多狀態系統的生產計劃與預防性維修計劃的集成優化

，，

(1.沈陽飛機工業(集團)有限公司工程技術中心，遼寧 沈陽 110034；2.東北大學機械工程與自動化學院，遼寧 沈陽 110004)

0 引言

Berrichi[1]指出如果過分強調生產，忽視對系統中設備的維護，會使設備可用度下降，導致系統的生產能力不足。將生產和維護策略在一起進行研究就可有效降低這種矛盾所帶來的負面影響。Aghezzaf[2]和Chung[3]對集成優化的優勢做了具體分析，指出生產和維修相互協作是制定生產系統生產計劃的關鍵所在。研究變量為預防性維修時機、生產安排或者將二者集成在一起考慮[1]。Budai[4]將這些模型分為3類：經濟批量生產模型[5]；帶緩沖的批量生產模型[6]；生產、維修優化模型[7-8]。Weinstein[9]提出分層的方法研究生產和維修集成優化的問題，利用3階段方法得出了系統的可用度和效益之間的關系。Aghezzaf[10]建立了單臺設備集成生產和預防性維修模型，維修方式采用小修和預防性維修，預防性維修后部件恢復如新。通過算例驗證了集成優化模型的優勢。Nourelfath[11]利用遺傳算法求得多狀態系統的集成優化問題，打破了之前該領域研究中設備只有運行與故障兩種狀態的局限。Nourelfath[12]采用非周期預防性維修策略優化單臺設備的生產和維修集成問題，并與周期維修策略進行了對比。Chung[3]對生產時間進行優化，其中考慮多個廠家生產調度問題，并將設備的不完全維修模型與完全維修模型進行了對比。

通過以上文獻發現目前研究有兩大缺陷，①研究主要圍繞單臺設備進行研究，對于多臺設備組成的系統研究很少；②在設備層面往往假設只有兩種狀態，工作或失效，無法描述設備隨工作時間而產生的性能退化。因此，主要從解決這兩個方面問題入手，將多狀態設備系統的維修計劃和生產計劃集成在一起進行研究，建立多狀態、多設備的系統優化模型；維修策略采用小修與非周期的預防性維修相結合的策略，在設備失效時采用小修恢復其使用狀態，不影響其故障率和已工作時間，而在預防性維修后，設備的工作時間清零，故障率也隨之發生變化，只有通過更換才能使設備恢復如新。

1 問題描述

在生產線配置的問題研究中，通常以串并聯系統建立系統建模。與以往假設設備為兩狀態的情況不同的是，假設系統中設備均為多狀態設備，這樣能夠更好描述隨工作時間增加設備的磨損退化情況，同時可以提供設備工作的中間狀態，為不完全維修做好準備。每一臺設備j(j=1,2,…,n)均有不同的生產效率gj，設備在不同狀態下生產效率是相同的，但故障率函數是不同的。因此，生產線是有K個生產生產效率GSk的多狀態系統，其中，GSk表示系統在第k(k=1,2,…K)個狀態下單位時間內系統生產零件的數量。系統可以生產P種不同的零件。在給定的計劃生產區間H，包含T個生產周期。每一個生產周期t(t=1,2,…,T)均為固定時長L。每個生產周期t結束的之前對于每種零件p(p∈{1,2,…,P})要生產dpt件。每個生產周期t又可細化為S個子生產周期，在生產子周期τts(s=1,2,…,S)開始的時候可以對設備進行計劃性維修，如果在τts未安排維修則不進行計劃維修。設備j的維修計劃如圖1所示。

圖1 設備j的維修計劃

對于每個設備均可采用有計劃的維修和事后被動維修。計劃維修包含預防性更換和不完全的預防性維修。其中更換使設備恢復到初始狀態；而不完全維修雖然使設備的有效工作時間恢復到零，但是故障率函數變“陡”了。如圖2所示，圖2中設備的故障率隨工作時間增長而變大，到達一定值后首先對設備進行預防性維修，維修后設備的工作時間回到零點，但故障率提升速度變大，到達預定的預防性維修次數后，處于經濟或者生產能的要求，對設備進行更換，更換后設備恢復到初始狀態。當設備故障時，對其采用事后維修，或稱為小修，只能使設備恢復到故障前的狀態。

