應用GPD模型估算設計冰厚誤差影響分析

黃 帥，譚 絨

(西南電力設計院有限公司，四川 成都 610021)

1 概述

近幾十年來，隨之全球變暖的不斷加劇，極端天氣和氣候事件頻發，引起了社會各界的廣泛關注，學者對極端氣候及其變化的研究更加重視。從而極值理論在氣象方面得到了廣泛應用。曹深西、陳子燊等簡要論述了當前廣泛使用的極值分布理論的3個概率分布模型，并應用模型推算廣東沿海9個站點的極值風速。榮艷淑等通過對淮河流域各氣象站月降水和水文站月流量的GPD函數擬合，分析比較了二者概率分布特征之間的異同，尤其對二者極端事件災害風險之間的異同進行了定量化對比分析。

在電力氣象中，學術界也早已開啟了對覆冰極值概率理論的研究。徐文君等 提出了基于廣義帕累托分布(GPD)和Copula函數的冰風暴災害下電力斷線倒塔的概率計算方法。陸益錳等根據綠蔥坡和捷克Studnice覆冰觀測站的年最大覆冰荷載觀測數據，分別按正態分布、極值Ⅰ型、極值Ⅱ型和極值Ⅲ型分布以及PearsonⅢ型指數分布模型進行擬合，并采用K～S法檢驗了擬合度最優的概率模型；基于擬合的各概率模型，對上述兩個區域在不同重現期下的覆冰厚度進行了計算分析。

西南院與高校合作開展了覆冰極值概率分布模型的研究，本文的主要工作為：應用GPD模型，選取歷年大于門限值的標準冰厚組成30 a和任意5～15 a的覆冰標準冰厚樣本；統計多樣本覆冰標準冰厚在設計重現期為30 a、50 a、100 a、150 a時的設計冰厚；對大、小容量樣本計算結果比較及誤差分析，提出大、小容量統計結果的關系及誤差。

2 資料來源及GPD極值分布模型的建立

2.1 資料來源

本文共選用了4個有長期覆冰觀測資料的站點，分別為四川的峨眉山、黃茅埂站，重慶的金佛山站，以及湖北的綠蔥坡站，其中峨眉山、金佛山、綠蔥坡為國家基本氣象觀測站，黃茅埂為西南院建立的覆冰觀測站，通過對4個觀測站的數據資料整理和分析，本文選用的時間區間分別為：峨眉山、金佛山、綠蔥坡(1965～1995)及黃茅埂(1983～1999、2006～2015)。對選用的長期覆冰觀測資料進行標準化整理，得到長序列覆冰樣本。

2.2 GPD極值分布模型的建立

GPD分布又稱廣義帕雷托分布，其分布函數為：

分布密度(PDF)為：

式中：分布參數β為門限值，σ為尺度參數，κ為形狀參數。

由此，我們可得GPD分布的分位數為：

式中：λ被稱為年交叉率，λ=m/n，n、m分別為樣本數量及大于門限值的樣本數量。

其中門限值的選定是GPD分布模型在實際中應用的關鍵，一般而言，選取的門限值越大，計算誤差減少，但估計方差增加。門限值的選取與確定一直是學術界有待克服的一個重大難題，本文我們主要采用最為常用的Hill圖解法來確定GPD分布的門限值。當Hill圖形狀參數相對穩定時所對應的點，我們即認為該點為GPD分布的閾值。

依據Hill圖解法選取的閾值，即可采用L－矩估計方法對GPD分布參數進行估計。已知，概率加權矩(PWM)的通式為：

因此，我們有(b0、b1)

這里μi分別是第i階L矩，分別取r =0和r =1，我可以得到如下關系式

由此可得GPD分布的參數α，k的估計式：

3 覆冰樣本的GPD分布擬合及其重現期極值估計

3.1 門限值的選取

對選定的峨眉山、金佛山、綠蔥坡以及黃茅埂站的覆冰資料，應用Hill圖解法選取不同的門限值，得到相應超門限極值次數序列，對相應不同超門限極值次數序列進行Poisson分布擬合優度x2檢驗可知，除了在峨眉山門限值為9 mm、10 mm，綠蔥坡門限值為7 mm時沒有通過泊松分布的x2檢驗，其他各站均通過了2χ檢驗。計算不同門限值下的Hill估計量，考察Hill估計量隨門限值的演變情況，其計算結果見圖1。各站Hill估計量隨門限變化趨于穩定的點，可以確定各站的最佳門限值：峨眉山站約為11 mm，黃茅埂站約為10 mm，金佛山站約為14 mm，綠蔥坡站約為8 mm。

