簡諧運(yùn)動(dòng)位移方程和平均值公式的應(yīng)用

鄭 金

(凌源市職教中心,遼寧 朝陽 122500)

對(duì)于簡諧運(yùn)動(dòng),偏離平衡位置的位移即振動(dòng)位移的起點(diǎn)始終在平衡位置,其大小為振動(dòng)物體偏離平衡位置的距離,方向從平衡位置指向物體所在的位置.振動(dòng)位移隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化,若從平衡位置開始計(jì)時(shí),則振動(dòng)位移方程為x=Asinωt;若從振動(dòng)端點(diǎn)開始計(jì)時(shí),則振動(dòng)位移方程為x=Acosωt.在解題時(shí),需根據(jù)題意來選擇合適的位移方程.

1 簡諧運(yùn)動(dòng)位移方程的應(yīng)用

對(duì)于某些簡諧運(yùn)動(dòng)問題,需利用振動(dòng)位移方程來解答,但振動(dòng)位移方程有兩種不同的形式,關(guān)鍵是根據(jù)題意選擇計(jì)時(shí)起點(diǎn)是在平衡位置還是在振動(dòng)端點(diǎn),由此寫出相應(yīng)的位移方程.

圖1

例1.如圖1所示,一勁度系數(shù)為k的豎直輕質(zhì)彈簧的下端固定在水平面上,開始時(shí)彈簧處于原長狀態(tài),現(xiàn)將一小球放在彈簧上端,彈簧被壓縮d后平衡,然后按住小球使彈簧再壓縮c,且c>d,從放開小球開始計(jì)時(shí),求小球在運(yùn)動(dòng)過程中與彈簧接觸的時(shí)間.

解析:由于c>d,利用簡諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知,小球在向上運(yùn)動(dòng)過程中一定會(huì)離開彈簧繼續(xù)上升,因此小球在離開彈簧之前做簡諧運(yùn)動(dòng),離開彈簧后做豎直上拋運(yùn)動(dòng).

圖2

例2.如圖2所示,小車質(zhì)量為M,由靜止開始沿著傾斜角為α的光滑斜面從高度為h處滑下,與一個(gè)輕彈簧緩沖器相碰而自由振動(dòng),然后又沖上斜面.若緩沖彈簧的勁度系數(shù)為k,求: (1) 在緩沖器上彈簧的最大壓縮量是多少?(2) 小車和彈簧在第一次接觸過程中被緩沖的時(shí)間為多少?

解析: (1) 設(shè)最大壓縮量為xm,由機(jī)械能守恒定律有

解方程可得

設(shè)小車開始?jí)嚎s彈簧到達(dá)平衡位置時(shí)發(fā)生的位移為x0,即彈簧壓縮量為x0,則有受力平衡方程

Mgsinα=kx0,

可知簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅為

若從小車經(jīng)平衡位置開始計(jì)時(shí),則振動(dòng)位移方程為x=Asinωt,可知振動(dòng)位移從0增大到x0的過程經(jīng)歷的時(shí)間為

所以小車被彈簧緩沖的時(shí)間為

對(duì)壓縮彈簧的全過程應(yīng)用機(jī)械能守恒定律列方程求最大壓縮量非常簡單.在求緩沖時(shí)間時(shí),需對(duì)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過程分別求出時(shí)間,但要注意小車被緩沖的過程不只是小車壓縮彈簧的過程,而是小車與彈簧相互作用的整個(gè)過程.

2 正弦平均值公式的應(yīng)用

例3.有一個(gè)豎直彈簧振子,輕彈簧的勁度系數(shù)為k,小球的質(zhì)量為m,若在彈簧處于自然狀態(tài)時(shí)突然釋放小球,對(duì)于小球從速度為0變到最大的過程,求: (1) 彈簧彈力的沖量; (2) 小球受到合力的沖量.

方向豎直向上.

還有一種方法,合力的大小為

F=mg-f=mgcosωt,

對(duì)于彈簧彈力的沖量,關(guān)鍵是推導(dǎo)出彈簧形變量的表達(dá)式,而且利用正弦平均值來求彈力的平均值,可避免積分運(yùn)算過程.要注意物體在簡諧運(yùn)動(dòng)過程中偏離平衡位置的位移、對(duì)初始位置的位移和彈簧形變量3者之間的關(guān)系.對(duì)于合力的沖量,也可利用最大速度公式vm=Aω和動(dòng)量定理來求解.

圖3

解析: (1) 小球在豎直方向做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng),當(dāng)合力為0時(shí)速度達(dá)到最大,此時(shí)ky1=mg,可知作用力F=ky的平均值為

對(duì)小球的運(yùn)動(dòng)過程由動(dòng)能定理有

可得最大速度為

小球在豎直方向的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于豎直彈簧振子從彈簧形變量為0時(shí)開始向下運(yùn)動(dòng),即從振動(dòng)端點(diǎn)向平衡位置運(yùn)動(dòng)，可知某時(shí)刻的振動(dòng)位移大小為x=Acosωt,則小球向下運(yùn)動(dòng)發(fā)生的位移大小為y=A-Acosωt,相當(dāng)于彈簧的形變量，因此小球受到平板的作用力的大小為F=ky=mg(1-cosωt),方向向上,那么平板受到小球的作用力方向向下,可知平板受到水平地面的摩擦力大小為

f=μ(Mg+F)=μ(M+m)g-μmgcosωt.

摩擦力的平均值為

對(duì)平板的減速運(yùn)動(dòng)過程由動(dòng)量定理有

可得小球第一次達(dá)到最大速度時(shí)平板的速度為

對(duì)于例題1和例題2的解答,利用了位移方程x=Asinωt;對(duì)于例題3和例題4的解答,利用了位移方程x=Acosωt，其方向跟運(yùn)動(dòng)方向相反.

總之,對(duì)有關(guān)簡諧運(yùn)動(dòng)競賽題的解答,需靈活應(yīng)用位移方程和正弦平均值公式.簡諧運(yùn)動(dòng)的位移方程有兩種不同的形式,在選用方程時(shí),關(guān)鍵是看振動(dòng)物體的出發(fā)點(diǎn)是在平衡位置還是在振動(dòng)端點(diǎn),如果出發(fā)點(diǎn)不在這兩個(gè)特殊位置,則需利用運(yùn)動(dòng)的可逆性把運(yùn)動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)選在平衡位置或振動(dòng)端點(diǎn),由此寫出振動(dòng)位移方程.要注意物體振動(dòng)位移與實(shí)際運(yùn)動(dòng)發(fā)生的位移有時(shí)不相等.直接利用正弦平均值與最大值的關(guān)系解題,可避免微積分的運(yùn)算過程,從而化繁為簡.