圖2 故障率曲線

每種設備的故障均會對系統造成不同程度的時間和費用上的消耗。在時間間隔[0,t]內，設備j的故障次數為Mj(t)。維修的總費用的期望CM就是計劃生產區間H內設備的更換費用、預防性維修費用和事后維修費用的總和。系統在計劃生產周期t內的生產效率為GSt，表示這段時間內的平均生產效率。

2 系統模型

目標函數是非線性的費用公式，包含儲存費用，延期交貨罰金，生產費用，設備調試費用和設備維修費用CM(Z)。該系統的決策變量為在生產周期t結束時庫存量Ipt；延期交貨量Bpt；生產周期t生產零件數量xpt；生產決策變量ypt，當ypt=1表示生產周期t生產零件p，當ypt=0表示不生產零件p；Z表示系統維修決策，包含預防性維修決策和更換維修決策。

CT=

(1)

等式約束條件為：

xpt-Ipt+Ip(t-1)+Bpt-Bp(t-1)=dpt

(2)

不等式約束條件為：

(3)

(4)

其它約束條件為：

①xpt，Ipt和Bpt均為整數。

②ypt為二值變量，并且Z為三值矩陣。

③Bp0=0，Ip0=0。

其中，hpt表示生產周期t結束時，零件p庫存的單件費用；bpt表示生產周期t結束時，零件p缺貨的單件補償；cpt表示生產周期t中，零件p生產的單件費用；spt表示生產周期t中，生產零件p的配置費用。

3 維修模型

系統的總維修費用CM(Z)和系統的生產效率GS與其所采用的維修計劃相關。

3.1 故障率模型

對于設備j，預防性維修和設備更換可在每一個維修周期τts開始的時候執行，預防性維修為不完全維修。維修模型采用Nakagawa模型，即維修后設備使用時間歸零，而故障率函數提升速度增加，如式(5)所示。

λk(t,a)=ak·λ0(t)

(5)

a>1表示設備的預防性維修效果k次預防性維修之后，設備的故障率是初始故障率的ak倍。

3.2 計劃維修矩陣

圖3 計劃維修矩陣結構

圖4給出了一個具體的計劃維修矩陣，其中包含4臺設備、5個計劃生產周期和2個計劃維修子周期。對于設備2在第4個和第10個計劃維修周期開始時執行預防性維修，在第6個預防性維修周期開始時對設備進行更換。

圖4 計劃維修矩陣實例

3.3 計劃維修費用

(6)

其中，j=1,2,…,n；I(.)為指示函數。

(7)

(8)

j=1,2,…,n。

(9)

αj表示設備j的維修效果；rj是設備j的初始故障率函數。系統的維修費CM(Z)用是所有設備的更換費用、預防性維修費用和事后維修費用的總和。

(10)

其中，||·||表示矩陣范數，該范數的定義為矩陣中所有元素絕對值之和。CR為事后維修費用矩陣;CPR為預防性維修費用矩陣;CMR為事后維修費用矩陣。

3.4 設備可用度

根據相同的原理，計劃維修周期τts內設備j的可用度計算公式為：

(11)

trj表示設備j更換時間；tprj表示預防性維修時間；tmrj表示事后維修時間。

然而，為了計算成產周期t內系統生產效率GSt，需要得出此段時間內各臺設備的可用度，需要注意的是一個生產周期包含了S個計劃維修周期，式(12)給出了計劃維修周期的可用度計算方法。

(12)

設備在工作效率上只有兩種狀態，即正常運行和停機維修，工作效率分別為{gj,0}，對應的概率為：

(13)

3.5 系統生產率

GSt表示生產周期t內的平均生產效率，可利用加權平均數的方法求得

(14)