圖1 各站逐日標準冰厚的Hill圖

3.2 覆冰極值GPD概率分布型的擬合及其重現期極值估計

根據以上確定的門限值，利用峨眉山、黃茅埂、綠蔥坡、金佛山4站的逐日冰厚資料，進行GPD模型的擬合，表1給出了各站不同樣本年限GPD模型擬合精度的三種檢驗指標，可以看出，4個站GPD模型的相關系數全部在0.970以上，均方誤差和K～S統計量也很小，均通過顯著性水平α＝0.05的置信度檢驗，表明GPD模型對各站都具有較好的擬合精度。

表1 各站GPD模型的擬合精度檢驗

綠蔥坡 8 109 0.998 0.024 0.016

圖1為峨眉山、黃茅埂、金佛山、綠蔥坡站門限值分別為11 mm、10 mm、14 mm、8 mm時GPD模型累積頻率曲線圖。從圖中可以看出，各站的理論累積頻率與實測累積頻率非常接近，除黃茅埂外，峨眉山、金佛山和綠蔥坡站的理論頻率與實際頻率變化基本一致。

4 不同樣本長度對各重現期極值估計的影響

4.1 GPD模型重現期極值隨樣本長度的變化

由于選取的門限值過大會直接導致短序列的樣本容量過小，故本節中我們適當降低各站佳門限值。根據圖1，我們選取的各站最佳值分別為峨眉山5 mm、黃茅埂5 mm、金7 mm、綠蔥坡8 mm。表2～表5為4個同樣本年限GPD模型計算的不同重現期極圖3比較了不同樣本年限條件下GPD模型的30 a、50 a、100 a和150 a重現期的冰厚極值變化。可以看出，隨著重現期的增加，GPD模型計算的冰厚極值之間的差異也逐漸變大，且重現期越大，計算的冰厚極值越大。在不同的重現期下，GPD模型計算的冰厚極值隨樣本長度的變化具有較好的一致性。

圖2 各站GPD分布模型的擬合曲線

由圖3和表2～表5可知，峨眉山站30 a一遇的冰厚極值在20.01～28.20 mm，50 a一遇的冰厚極值在22.09～29.97 mm，100 a一遇的冰厚極值在24.95～32.32 mm，150 a一遇的冰厚極值在26.64～33.67 mm。黃茅埂站30 a一遇的冰厚極值在43.70～65.44 mm，50 a一遇的冰厚極值在45.24～69.98 mm，100 a一遇的冰厚極值在47.04～76.11 mm，150 a一遇的冰厚極值在47.95～79.69 mm。金佛山站30年一遇的冰厚極值在39.05～49.03 mm，50 a一遇的冰厚極值在40.30～51.63 mm，100 a一遇的冰厚極值在41.82～54.98 mm，150 a一遇的冰厚極值在42.60～56.85 mm。綠蔥坡站30 a一遇的冰厚極值在20.8～29.78 mm，50 a一遇的冰厚極值在21.50～29.11 mm，100 a一遇的冰厚極值在22.37～33.03 mm，150 a一遇的冰厚極值在22.82～35.96 mm。

4.2 短序列重現期極值的誤差分析

圖4(左)為各站不同樣本長度與長序列重現期極值的均方根誤差，可以看出，在不同重現期下，不同樣本長度與長序列重現期極值的均方根誤差變化趨勢基本一致。對各站不同重現期的均方根誤差求平均，并進行二階多項式擬合，得到的擬合曲線見圖4(右)，各站的擬合相關系數分別為0.74、0.96、0.77、0.77，均在0.74以上，通過顯著性水平α=0.05的置信度檢驗，尤其是黃茅埂站的擬合相關系數達0.96。

峨眉山站在樣本年限小于10 a時，均方根誤差隨樣本年限增加而減少；當樣本年限大于10年時，均方根誤差隨樣本年限增加而增加。而金佛山和綠蔥坡站的變化趨勢與峨眉山站相反，在樣本年限小于10 a時，均方根誤差隨樣本年限增加而增加；當樣本年限大于10 a時，均方根誤差隨樣本年限增加而減少。說明金佛山和綠蔥坡站在樣本年限大于10 a時，樣本年限越大，計算的重現期極值越接近于大容量樣本的極值。對于黃茅埂站，均方根誤差隨樣本年限的增加呈一致減少的趨勢，說明樣本年限越大，計算的重現期極值越接近大容量樣本的極值。

根據峨眉山、黃茅埂、金佛山、綠蔥坡4站

不同樣本年限GPD模型計算的不同重現期極值，計算不同樣本短序列與長序列的30 a、50 a、100年和150年重現期的冰厚極值的相對偏差，結果見表6。

表2 峨眉山GPD模型重現期極值隨樣本長度的變化(mm)

