.55,μ1=μ=2.5.通過MATLAB編寫數值計算程序,得到具體的的數值結果見表4.從表中可以看出,本文表達式的數值結果與文獻[2]給出的表達式的數值結果吻合.

表4 不同n值下k/n(G)表決系統穩態可靠性指標的數值結果Table 4 System reliability measures for different values ofn

算例4本算例通過Monte Carlo仿真對本文解析結果的正確性進行驗證.取k=2,n=3,μ1=2.0,μ=3.5,r=1,和s=2；λ的取值從0.5到1.0,利用MATLAB編寫相應的程序,運行500 000次后所得結果見圖3和表5.這里,相對誤差=|理論結果-仿真結果|/理論結果.從表5和圖3可知本文表達式是可信的.

圖3 不同參數λ下系統可靠性指標變化曲線Fig.3 System reliability measures for different values ofλ

5 結束語

本文研究了兩水平修理策略的表決可修系統,利用馬爾可夫過程理論,建立了系統穩態概率滿足的方程組,并采用求解經典生滅過程的思路獲得了一系列刻畫系統性能績效指標的表達式.在此基礎上,通過MATLAB軟件編程給出了在不同條件下系統相關可靠性指標的數值結果.最后,通過Monte Carlo數值仿真和對特殊情形的討論數值驗證了所得表達式的有效性.在今后的研究中,引入修理工休假策略(多重休假,單重休假)是一個值得考慮的問題.

表5 不同λ值下系統穩態可靠性指標的數值結果Table 5 System reliability measures for different values ofλ