Gs和Ps分別表示系統性能狀態值和其相對應的概率;M表示系統狀態個數。

系統中設備是相互獨立的，因此，系統在生產周期t上的工作能力Gs和其相應的概率Ps可利用UGF來進行求解。利用UGF法進行系統可靠性分析所需的基本信息是：設備性能分布和系統性能結構函數，即

gi,pi,1≤i≤n;Ф(G1,G2,…,Gn)

(15)

n表示系統設備數。任意設備i的性能Gi都有mi種離散狀態，各狀態能力值及相應的概率可通過有序集合對gi={gi1,…,gimi}、pi={pi1,…,pimi}描述。Φ表示系統性能結構函數，該函數建立了系統性能與各設備性能之間的關系。用UGF描述設備的性能分布為：

(16)

UGF指數表示設備性能狀態值，對應的系數表示設備性能處于該狀態的概率。

為評估全系統的性能分布Gs，Ps，需求出系統性能狀態值及與各狀態值所對應的概率，具體表現為各組成設備所有可能的狀態組合，系統性能狀態值可通過性能結構函數Φ求出。當系統各設備狀態統計獨立時，各設備狀態組合的概率就等于所對應的各設備狀態概率的乘積，由此對描述不同設備性能分布的設備發生函數作復合運算，即得到描述系統性能分布的系統發生函數為：

U(z) =ΩΦ(U1(z),…,Un(z))

(17)

ΩΦ為復合算子符。運算時，元件發生函數各項系數相乘，而指數的運算規則由性能結構函數Φ確定。Φ的定義嚴格基于系統各設備的相互關系和物理特性，具體形式靈活多樣。

4 求解方法

生產計劃模型是非線性整數模型，其中決策變量包括兩部分：系統維修策略矩陣Z和每一個生產周期t上每種部件p的預計產量xpt、庫存量Ipt、缺貨量Bpt和生產決策變量ypt。在給定維修策略矩陣Z的情況下，可求得此系統的維修總費用CM(Z)和系統平均生產率GSt。在此基礎上，模型退化為一個線性的整數批量生產問題。變量xpt，Ipt，Bpt和ypt可以利用整數規劃的方法一并求出。

優化方法采用內外兩層的結構，外層采用GA方法，搜索合適的維修策略矩陣Z；內層采用yalmip工具箱求解批量生產問題，內層的約束條件需要利用維護策略Z求得CM(Z)和GSt。總體優化程序框圖如圖5所示。

圖5 優化程序框圖

5 算例

5.1 算例參數

算例中每個生產周期包含2個計劃維修周期，即每過2個星期設備就可以進行相應的計劃維修(假設每個月包含4個星期)。每個生產周期需求產量如表1所示。由3臺多狀態設備組成，設備的配置如圖6所示。相應的設備特征、壽命分布以及維修效果如表2所示。生產區間為4個月，包含了4個生產周期，即每個生產周期長度為1個月。

表1 零件需求

圖6 3臺多狀態設備組成的串并聯系統

(18)

表2 設備特性

設計生產計劃所需要的費用參數如表3所示。

表3 生產費用

5.2 結果分析

在為期4個月的生產活動之中，系統的總的生產和維護費用為122 561元。系統維護策略如表4所示。設備1在第2個和第3個生產周期的第2個維修周期進行預防性維修；設備2在第3個生產周期的第1個維修周期進行預防性維修；設備3在第2個和第4個生產周期的第2個維修周期進行預防性維修。系統的生產計劃如表5所示。系統在各個生產周期的總產能分別為196，189.5，191.7，187.1。在第1個周期中計劃生產96個A種零件，100個B種零件。第2個生產周期產品需求量為95+100=195個，而實際產能僅為189.5，為應對第2個生產周期產能不足的情況，對兩種零件分別提供1個和5個庫存。