表3 黃茅埂站GPD模型重現期極值隨樣本長度的變化(mm)

表4 金佛山站GPD模型重現期極值隨樣本長度的變化(mm)

表5 綠蔥坡站GPD模型重現期極值隨樣本長度的變化(mm)

圖3 各站GPD模型重現期極值隨樣本量變化

圖4 各站不同樣本長度與長序列重現期極值的均方根誤差(左)及不同重現期的平均均方根誤差擬合曲線(右)

表6 各站不同樣本長度與長序列重現期極值的相對偏差(%)

可以看出，峨眉山站與金佛山站不同樣本長度(5～15 a)短序列與長序列的不同重現期冰厚極值的絕對平均相對偏差較小，其中峨眉山站100 a重現期的絕對平均相對偏差最小，僅為6.88%；黃茅埂站與綠蔥坡站不同樣本長度(5～15 a)短序列與長序列的各重現期的冰厚極值的平均相對偏差較大，其中綠蔥坡站30 a重現期的絕對平均相對偏差最大為－22.60%。相對偏差最大值出現在黃茅埂站5 a樣本的150 a重現期，為－33.18%；相對偏差最小值出現在峨眉山站10 a樣本的100年重現期，為－0.22%。峨眉山站5～15 a短序列較30 a長序列的不同重現期的冰厚極值大多偏大；黃茅埂站、金佛山站、綠蔥坡站5～15 a短序列較30 a長序列的不同重現期的冰厚極值大多偏小。各站相對偏差隨樣本年限的變化趨勢與均方根誤差隨樣本年限變化趨勢一致。

在計算過程中發現，任意選取的5～15 a短序列樣本，由于年度標準冰厚的大小有隨機性，假如中間有一年出現較大覆冰過程，包含年的短序列計算結果會出現較大差異，尤其是選用的氣象站資料為逐日的觀測數據，差異會較明顯；而觀冰站數據為各覆冰過程最大值，任意選取的短序列樣本的GPD計算結果差異較小。

4.3 應用短序列覆冰對不同重現期極值估算方法

與氣象站觀測不同，觀冰站建站時間一般都較晚，且長期觀測成本較高。除特別的輸電線路通道外，觀冰站點的觀測一般僅限于滿足近期輸電線路的規劃需要，觀測年限較短，而氣象站又鮮有電線積冰的觀測資料。因此，實際線路工程中，如何正確應用短序列的數據資料推算不同重現期的覆冰極值，成為線路設計的一個難點。

根據上述計算的不同樣本容量下重現期冰厚極值，將5～10 a以內GPD模型的計算結果定義為短序列，求取短序列結果的平均值，而將峨眉山、金佛山、綠蔥坡3站的30 a資料和黃茅埂站的25 a資料計算的重現期極值作為長序列結果，則短序列的估算系數可以用長序列的重現期極值與短序列極值的比值來表示。

峨眉山站、黃茅埂站、綠蔥坡站和金佛山站GPD模型短序列重現期極值的估算系數結果見表7。從表7可以看出，30 a重現期下短序列的估算系數范圍為0.96～1.29，50 a重現期下短序列的估算系數范圍為0.96～1.27，100年重現期下短序列的估算系數范圍為0.97～1.24，150 a重現期下短序列的估算系數范圍為0.97～1.22。

表7 GPD模型短序列重現期極值的估算系數

?

5 結論

本文主要選用峨眉山、黃茅埂、綠蔥坡、金佛山4站的導線覆冰資料，應用GPD模型，選取歷年大于門限值的標準冰厚組成30 a和任意5～15 a的覆冰標準冰厚樣本；統計多樣本覆冰標準冰厚在不同重現期下的設計冰厚；對大、小容量樣本計算結果比較及誤差分析，得到主要結論如下：

(1)應用Hill圖解法確定的各站最佳門限值分別為11 mm、10 mm、14 mm、8 mm，為防止短序列的樣本容量過小，應適當降低各站的最佳門限值。

(2)任意選取的5～15 a短序列樣本，年度標準冰厚的大小水平有任意性，尤其是氣象站的觀測數據為每天一次的數據，差異會較明顯；而觀冰站數據為各覆冰過程最大值，任意選取的短序列樣本的GPD計算結果差異較小。

(3)在實踐中，為保障輸電線路工程的安全運行，對于樣本容量較少的觀測站點，應在GPD模型計算出的重現期極值基礎上乘以相應重現期對應的估算系數上限作為極值覆冰標準冰厚的設計成果。根據本文的分析成果，一般來說，GPD模型30 a、50 a、100 a、150 a重現期極值的估算系數上限取值分別為1.29、1.27、1.24、1.22。

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