表4 系統維護策略

表5 生產計劃

5.3 對比算例

算例中設備維護是非周期性的，而工程實際中，為了提高管理效率，大多數情況會采用周期性維修。分別采用維修間隔為4周、6周和8周3種情況與算例進行對比。

算例與對比算例均未更換設備，因此設備的更換費用為零。由于在生產結束后生產任務總是完成的，零件的生產費用是固定的。并且在每個生產周期中每種零件均有生產，所以設備調試費用也是相同的。因此，系統總費用只與預防性維修費用、庫存費用和缺貨罰金相關。各分項費用對比結果如表6所示。從對比結果可以看出隨著維修間隔增長，預防性維修費用逐步減少，而事后維修費用逐步增加，也就是說事后維修次數逐步增多，導致系統可用度下降，使零件缺貨現象開始出現。如表6中，維修間隔延長到8周時，缺貨罰金為2 550元，雖然總費用較其它兩個維修間隔來說比較劃算，但當缺貨賠償變大的時候，這種優勢可能就會消失甚至稱為一種劣勢。因此，如何合理調節維修間隔是十分有意義的。從數據上來看，采用不等周期維修要比周期維修更好的在預防性維修費用和事后維修費中找到平衡。

表6 費用對比

6 結束語

提出一種多狀態系統生產計劃與維修計劃的集成優化方法。在生產計劃方面主要考慮每個生產周期中不同零件生產個數、多生產零件庫存個數、缺貨個數以及生產不同零件時系統的調試次數。在維修計劃方面主要考慮了預防性維修、更換和事后維修對于設備可用度和系統生產效率的影響。從設備使用退化的角度出發，將不完全維修模型引入到生產計劃與維修計劃集成的優化問題之中。采用內外兩層優化模式對此問題進行尋優，外層利用GA方法探索維修計劃，內層利用yalmip求解批量生產問題。通過算例驗證，優化的維修計劃與周期性維修計劃相比，能更好地在設備維修與產品生產上取得平衡，節省更多的運營費用。

[1] BERRICHI A, AMODEO L, YALAOUI F,et al. Bi-objective optimization algorithms for joint production and maintenance scheduling: application to the parallel machine problem[J]. Journal of Intelligent Manufacturing, 2009, 20(4): 389-400.

[2] AGHEZZAF E H, NAJID N M. Integrated production planning and preventive maintenance in deteriorating production systems[J]. Information Sciences, 2008, 178(17): 3382-3392.

[3] CHUNG S H, LAU H C W, HO G T S, et al. Optimization of system reliability in multi-factory production networks by maintenance approach[J]. Expert Systems with Applications, 2009, 36(6): 10188-10196.

[4] BUDAI G, DEKKER R, Nicolai R P. Complex system maintenance handbook[M]. London: Springer, 2008.

[5] WIDYADANA G A, WEE H M. An economic production quantity model for deteriorating items with preventive maintenance policy and random machine breakdown[J]. International Journal of Systems Science, 2012, 43(10): 1870-1882.

[6] 劉心. 基于Petri網的FMS建模及故障診斷方法研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工程大學，2010.

[7] 胡海菊，李勇建. 考慮再制造和產品需求可替代的短生命周期產品動態批量生產計劃問題[J]. 系統工程理論與實踐,2007,12(12): 76-84.

[8] DHOUIB K, GHARBI A, BEN A M N. Joint optimal production control/preventive maintenance policy for imperfect process manufacturing cell[J]. International Journal of Production Economics, 2012, 137(1): 126-136.

[9] WEINSTEIN L, CHUNG C H. Integrating maintenance and production decisions in a hierarchical production planning environment[J]. Computers & Operations Research, 1999, 26(10): 1059-1074.

[10] AGHEZZAF E H, JAMALI M A, AIT-KADI D. An integrated production and preventive maintenance planning model[J]. European Journal of Operational Research, 2007, 181(2): 679-685.

[11] NOURELFATH M, FITOUHI M C, MACHANI M. An integrated model for production and preventive maintenance planning in multi-state systems[J]. Ieee Transactions on Reliability, 2010, 59(3): 496-506.

[12] NOURELFATH M, CHATELET E, NAHAS N. Joint redundancy and imperfect preventive maintenance optimization for series-parallel multi-state degraded systems[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2012, 103: 51-60.